Октическая взаимность

В чисел теории октическая взаимность — это закон взаимности, связывающий остатки восьмых степеней по модулю простых чисел , аналогичный закону квадратичной взаимности , кубической взаимности и взаимности четвертой степени .

разработал рациональный закон взаимности Уильямс для восьмых степеней. Определите символ $\left({\frac {x}{p}}\right)_{k}$ быть +1, если x является k -й степенью по модулю простого числа p, и -1 в противном случае. Пусть p и q — различные простые числа, конгруэнтные 1 по модулю 8, такие, что $\left({\frac {p}{q}}\right)_{4}=\left({\frac {q}{p}}\right)_{4}=+1.$ Пусть р = а ² + б ² = с ² + 2 дня ² и q = А ² + Б ² = С ² + 2D ² , с нечетным . Затем

$\left({\frac {p}{q}}\right)_{8}\left({\frac {q}{p}}\right)_{8}=\left({\frac {aB-bA}{q}}\right)_{4}\left({\frac {cD-dC}{q}}\right)_{2}\ .$

См. также

• Артин взаимность
• взаимность Эйзенштейна

Ссылки

• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Springer-Verlag, Берлин, стр. 289–316, ISBN  3-540-66957-4 , МР   1761696 , Збл   0949.11002
• Уильямс, Кеннет С. (1976), «Рациональный октический закон взаимности» , Pacific Journal of Mathematics , 63 (2): 563–570, doi : 10.2140/pjm.1976.63.563 , ISSN   0030-8730 , MR   0414467 , Zbl   0311.10004