Артин взаимность
, Закон взаимности Артина который был установлен Эмилем Артином в серии статей (1924; 1927; 1930), представляет собой общую теорему в теории чисел , которая составляет центральную часть глобальной теории полей классов . [1] Термин « закон взаимности » относится к длинному ряду более конкретных теоретико-числовых утверждений, которые он обобщил, от квадратичного закона взаимности и законов взаимности Эйзенштейна и Куммера до Гильберта формулы произведения для символа нормы . Результат Артина обеспечил частичное решение девятой проблемы Гильберта .
Заявление [ править ]
Позволять быть расширением Галуа глобальных полей и стоим за группу класса idèle из . Одно из утверждений закона взаимности Артина состоит в том, что существует канонический изоморфизм, называемый глобальным отображением символов. [2] [3]
где обозначает абелианизацию группы, а это Галуа группа над . Карта определяется путем сборки карт, называемых локальным символом Артина , локальной картой взаимности или символом нормированного остатка. [4] [5]
для разных мест из . Точнее, дано местными картами на -компонент класса idèle. Карты являются изоморфизмами. В этом состоит содержание локального закона взаимности , основной теоремы локальной теории полей классов .
Доказательство [ править ]
Когомологическое доказательство глобального закона взаимности можно получить, сначала установив, что
представляет собой классовую формацию в смысле Артина и Тейта. [6] Тогда доказывают, что
где обозначим группы когомологий Тейта . Вычисление групп когомологий устанавливает, что является изоморфизмом.
Значение [ править ]
Закон взаимности Артина предполагает описание абелианизации абсолютной группы Галуа глобального поля K , основанное на локально-глобальном принципе Хассе и использовании элементов Фробениуса . Вместе с теоремой существования Такаги она используется для описания абелевых расширений K и в терминах арифметики K для понимания поведения неархимедовых мест в них. Поэтому закон взаимности Артина можно интерпретировать как одну из основных теорем глобальной теории полей классов. Его можно использовать для доказательства L-функций Артина мероморфности теоремы , а также для доказательства плотности Чеботарёва . [7]
Через два года после публикации своего общего закона взаимности в 1927 году Артин заново открыл трансферный гомоморфизм И. Шура и использовал закон взаимности для перевода проблемы принципализации идеальных классов полей алгебраических чисел в теоретико-групповую задачу определения ядер трансферов. конечных неабелевых групп. [8]
Конечные расширения глобальных полей [ править ]
(См. https://math.stackexchange.com/questions/4131855/frobenius-elements#:~:text=A%20Frobenius%20element%20for%20P,some%20%CF%84%E2%88%88KP для объяснение некоторых используемых здесь терминов)
Определение отображения Артина для конечного абелева расширения L / K глобальных полей (например, конечного абелева расширения поля ) имеет конкретное описание в терминах простых идеалов и элементов Фробениуса .
Если является простым числом K , то группы разложения простых чисел выше равны в Gal( L / K ), так как последняя группа абелева . Если неразветвлена L в , то группа разложения канонически изоморфна группе Галуа расширения полей вычетов над . Следовательно, существует канонически определенный элемент Фробениуса в Gal( L / K ), обозначаемый через или . Если Δ обозначает относительный дискриминант L ( / K , символ Артина (или карта Артина , или глобальная) карта взаимности ) L / K определяется на группе дробных идеалов от простого числа до Δ , , по линейности:
Закон взаимности Артина (или глобальный закон взаимности ) утверждает, что существует модуль c числа K такой, что отображение Артина индуцирует изоморфизм
где Kc , 1 — луч по модулю c , NL / K — отображение нормы, связанное с L / K, и — дробные идеалы L, простые с c . Такой модуль c называется определяющим модулем для L / K . Наименьший определяющий модуль называется проводником L / K и обычно обозначается
Примеры [ править ]
Квадратичные поля [ править ]
Если — целое число без квадратов , и , затем можно отождествить с {±1}. Дискриминант ∆ оператора L по d ≡ 1 ( или 4 d в зависимости от того, d mod 4) или нет. Затем отображение Артина определяется на простых числах p , которые не делят Δ на
где является символом Кронекера . [9] Точнее, дирижер является главным идеалом (Δ) или (Δ)∞ в зависимости от того, является ли Δ положительным или отрицательным, [10] а отображение Артина на идеале, простом до Δ ( n ), задается символом Кронекера Это показывает, что простое число p расщепляется или инертно в L в зависимости от того, является ли равно 1 или −1.
Циклотомные поля [ править ]
Пусть m > 1 — либо нечетное целое число, либо кратное 4, пусть — примитивный корень m-й степени из единицы , и пусть быть m-м круговым полем . можно отождествить с отправив σ в σ , заданный правилом
Дирижер есть ( м )∞, [11] а отображение Артина на идеале, простом из m ( n ), — это просто n (mod m ) в [12]
с квадратичной Связь взаимностью
Пусть р и быть различными нечетными простыми числами. Для удобства пусть (который всегда равен 1 (мод. 4)). Тогда квадратичная взаимность утверждает, что
Связь между квадратичным законом взаимности и законом взаимности Артина устанавливается путем изучения квадратичного поля и круговое поле следующее. [9] Во-первых, F — подполе L , поэтому, если H = Gal( L / F ) и затем Поскольку последняя имеет порядок 2, подгруппа H должна быть группой квадратов в Основное свойство символа Артина гласит, что для каждого идеала, простого числа до ℓ ( n )
Когда n = p , это показывает, что тогда и только тогда, когда p по модулю ℓ находится в H , т.е. тогда и только тогда, когда p является квадратом по модулю ℓ.
Утверждение в терминах L -функций [ править ]
Альтернативная версия закона взаимности, приводящая к программе Ленглендса , соединяет L-функции Артина , ассоциированные с абелевыми расширениями числового поля , с L-функциями Гекке, ассоциированными с характерами группы классов idèle. [13]
Характер Гекке (или Größencharakter) числового поля K определяется как квазихарактер группы классов идель K . Роберт Ленглендс интерпретировал характеры Гекке как формы редуктивной алгебраической группы GL (1) над кольцом аделей K автоморфные . [14]
Позволять — абелевое расширение Галуа с группой Галуа G . Тогда для любого персонажа (т.е. одномерное комплексное представление группы G ), существует характер Гекке K что такой,
где левая часть — это L-функция Артина, связанная с расширением с характером σ, а правая часть — это L-функция Хекке, связанная с χ, раздел 7.D. [14]
Формулировка закона взаимности Артина как равенства L -функций позволяет сформулировать обобщение на n -мерные представления, хотя прямое соответствие все еще отсутствует.
Примечания [ править ]
- ^ Хельмут Хассе , История теории полей классов , в алгебраической теории чисел , под редакцией Касселса и Фрёлиха, Academic Press, 1967, стр. 266–279.
- ^ Нойкирх (1999) стр.391
- ^ Юрген Нойкирх , Algebraische Zahlentheorie , Springer, 1992, стр. 408. Фактически, более точная версия закона взаимности учитывает разветвление.
- ^ Теплица (1967) стр.140
- ^ Серр (1979) стр.197
- ^ Серр (1979) стр.164
- ^ Юрген Нойкирх, Алгебраическая теория чисел , Springer, 1992, Глава VII.
- ^ Артин, Эмиль (декабрь 1929 г.), «Идеальные классы верхних тел и общий закон взаимности», статьи математического семинара Гамбургского университета , 7 (1): 46–51, doi : 10.1007/BF02941159 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Леммермейер 2000 , §3.2
- ^ Милн 2008 , пример 3.11.
- ^ Милн 2008 , пример 3.10.
- ^ Милн 2008 , пример 3.2.
- ^ Джеймс Милн, Теория поля классов
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гелбарт, Стивен С. (1975), Автоморфные формы на группах Адель , Анналы математических исследований, том. 83, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, MR 0379375 .
Ссылки [ править ]
- Эмиль Артин (1924) «О новом типе L-ряда», трактаты Математического семинара Гамбургского университета 3: 89–108; Сборник статей , Аддисон Уэсли (1965), 105–124.
- Эмиль Артин (1927) «Доказательство общего закона взаимности», статьи математического семинара Гамбургского университета 5: 353–363; Сборник статей , 131–141.
- Эмиль Артин (1930) «Идеальные классы верхней части тела и общий закон взаимности», статьи математического семинара Гамбургского университета 7: 46–51; Сборник статей , 159–164.
- Фрей, Гюнтер (2004), «Об истории закона взаимности Артина в абелевых расширениях полей алгебраических чисел: как Артин пришел к своему закону взаимности», у Олава Арнфинна Ладала; Рагни Пиене (ред.), Наследие Нильса Хенрика Абеля. Материалы конференции, посвященной двухсотлетию Абеля, Университет Осло, Осло, Норвегия, 3–8 июня 2002 г. , Берлин: Springer-Verlag , стр. 267–294, ISBN 978-3-540-43826-7 , МР 2077576 , Збл 1065.11001
- Януш, Джеральд (1973), Поля алгебраических чисел , Чистая и прикладная математика, том. 55, Академическое издательство, ISBN 0-12-380250-4
- Ланг, Серж (1994), Алгебраическая теория чисел , Тексты для аспирантов по математике , вып. 110 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-94225-4 , МР 1282723
- Леммермейер, Франц (2000), Законы взаимности: от Эйлера до Эйзенштейна , Монографии Springer по математике , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66957-9 , МР 1761696 , Збл 0949.11002
- Милн, Джеймс (2008), Теория полей классов (изд. v4.0) , получено 22 февраля 2010 г.
- Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Основы математических наук, том. 322, перевод с немецкого Норберта Шаппахера, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6 , Збл 0956.11021
- Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, перевод Гринберга, Марвина Джея , Нью-Йорк, Гейдельберг, Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90424-7 , Збл 0423.12016
- Серр, Жан-Пьер (1967), «VI. Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 128–161, Zbl 0153.07403.
- Тейт, Джон (1967), «VII. Теория поля глобального класса», в Касселсе, JWS ; Фрелих А. (ред.), Алгебраическая теория чисел. Материалы учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО) при поддержке Международного математического союза , Лондон: Academic Press, стр. 162–203, Zbl 0153.07403.