взаимность Эйзенштейна

В теории алгебраических чисел закон взаимности Эйзенштейна представляет собой закон взаимности , который расширяет закон квадратичной взаимности и кубический закон взаимности на вычеты более высоких степеней. Это один из самых ранних и простых законов взаимности, который является следствием нескольких более поздних и более сильных законов взаимности, таких как закон взаимности Артина . Он был введен Эйзенштейном ( 1850 г. ), хотя ранее Якоби объявил (без доказательства) аналогичный результат для частных случаев 5-й, 8-й и 12-й степеней в 1839 г. ^[1]

Предыстория и обозначения

Позволять $m>1$ быть целым числом, и пусть ${\mathcal {O}}_{m}$ — кольцо целых -го m кругового поля $\mathbb {Q} (\zeta _{m}),$ где $\zeta _{m}=e^{2\pi i{\frac {1}{m}}}$ это примитивный корень m-й степени из единицы .

Числа $\zeta _{m},\zeta _{m}^{2},\dots \zeta _{m}^{m}=1$ являются единицами в ${\mathcal {O}}_{m}.$ (Есть другие подразделения и .)

Первичные числа

Число $\alpha \in {\mathcal {O}}_{m}$ называется первичным ^[2]^[3] если это не единица , то относительно просто $m$ , и конгруэнтно рациональному (т.е. в $\mathbb {Z}$ ) целое число ${\pmod {(1-\zeta _{m})^{2}}}.$

Следующая лемма ^[4]^[5] показывает, что первичные числа в ${\mathcal {O}}_{m}$ аналогичны целым положительным числам в $\mathbb {Z} .$

Предположим, что $\alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m}$ и что оба $\alpha$ и $\beta$ являются относительно простыми для $m.$ Затем

Существует целое число $c$ изготовление $\zeta _{m}^{c}\alpha$ начальный. Это целое число уникально ${\pmod {m}}.$
если $\alpha$ и $\beta$ тогда первичны $\alpha \pm \beta$ является первичным при условии, что $\alpha \pm \beta$ является взаимно простым с $m$ .
если $\alpha$ и $\beta$ тогда первичны $\alpha \beta$ является первичным.
$\alpha ^{m}$ является первичным.

Значение $1-\zeta _{m}$ которое появляется в определении, легче всего увидеть, когда $m=l$ является простым числом. В этом случае $l=(1-\zeta _{l})(1-\zeta _{l}^{2})\dots (1-\zeta _{l}^{l-1}).$ Более того, главный идеал $(l)$ из $\mathbb {Z}$ полностью разветвлен в $\mathbb {Q} (\zeta _{l})$
$(l)=(1-\zeta _{l})^{l-1},$
и идеал $(1-\zeta _{l})$ является простым числом степени 1. ^[6]^[7]

m - символ остатка степени

Для $\alpha ,\beta \in {\mathcal {O}}_{m},$ символ m -го степенного остатка для ${\mathcal {O}}_{m}$ либо ноль, либо корень m -й степени из единицы:

\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}={\begin{cases}\zeta {\mbox{ where }}\zeta ^{m}=1&{\mbox{ if }}\alpha {\mbox{ and }}\beta {\mbox{ are relatively prime}}\\0&{\mbox{ otherwise}}.\\\end{cases}}

Это в m версия классического (квадратичного, m = 2) символа Якоби -й степени (при условии, что $\alpha$ и $\beta$ относительно простые):

Если $\eta \in {\mathcal {O}}_{m}$ и $\alpha \equiv \eta ^{m}{\pmod {\beta }}$ затем $\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1.$
Если $\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}\neq 1$ затем $\alpha$ не является m -й степенью ${\pmod {\beta }}.$
Если $\left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{m}=1$ затем $\alpha$ может быть или не быть m -й степенью ${\pmod {\beta }}.$

Формулировка теоремы

Позволять $m\in \mathbb {Z}$ быть нечетным простым числом и $a\in \mathbb {Z}$ целое число относительно простое $m.$ Затем

Первое дополнение

\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\zeta _{m}^{\frac {a^{m-1}-1}{m}}.

^[8]

Второе дополнение

\left({\frac {1-\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}=\left({\frac {\zeta _{m}}{a}}\right)_{m}^{\frac {m+1}{2}}.

^[8]

взаимность Эйзенштейна

Позволять $\alpha \in {\mathcal {O}}_{m}$ быть первичным (и, следовательно, относительно простым по отношению к $m$ ), и предположим, что $\alpha$ также является относительно простым для $a$ . Затем ^[8]^[9]

\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{m}=\left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{m}.

Доказательство

Теорема является следствием соотношения Штикельбергера . ^[10]^[11]

Вейль (1975) дает историческое обсуждение некоторых ранних законов взаимности, включая доказательство закона Эйзенштейна с использованием сумм Гаусса и Якоби, основанное на оригинальном доказательстве Эйзенштейна.

Обобщение

В 1922 году Такаги доказал, что если $K\supset \mathbb {Q} (\zeta _{l})$ — произвольное поле алгебраических чисел, содержащее $l$ -й корень из единицы для простого числа $l$ , то закон Эйзенштейна для $l$ -я полномочия удерживаются $K.$ ^[12]

Приложения

Первый случай Великой теоремы Ферма

Предположим, что $p$ является нечетным простым числом, то есть $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0\;\;$ для попарно относительно простых целых чисел (т.е. в $\mathbb {Z}$ ) $x,y,z$ и это $p\nmid xyz.\;\;$

Это первый случай Великой теоремы Ферма . (Второй случай – когда $p\mid xyz.\;$ ) Взаимность Эйзенштейна можно использовать для доказательства следующих теорем

(Виферих, 1909 г.) ^[13]^[14] Согласно вышеизложенным предположениям, $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.\;\;$

Единственные простые числа ниже 6,7×10. ¹⁵ этому удовлетворяют числа 1093 и 3511. см. в простых числах Вифериха . Подробности и текущие записи

(Мириманов, 1911 г.) ^[15] При сделанных выше предположениях $3^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

Аналогичные результаты верны для всех простых чисел ≤ 113, но в доказательстве не используется закон Эйзенштейна. См. Простое число Вифериха#Связь с Великой теоремой Ферма .

(Фуртвенглер, 1912 г.) ^[16]^[17] При сделанных выше предположениях для каждого простого числа $r\mid x,\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

(Фуртвенглер, 1912 г.) ^[18] При сделанных выше предположениях для каждого простого числа $r\mid (x-y),\;\;\;r^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}.$

(Вандивер) ^[19] При сделанных выше предположениях, если дополнительно $p>3,$ затем $x^{p}\equiv x,\;y^{p}\equiv y$ и $z^{p}\equiv z{\pmod {p^{3}}}.$

Силы модифицируют большинство простых чисел

Закон Эйзенштейна можно использовать для доказательства следующей теоремы (Трост, Анкени , Роджерс ). ^[20] Предполагать $a\in \mathbb {Z}$ и это $l\nmid a$ где $l$ является нечетным простым числом. Если $x^{l}\equiv a{\pmod {p}}$ разрешимо для всех простых чисел, кроме конечного числа $p$ затем $a=b^{l}.$

См. также

Примечания

^ Леммермейер, с. 392.
^ Ирландия и Розен, гл. 14.2
^ Леммермейер, гл. 11.2, используется термин полупервичный.
^ Ирландия и Розен, лемма в гл. 14.2 (только первое утверждение)
^ Леммерейер, лемма 11.6.
^ Ирландия и Розен, реквизит 13.2.7
^ Леммермейер, Prop. 3.1
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Леммермейер, шт. 11,9
^ Ирландия и Розен, гл. 14 тыс. 1
^ Ирландия и Розен, гл. 14,5
^ Леммермейер, гл. 11.2
^ Леммермейер, гл. 11 нот
^ Леммермейер, бывш. 11.33
^ Ирландия и Розен, th. 14,5
^ Леммермейер, бывш. 11.37
^ Леммермейер, бывш. 11.32
^ Ирландия и Розен, th. 14,6
^ Леммермейер, бывш. 11.36
^ Ирландия и Розен, примечания к гл. 14
^ Ирландия и Розен, гл. 14,6, тыс. 4. Это часть более общей теоремы: предположим, что $x^{n}\equiv a{\pmod {p}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел $p.$ Тогда я) если $8\nmid n$ затем $a=b^{n}$ но ii) если $8|n$ затем $a=b^{n}$ или $a=2^{\frac {n}{2}}b^{n}.$

Ссылки

Эйзенштейн, Готхольд (1850), «Доказательство наиболее общих законов взаимности между действительными и комплексными числами», Труды Королевской прусской академии наук в Берлине (на немецком языке): 189–198, перепечатано в Mathematical Works, том 2, страницы 712–721
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (второе издание) , Нью-Йорк: Springer Science+Business Media , ISBN 0-387-97329-Х

Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Берлин: Springer Science + Business Media , ISBN 3-540-66957-4

Вейль, Андре (1975), «Циклотомия раньше и раньше», Семинар Бурбаки, Vol. 1973/1974, 26-й год, эксп. № 452 , Конспекты лекций по математике, вып. 431, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 318–338, МР 0432517

[1] Леммермейер, с. 392.

[2] Ирландия и Розен, гл. 14.2

[3] Леммермейер, гл. 11.2, используется термин полупервичный.

[4] Ирландия и Розен, лемма в гл. 14.2 (только первое утверждение)

[5] Леммерейер, лемма 11.6.

[6] Ирландия и Розен, реквизит 13.2.7

[7] Леммермейер, Prop. 3.1

[Lemmermeyer,_thm._11.9-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Леммермейер, шт. 11,9

[9] Ирландия и Розен, гл. 14 тыс. 1

[10] Ирландия и Розен, гл. 14,5

[11] Леммермейер, гл. 11.2

[12] Леммермейер, гл. 11 нот

[13] Леммермейер, бывш. 11.33

[14] Ирландия и Розен, th. 14,5

[15] Леммермейер, бывш. 11.37

[16] Леммермейер, бывш. 11.32

[17] Ирландия и Розен, th. 14,6

[18] Леммермейер, бывш. 11.36

[19] Ирландия и Розен, примечания к гл. 14

[20] Ирландия и Розен, гл. 14,6, тыс. 4. Это часть более общей теоремы: предположим, что $x^{n}\equiv a{\pmod {p}}$ для всех, кроме конечного числа простых чисел $p.$ Тогда я) если $8\nmid n$ затем $a=b^{n}$ но ii) если $8|n$ затем $a=b^{n}$ или $a=2^{\frac {n}{2}}b^{n}.$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]