Jump to content

Артин взаимность

(Перенаправлено из закона взаимности Артина )

, Закон взаимности Артина который был установлен Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), представляет собой общую теорему в теории чисел , которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов . [1] Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до Гильберта формулы произведения для символа нормы . Результат Артина обеспечил частичное решение девятой проблемы Гильберта .

Заявление [ править ]

Позволять быть расширением Галуа глобальных полей и стоим за группу класса idèle из . Одно из утверждений закона взаимности Артина состоит в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным отображением символов. [2] [3]

где обозначает абелианизацию группы, а это Галуа группа над . Карта определяется путем сборки карт, называемых локальным символом Артина , локальной картой взаимности или символом нормированного остатка. [4] [5]

для разных мест из . Точнее, дано местными картами на -компонент класса idèle. Карты являются изоморфизмами. В этом состоит содержание локального закона взаимности , основной теоремы локальной теории полей классов .

Доказательство [ править ]

Когомологическое доказательство глобального закона взаимности можно получить, сначала установив, что

представляет собой классовую формацию в смысле Артина и Тейта. [6] Тогда доказывают, что

где обозначим группы когомологий Тейта . Вычисление групп когомологий устанавливает, что является изоморфизмом.

Значение [ править ]

Закон взаимности Артина предполагает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , основанное на локально-глобальном принципе Хассе и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такаги она используется для описания абелевых расширений K и в терминах арифметики K для понимания поведения неархимедовых мест в них. Поэтому закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства L-функций Артина мероморфности теоремы , а также для доказательства плотности Чеботарёва . [7]

Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл трансферный гомоморфизм И. Шура и использовал закон взаимности для перевода проблемы принципализации идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер трансферов. конечных неабелевых групп. [8]

Конечные расширения глобальных полей [ править ]

(См. https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP для объяснение некоторых используемых здесь терминов)

Определение отображения Артина для конечного абелева расширения L / K глобальных полей (например, конечного абелева расширения поля ) имеет конкретное описание в терминах простых идеалов и элементов Фробениуса .

Если является простым числом K , то группы разложения простых чисел выше равны в Gal( L / K ), так как последняя группа абелева . Если неразветвлена L ​​в , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal( L / K ), обозначаемый через или . Если Δ обозначает относительный дискриминант L ( / K , символ Артина (или карта Артина , или глобальная) карта взаимности ) L / K определяется на группе дробных идеалов от простого числа до Δ , , по линейности:

Закон взаимности Артина (или глобальный закон взаимности ) утверждает, что существует модуль c числа K такой, что отображение Артина индуцирует изоморфизм

где Kc , 1 луч по модулю c , NL / K отображение нормы, связанное с L / K, и — дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль c называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается

Примеры [ править ]

Квадратичные поля [ править ]

Если целое число без квадратов , и , затем можно отождествить с {±1}. Дискриминант ∆ оператора L по d ≡ 1 ( или 4 d в зависимости от того, d mod 4) или нет. Затем отображение Артина определяется на простых числах p , которые не делят Δ на

где является символом Кронекера . [9] Точнее, дирижер является главным идеалом (Δ) или (Δ)∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, [10] а отображение Артина на идеале, простом до Δ ( n ), задается символом Кронекера Это показывает, что простое число p расщепляется или инертно в L в зависимости от того, является ли равно 1 или −1.

Циклотомные поля [ править ]

Пусть m > 1 — либо нечетное целое число, либо кратное 4, пусть примитивный корень m-й степени из единицы , и пусть быть m-м круговым полем . можно отождествить с отправив σ в σ , заданный правилом

Дирижер есть ( м )∞, [11] а отображение Артина на идеале, простом из m ( n ), — это просто n (mod m ) в [12]

с квадратичной Связь взаимностью

Пусть р и быть различными нечетными простыми числами. Для удобства пусть (который всегда равен 1 (мод. 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что

Связь между квадратичным законом взаимности и законом взаимности Артина устанавливается путем изучения квадратичного поля и круговое поле следующее. [9] Во-первых, F — подполе L , поэтому, если H = Gal( L / F ) и затем Поскольку последняя имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в Основное свойство символа Артина гласит, что для каждого идеала, простого числа до ℓ ( n )

Когда n = p , это показывает, что тогда и только тогда, когда p по модулю ℓ находится в H , т.е. тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю ℓ.

Утверждение в терминах L -функций [ править ]

Альтернативная версия закона взаимности, приводящая к программе Ленглендса , соединяет L-функции Артина , ассоциированные с абелевыми расширениями числового поля , с L-функциями Гекке, ассоциированными с характерами группы классов idèle. [13]

Характер Гекке (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы классов идель K . Роберт Ленглендс интерпретировал характеры Гекке как формы редуктивной алгебраической группы GL (1) над кольцом аделей K автоморфные . [14]

Позволять — абелевое расширение Галуа с группой Галуа G . Тогда для любого персонажа (т.е. одномерное комплексное представление группы G ), существует характер Гекке K что такой,

где левая часть — это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть — это L-функция Хекке, связанная с χ, раздел 7.D. [14]

Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие все еще отсутствует.

Примечания [ править ]

  1. ^ Хельмут Хассе , История теории полей классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрёлиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279.
  2. ^ Нойкирх (1999) стр.391
  3. ^ Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности учитывает разветвление.
  4. ^ Теплица (1967) стр.140
  5. ^ Серр (1979) стр.197
  6. ^ Серр (1979) стр.164
  7. ^ Юрген Нойкирх, Алгебраическая теория чисел , Springer, 1992, Глава VII.
  8. ^ Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Идеальные классы верхних тел и общий закон взаимности», статьи математического семинара Гамбургского университета , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 .
  9. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Леммермейер 2000 , §3.2
  10. ^ Милн 2008 , пример 3.11.
  11. ^ Милн 2008 , пример 3.10.
  12. ^ Милн 2008 , пример 3.2.
  13. ^ Джеймс Милн, Теория поля классов
  14. ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах Адель , Анналы математических исследований, том. 83, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, MR   0379375 .

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7c309c0486ca72e60d0f38d9a8d8f912__1705928940
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7c/12/7c309c0486ca72e60d0f38d9a8d8f912.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Artin reciprocity - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)