Символ остатка мощности

В теории алгебраических чисел символ n-й вычета степени (для целого числа n > 2) является обобщением (квадратичного) символа Лежандра на n -ю степень. Эти символы используются в формулировке и доказательстве кубических , квартических , Эйзенштейновых и связанных с ними выше. законы взаимности .

Предыстория и обозначения

Пусть k — поле алгебраических чисел с кольцом целых чисел. ${\mathcal {O}}_{k}$ который содержит примитивный корень n-й степени из единицы $\zeta _{n}.$

Позволять ${\mathfrak {p}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ — простой идеал и предположим, что n и ${\mathfrak {p}}$ взаимно просты (т.е. $n\not \in {\mathfrak {p}}$.)

Норма ​ ​ ${\mathfrak {p}}$ определяется как мощность кольца классов вычетов (заметим, что поскольку ${\mathfrak {p}}$ является простым, кольцо классов вычетов является конечным полем ):

$\mathrm {N} {\mathfrak {p}}:=|{\mathcal {O}}_{k}/{\mathfrak {p}}|.$

Аналог теоремы Ферма имеет место в ${\mathcal {O}}_{k}.$ Если $\alpha \in {\mathcal {O}}_{k}-{\mathfrak {p}},$ затем

$\alpha ^{\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}\equiv 1{\bmod {\mathfrak {p}}}.$

И, наконец, предположим $\mathrm {N} {\mathfrak {p}}\equiv 1{\bmod {n}}.$ Эти факты подразумевают, что

$\alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}\equiv \zeta _{n}^{s}{\bmod {\mathfrak {p}}}$

четко определен и соответствует уникальному $n$-й корень из единицы $\zeta _{n}^{s}.$

Определение

Этот корень из единицы называется символом вычета n-й степени для ${\mathcal {O}}_{k},$ и обозначается

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\zeta _{n}^{s}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.$

Свойства

Символ n-й степени имеет свойства, полностью аналогичные свойствам классического (квадратичного) символа Якоби ( $\zeta$ фиксированный примитив $n$-й корень из единицы):

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}={\begin{cases}0&\alpha \in {\mathfrak {p}}\\1&\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and }}\exists \eta \in {\mathcal {O}}_{k}:\alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {p}}}\\\zeta &\alpha \not \in {\mathfrak {p}}{\text{ and there is no such }}\eta \end{cases}}$

Во всех случаях (нулевой и ненулевой)

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\equiv \alpha ^{\frac {\mathrm {N} {\mathfrak {p}}-1}{n}}{\bmod {\mathfrak {p}}}.$

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha \beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}$

$\alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {p}}}\quad \Rightarrow \quad \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=\left({\frac {\beta }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}$

Все символы степенного вычета mod n являются символами Дирихле mod n , а m -й степенной вычет содержит только корни m- й степени из единицы , m -й степенной вычетный символ mod n существует тогда и только тогда, когда m делит $\lambda (n)$ ( лямбда-функция Кармайкла от n ).

символом

Символ остатка n-й степени связан с символом Гильберта. $(\cdot ,\cdot )_{\mathfrak {p}}$ для премьер-министра ${\mathfrak {p}}$ к

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{n}=(\pi ,\alpha )_{\mathfrak {p}}$

в случае ${\mathfrak {p}}$ взаимно простым с n , где $\pi$ любой элемент, униформизирующий локальное поле $K_{\mathfrak {p}}$.

Обобщения

The $n$Символ -й степени может быть расширен таким образом, чтобы в качестве «знаменателя» использовались непростые идеалы или ненулевые элементы, точно так же, как символ Якоби расширяет символ Лежандра.

Любой идеал ${\mathfrak {a}}\subset {\mathcal {O}}_{k}$ является продуктом первичных идеалов, и только в одном смысле:

${\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}_{1}\cdots {\mathfrak {p}}_{g}.$

The $n$Символ -й степени расширяется мультипликативно:

$\left({\frac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)_{n}\cdots \left({\frac {\alpha }{{\mathfrak {p}}_{g}}}\right)_{n}.$

Для $0\neq \beta \in {\mathcal {O}}_{k}$ тогда мы определяем

$\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}:=\left({\frac {\alpha }{(\beta )}}\right)_{n},$

где $(\beta )$ является главным идеалом, порожденным $\beta .$

Аналогично квадратичному символу Якоби, этот символ мультипликативен по верхнему и нижнему параметрам.

• Если $\alpha \equiv \beta {\bmod {\mathfrak {a}}}$ затем $\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.$
• $\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha \beta }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}.$
• $\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {b}}}\right)_{n}=\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {ab}}}\right)_{n}.$

Поскольку символ всегда $n$Корень -й степени из единицы, в силу своей мультипликативности он равен 1, если один параметр является $n$-я мощность; обратное неверно.

• Если $\alpha \equiv \eta ^{n}{\bmod {\mathfrak {a}}}$ затем $\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1.$
• Если $\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}\neq 1$ затем $\alpha$ не является $n$-я степень по модулю ${\mathfrak {a}}.$
• Если $\left({\tfrac {\alpha }{\mathfrak {a}}}\right)_{n}=1$ затем $\alpha$ может быть или не быть $n$-я степень по модулю ${\mathfrak {a}}.$

Закон

Степенной закон взаимности , аналог закона квадратичной взаимности , может быть сформулирован в терминах символов Гильберта как

$\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}},$

в любое время $\alpha$ и $\beta$ взаимнопросты.

См. также

• Модульная_арифметика#Класс_остатка
• Quadratic_residue#Prime_power_modulus
• Символическое искусство
• Лемма Гаусса

Ссылки

• Гра, Жорж (2003), Теория полей классов. От теории к практике , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag , стр. 204–207, ISBN  3-540-44133-6 , Збл   1019.11032
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer Science+Business Media , ISBN  0-387-97329-Х
• Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике , Берлин: Springer Science + Business Media , doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 , ISBN  3-540-66957-4 , МР   1761696 , Збл   0949.11002
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN  3-540-65399-6 , Збл   0956.11021