Jump to content

Закон взаимности

В математике закон взаимности представляет собой обобщение закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены. с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичная взаимность, определяет, когда неприводимый многочлен распадается на линейные члены при уменьшении мод. . То есть он определяет, для каких простых чисел выполняется соотношение

держит. Для общего закона взаимности [1] стр. 3 , оно определяется как правило, определяющее, какие простые числа полином разбивается на линейные факторы, обозначаемые .

Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, обнаруженные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом n- й степени по модулю другого простого числа, и давало соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности так, что произведение ) по p Гильберта символов вычета нормы ( a , b / p , принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина из идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиально на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.

имен Закон взаимности был придуман Лежандром в его публикации 1785 года «Recherches d'analyse indetermine» . [2] потому что нечетные простые числа совершают возвратно-поступательные движения или нет в смысле квадратичной взаимности, указанной ниже, в соответствии с их классами вычетов. . Такое возвратно-поступательное поведение не является хорошим обобщением, в отличие от эквивалентного поведения расщепления. имен Закон взаимности до сих пор используется в более общем контексте расщеплений.


Квадратичная взаимность [ править ]

В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности гласит:

for positive odd primes  we have 

Используя определение символа Лежандра, это эквивалентно более элементарному утверждению об уравнениях.

For positive odd primes  the solubility of  for  determines the solubility of  for  and vice versa by the comparatively simple criterion whether  is  or .

Согласно факторной теореме и поведению степеней при факторизации разрешимость таких квадратных уравнений сравнения эквивалентна расщеплению ассоциированных квадратных многочленов по кольцу вычетов на линейные множители. В этой терминологии закон квадратичной взаимности формулируется следующим образом.

For positive odd primes  the splitting of the polynomial  in -residues determines the splitting of the polynomial  in -residues and vice versa through the quantity .

Это устанавливает мост от названия, обозначающего возвратно-поступательное поведение простых чисел, введенное Лежандром, к поведению расщепления полиномов, используемых в обобщениях.

Кубическая взаимность [ править ]

Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β первичны (простые числа, конгруэнтные 2 по модулю 3), то

Квартичная взаимность [ править ]

С точки зрения символа вычета четвертой степени, закон взаимности четвертой степени для гауссовых целых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) 3 ) Гауссовы простые числа тогда

Октическая взаимность [ править ]

Взаимность Эйзенштейна [ править ]

Предположим, что ζ корень из единицы для некоторого нечетного простого числа . Степенной характер — это степень ζ такая, что

для любого простого идеала Z [ ζ ]. Он распространяется на другие идеалы посредством мультипликативности. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что

для любого целого рационального числа, взаимно простого с и α любой элемент из Z [ζ], взаимно простой с a и и конгруэнтный целому рациональному модулю (1–ζ) 2 .

Куммер взаимность [ править ]

Предположим, что ζ — корень l- й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Поскольку l регулярен, мы можем расширить символ {} до идеалов единственным способом, так что

где n — некоторое целое число, простое с l такое, что p н является основным.

Закон взаимности Куммера гласит, что

для p и q любые различные простые идеалы группы Z [ζ], отличные от (1–ζ).

Взаимность Гильберта [ править ]

С точки зрения символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел гласит, что

где произведение находится по всем конечным и бесконечным местам. Для рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы убедиться в этом, возьмем a и b как различные нечетные простые числа. Тогда закон Гильберта принимает вид Но ( p , q ) p равно символу Лежандра, ( p , q ) равно 1, если один из p и q положителен, и –1 в противном случае, и ( p , q ) 2 равно (–1) ( п –1)( q –1)/4 . Таким образом, для p и q положительных нечетных простых чисел закон Гильберта является законом квадратичной взаимности.

Искусство взаимности [ править ]

На языке идел закон взаимности Артина для конечного расширения L / K утверждает, что отображение Артина из группы классов иделей C K в абелианизацию Gal( L / K ) аб группы Галуа исчезает на N L / K ( CL ) и индуцирует изоморфизм

Хотя это не сразу очевидно, из закона взаимности Артина легко вытекают все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям L / K . Например, в частном случае, когда K содержит корни n-й степени из единицы и L = K [ a 1/ н ] является расширением Куммера K , тот факт, что отображение Артина обращается в нуль на N L / K ( CL ) , влечет за собой закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.

Местная взаимность [ править ]

Хассе ввел локальный аналог закона взаимности Артина, названный локальным законом взаимности. Одна из его форм утверждает, что для конечного абелева расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом от в группу Галуа .

законы Явные взаимности

Чтобы получить закон взаимности классического стиля из закона взаимности Гильберта Π( a , b ) p =1, нужно знать значения ( a , b ) p для p, делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.

Законы взаимности власти

Степенной закон взаимности можно сформулировать как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как [3]

Законы рациональной взаимности

Рациональный закон взаимности формулируется в терминах целых рациональных чисел без использования корней из единицы.

Закон взаимности Шольца [ править ]

Взаимность Шимуры [ править ]

Закон взаимности Вейля

Ленглендса Взаимность

включает Программа Ленглендса несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL 1 влекут за собой закон взаимности Артина.

Ямамото взаимности Закон

Закон взаимности Ямамото — это закон взаимности, связанный с числами классов полей квадратичных чисел.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Хирамацу, Тоёкадзу; Сайто, Сэйкен (4 мая 2016 г.). Введение в неабелеву теорию полей классов . Серия по теории чисел и ее приложениям. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/10096 . ISBN  978-981-314-226-8 .
  2. ^ Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции . Основные принципы математических наук. Том 281. Берлин: Шпрингер. п. 152ф. дои : 10.1007/978-3-642-52244-4 . ISBN  3-540-15295-4 .
  3. ^ Нойкирх (1999) стр.415

Обзорные статьи [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 2de527f6e389d59fa3677de8728ef729__1694261760
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/2d/29/2de527f6e389d59fa3677de8728ef729.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Reciprocity law - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)