Закон взаимности
Эта статья включает список общих ссылок , но в ней отсутствуют достаточные соответствующие встроенные цитаты . ( январь 2019 г. ) |
В математике закон взаимности представляет собой обобщение закона квадратичной взаимности на произвольные монические неприводимые многочлены. с целыми коэффициентами. Напомним, что первый закон взаимности, квадратичная взаимность, определяет, когда неприводимый многочлен распадается на линейные члены при уменьшении мод. . То есть он определяет, для каких простых чисел выполняется соотношение
держит. Для общего закона взаимности [1] стр. 3 , оно определяется как правило, определяющее, какие простые числа полином разбивается на линейные факторы, обозначаемые .
Существует несколько различных способов выражения законов взаимности. Ранние законы взаимности, обнаруженные в 19 веке, обычно выражались в терминах символа степенного вычета ( p / q ), обобщающего квадратичный символ взаимности , который описывает, когда простое число является вычетом n- й степени по модулю другого простого числа, и давало соотношение между ( p / q ) и ( q / p ). Гильберт переформулировал законы взаимности так, что произведение ) по p Гильберта символов вычета нормы ( a , b / p , принимающих значения в корнях из единицы, равно 1. Артин переформулировал законы взаимности как утверждение, что символ Артина из идеалов (или иделей) к элементам группы Галуа тривиально на некоторой подгруппе. Несколько более поздних обобщений выражают законы взаимности, используя когомологии групп или представления адельных групп или алгебраических K-групп, и их связь с исходным квадратичным законом взаимности может быть трудно увидеть.
имен Закон взаимности был придуман Лежандром в его публикации 1785 года «Recherches d'analyse indetermine» . [2] потому что нечетные простые числа совершают возвратно-поступательные движения или нет в смысле квадратичной взаимности, указанной ниже, в соответствии с их классами вычетов. . Такое возвратно-поступательное поведение не является хорошим обобщением, в отличие от эквивалентного поведения расщепления. имен Закон взаимности до сих пор используется в более общем контексте расщеплений.
Квадратичная взаимность [ править ]
В терминах символа Лежандра закон квадратичной взаимности гласит:
for positive odd primes we have
Используя определение символа Лежандра, это эквивалентно более элементарному утверждению об уравнениях.
For positive odd primes the solubility of for determines the solubility of for and vice versa by the comparatively simple criterion whether is or .
Согласно факторной теореме и поведению степеней при факторизации разрешимость таких квадратных уравнений сравнения эквивалентна расщеплению ассоциированных квадратных многочленов по кольцу вычетов на линейные множители. В этой терминологии закон квадратичной взаимности формулируется следующим образом.
For positive odd primes the splitting of the polynomial in -residues determines the splitting of the polynomial in -residues and vice versa through the quantity .
Это устанавливает мост от названия, обозначающего возвратно-поступательное поведение простых чисел, введенное Лежандром, к поведению расщепления полиномов, используемых в обобщениях.
Кубическая взаимность [ править ]
Закон кубической взаимности для целых чисел Эйзенштейна гласит, что если α и β первичны (простые числа, конгруэнтные 2 по модулю 3), то
Квартичная взаимность [ править ]
С точки зрения символа вычета четвертой степени, закон взаимности четвертой степени для гауссовых целых чисел гласит, что если π и θ являются первичными (конгруэнтными 1 mod (1+ i ) 3 ) Гауссовы простые числа тогда
Октическая взаимность [ править ]
Взаимность Эйзенштейна [ править ]
Предположим, что ζ корень из единицы для некоторого нечетного простого числа . Степенной характер — это степень ζ такая, что
для любого простого идеала Z [ ζ ]. Он распространяется на другие идеалы посредством мультипликативности. Закон взаимности Эйзенштейна гласит, что
для любого целого рационального числа, взаимно простого с и α любой элемент из Z [ζ], взаимно простой с a и и конгруэнтный целому рациональному модулю (1–ζ) 2 .
Куммер взаимность [ править ]
Предположим, что ζ — корень l- й степени из единицы для некоторого нечетного регулярного простого числа l . Поскольку l регулярен, мы можем расширить символ {} до идеалов единственным способом, так что
- где n — некоторое целое число, простое с l такое, что p н является основным.
Закон взаимности Куммера гласит, что
для p и q любые различные простые идеалы группы Z [ζ], отличные от (1–ζ).
Взаимность Гильберта [ править ]
С точки зрения символа Гильберта закон взаимности Гильберта для поля алгебраических чисел гласит, что
где произведение находится по всем конечным и бесконечным местам. Для рациональных чисел это эквивалентно закону квадратичной взаимности. Чтобы убедиться в этом, возьмем a и b как различные нечетные простые числа. Тогда закон Гильберта принимает вид Но ( p , q ) p равно символу Лежандра, ( p , q ) ∞ равно 1, если один из p и q положителен, и –1 в противном случае, и ( p , q ) 2 равно (–1) ( п –1)( q –1)/4 . Таким образом, для p и q положительных нечетных простых чисел закон Гильберта является законом квадратичной взаимности.
Искусство взаимности [ править ]
На языке идел закон взаимности Артина для конечного расширения L / K утверждает, что отображение Артина из группы классов иделей C K в абелианизацию Gal( L / K ) аб группы Галуа исчезает на N L / K ( CL ) и индуцирует изоморфизм
Хотя это не сразу очевидно, из закона взаимности Артина легко вытекают все ранее открытые законы взаимности, применяя его к подходящим расширениям L / K . Например, в частном случае, когда K содержит корни n-й степени из единицы и L = K [ a 1/ н ] является расширением Куммера K , тот факт, что отображение Артина обращается в нуль на N L / K ( CL ) , влечет за собой закон взаимности Гильберта для символа Гильберта.
Местная взаимность [ править ]
Хассе ввел локальный аналог закона взаимности Артина, названный локальным законом взаимности. Одна из его форм утверждает, что для конечного абелева расширения L / K локальных полей отображение Артина является изоморфизмом от в группу Галуа .
законы Явные взаимности
Чтобы получить закон взаимности классического стиля из закона взаимности Гильберта Π( a , b ) p =1, нужно знать значения ( a , b ) p для p, делящего n . Явные формулы для этого иногда называют явными законами взаимности.
Законы взаимности власти
Степенной закон взаимности можно сформулировать как аналог закона квадратичной взаимности в терминах символов Гильберта как [3]
Законы рациональной взаимности
Рациональный закон взаимности формулируется в терминах целых рациональных чисел без использования корней из единицы.
Закон взаимности Шольца [ править ]
Взаимность Шимуры [ править ]
Закон взаимности Вейля
Ленглендса Взаимность
включает Программа Ленглендса несколько гипотез для общих редуктивных алгебраических групп, которые для специальной группы GL 1 влекут за собой закон взаимности Артина.
Ямамото взаимности Закон
Закон взаимности Ямамото — это закон взаимности, связанный с числами классов полей квадратичных чисел.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Хирамацу, Тоёкадзу; Сайто, Сэйкен (4 мая 2016 г.). Введение в неабелеву теорию полей классов . Серия по теории чисел и ее приложениям. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/10096 . ISBN 978-981-314-226-8 .
- ^ Чандрасекхаран, К. (1985). Эллиптические функции . Основные принципы математических наук. Том 281. Берлин: Шпрингер. п. 152ф. дои : 10.1007/978-3-642-52244-4 . ISBN 3-540-15295-4 .
- ^ Нойкирх (1999) стр.415
- Фрей, Гюнтер (1994), «Закон взаимности от Эйлера до Эйзенштейна», в книге Чикара, Сасаки (ред.), Пересечение истории и математики. Доклады, представленные на симпозиуме по истории математики, проходившем в Токио, Япония, 31 августа - 1 сентября 1990 г. , Sci. Сети Студ., вып. 15, Базель: Биркхойзер, стр. 67–90, номер документа : 10.1090/S0002-9904-1972-12997-5 , ISBN. 9780817650292 , МР 0308080 , Збл 0818.01002
- Гильберт, Дэвид (1897), «Теория полей алгебраических чисел» , Годовой отчет Немецкой математической ассоциации (на немецком языке), 4 : 175–546, ISSN 0012-0456
- Гильберт, Дэвид (1998), Теория полей алгебраических чисел , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03545-0 , ISBN 978-3-540-62779-1 , МР 1646901
- Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности. От Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Спрингера по математике, Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4 , МР 1761696 , Збл 0949.11002
- Леммермейер, Франц, Законы взаимности. От Куммера до Гильберта
- Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6 , Збл 0956.11021
- Степанов С.А. (2001) [1994], «Законы взаимности» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Вайман, Б.Ф. (1972), «Что такое закон взаимности?», Amer. Математика. Monthly , 79 (6): 571–586, doi : 10.2307/2317083 , JSTOR 2317083 , MR 0308084 . Поправка, там же. 80 (1973), 281.