Дискриминант поля алгебраических чисел

«Теорема Брилла» перенаправляется сюда. Результаты по алгебраической геометрии см. в теореме Брилля – Нётер .

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K, полученного из Q присоединением корня числа x ³ − х ² − 2 x + 1. Эта фундаментальная область находится внутри K ⊗ _Q   R . Дискриминант K равен 49 = 7. ² . Соответственно, объем фундаментального домена равен 7, а K только разветвлен в 7.

В математике дискриминант , который, грубо говоря , поля алгебраических чисел — это числовой инвариант измеряет размер ( кольца целых чисел ) поля алгебраических чисел. Точнее, оно пропорционально квадрату объема фундаментальной области кольца целых чисел и определяет, какие простые числа являются разветвленными .

Дискриминант является одним из самых основных инвариантов числового поля и встречается в нескольких важных аналитических формулах, таких как функциональное уравнение дзета Дедекинда - функции K и формула числа аналитических классов для K . Теорема Эрмита утверждает , что существует только конечное число числовых полей ограниченного дискриминанта, однако определение этой величины все еще остается открытой проблемой и предметом текущих исследований.

Дискриминант K назвать абсолютным дискриминантом K , чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения K / можно L числовых полей. Последний является идеалом в кольце целых чисел L и, как и абсолютный дискриминант, указывает, какие простые числа разветвлены в K / L . Это обобщение абсолютного дискриминанта, позволяющее L быть больше Q ; фактически, когда L = Q , относительный дискриминант K / Q является главным идеалом Z, порожденным абсолютным K. дискриминантом

Определение

Пусть K — поле алгебраических чисел и OK _— его кольцо целых чисел . Пусть b ₁ , ..., b _n — целочисленный базис O 1 _K (т. е. базис как Z -модуль ), и пусть {σ _, ..., σ _n } — множество вложений K в комплексные числа (т.е. инъективные кольцевые гомоморфизмы K → C ). Дискриминант ( K , это квадрат определителя b матрицы n размером n, i B которой j j ) -элементом _{является σ i} ( — _на ). Символически,

$\Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.$

Эквивалентно трассировку от K до Q. можно использовать В частности, определите форму следа как матрицу, чья ( i , j )-запись равна Tr _{K / Q} ( б _я б _j ). Эта матрица равна B ^Т B , поэтому квадрат дискриминанта K является определителем этой матрицы.

дискриминант порядка в K с целым базисом b ₁ , ..., b _n Аналогично определяется .

Примеры

• Поля квадратичных чисел : пусть d — целое число без квадратов , тогда дискриминант $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ является

$\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&{\text{if }}d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&{\text{if }}d\equiv 2,3{\pmod {4}}.\\\end{array}}\right.$

Целое число, которое встречается в качестве дискриминанта поля квадратичных чисел, называется фундаментальным дискриминантом .

• Круговые поля : пусть n > 2 — целое число, пусть ζ _n — примитивный корень n-й степени из единицы и пусть K _n = Q (ζ _n ) — n-й степени круговое поле . Дискриминант K _n определяется выражением

$\Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p|n}p^{\varphi (n)/(p-1)}}}$

где $\varphi (n)$ является общей функцией Эйлера , а произведение в знаменателе находится над простыми числами p, делящими n .

• В случае, когда кольцо целых чисел имеет степенной целочисленный базис , то есть может быть записано как OK _{Степенные основания :} = Z [α], дискриминант K равен дискриминанту минимального многочлена α. в этом, можно выбрать целочисленный базис OK _{Чтобы убедиться} равным b ₁ = 1, b ₂ = α, b ₃ = α. ² , ..., b _n = α ^{п -1} . Тогда матрица в определении — это матрица Вандермонда, связанная с α _i = σ _i (α), квадрат определителя которой равен

$\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2}$

что и есть определение дискриминанта минимального многочлена.

• Пусть K = Q (α) — числовое поле, присоединением корня полученное α многочлена x ³ − х ² − 2 x − 8. Это оригинальный пример Ричарда Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не имеет степенного базиса. Целочисленный базис равен {1, α, α(α + 1)/2}, а дискриминант K равен −503.
• Повторяющиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля однозначно идентифицирует его, но, как правило, это неверно для более высокой степени числовых полей . Например, существуют два неизоморфных кубических поля дискриминанта 3969. Они получаются присоединением корня многочлена x ³ − 21 х + 28 или х ³ − 21 x − 35 соответственно.

Основные результаты

• Теорема Брилла : Знак ) дискриминанта (−1 ^{год ₂} где r ₂ количество комплексных мест K . —
• Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит Δ _K .
• Теорема Стикельбергера :

$\Delta _{K}\equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}.$

• Граница Минковского : Пусть n обозначает степень расширения K / Q , а r2 — _{количество} комплексных мест K , тогда

$|\Delta _{K}|^{1/2}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{r_{2}}\geq {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.$

• Теорема Минковского : Если K не Q , то |Δ _K | > 1 (это следует непосредственно из оценки Минковского).
• Теорема Эрмита–Минковского : Пусть N — целое положительное число. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизмов) полей алгебраических чисел K , для которых |Δ _K | < Н . Опять же, это следует из теоремы Минковского, связанной с теоремой Эрмита (о том, что существует только конечное число полей алгебраических чисел с предписанным дискриминантом).

История

Ричард Дедекинд показал, что каждое числовое поле обладает целым базисом, что позволяет ему определить дискриминант произвольного числового поля.

Определение дискриминанта общего поля алгебраических чисел K было дано Дедекиндом в 1871 году. К этому моменту он уже знал связь между дискриминантом и ветвлением.

Теорема Эрмита появилась раньше общего определения дискриминанта, и Чарльз Эрмит опубликовал ее доказательство в 1857 году. В 1877 году Александр фон Брилль определил знак дискриминанта. Леопольд Кронекер впервые сформулировал теорему Минковского в 1882 году: хотя первое доказательство было дано Германом Минковским в 1891 году. В том же году Минковский опубликовал свою оценку дискриминанта. Ближе к концу девятнадцатого века Людвиг Штикельбергер получил свою теорему о вычете дискриминанта по модулю четыре.

Относительный дискриминант

Определенный выше дискриминант иногда называют абсолютным дискриминантом поля K, отличить его от относительного дискриминанта Δ _{K / L} расширения числовых полей K / L , который является идеалом в O _L. чтобы Относительный дискриминант определяется аналогично абсолютному дискриминанту, но необходимо учитывать, что идеалы в могут _не быть главными и что не может быть OL _для базиса OK _. OL Пусть {σ ₁ , ..., σ _n } — множество вложений K в C, которые являются тождественными на L . Если b ₁ , ..., bn _- любой базис K над L , пусть d ( b ₁ , ..., bn ₎ - квадрат определителя матрицы n на n , ( i , j )- запись σ _я ( б _j ). Тогда относительный дискриминант K / L — это идеал, порожденный ( b 1 _, ..., b _n ), поскольку { b ₁ , ..., bn _} изменяется по всем целочисленным базам K / L. d свойством, что ∈ _OK для всех _b i . ) Альтернативно, относительный дискриминант K / L является нормой дифференцированного / K L (т.е. базисы со i . Когда L = Q , относительный дискриминант Δ _{K / Q} является главным идеалом Z, абсолютным дискриминантом Δ _K. порожденным В башне полей K / L / F относительные дискриминанты связаны соотношением

$\Delta _{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta _{K/L}}\right)\Delta _{L/F}^{[K:L]}$

где ${\mathcal {N}}$ обозначает относительную норму .

Разветвление

Относительный дискриминант регулирует данные ветвления расширения поля K / L . Простой идеал p группы L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант Δ _{K / L} . Расширение неразветвлено тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом. Приведенная выше оценка Минковского показывает, что не существует нетривиальных неразветвленных расширений Q . Поля большего размера, чем Q, могут иметь неразветвленные расширения: например, для любого поля с номером класса больше единицы его поле класса Гильберта является нетривиальным неразветвленным расширением.

Корневой дискриминант

Корневой дискриминант степени n числового поля K определяется по формуле

$\operatorname {rd} _{K}=|\Delta _{K}|^{1/n}.$

Связь между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвленном расширении.

Асимптотические нижние оценки

Учитывая неотрицательные рациональные числа ρ и σ (не одновременно 0), и целое положительное число n такие, что пара ( r ,2 s ) = ( ρn , σn ) находится в Z × 2 Z , пусть α _n ( ρ , σ ) будет нижняя грань rd _K , поскольку K пробегает степени n числовые поля с r вещественными вложениями и 2 s комплексными вложениями, и пусть α ( ρ , σ ) = liminf _{n →∞} α _n ( ρ , σ ). Затем

$\alpha (\rho ,\sigma )\geq 60.8^{\rho }22.3^{\sigma }$,

а обобщенная гипотеза Римана предполагает более сильную оценку

$\alpha (\rho ,\sigma )\geq 215.3^{\rho }44.7^{\sigma }.$

Существует также нижняя граница, которая справедлива для всех степеней, а не только асимптотически: для полностью реальных полей корневой дискриминант > 14, за 1229 исключениями.

Асимптотические верхние оценки

С другой стороны, существование башни поля бесконечного класса может дать верхние границы значений α ( ρ , σ ). Например, башня полей бесконечных классов над Q ( √ - m ) с m = 3·5·7·11·19 создает поля сколь угодно большой степени с корневым дискриминантом 2 √ m ≈ 296,276, поэтому α (0,1) < 296,276. Используя аккуратно разветвленные башни, Хаджир и Мейр показали, что α (1,0) < 954,3 и α (0,1) < 82,2, улучшение более ранних границ Мартине.

Связь с другими величинами

• При внедрении в $K\otimes _{\mathbf {Q} }\mathbf {R}$, объем фундаментальной OK _{области} равен ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ (иногда используется другая мера и полученный объем равен $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$, где r ₂ — количество комплексных мест в K ).
• Благодаря своему появлению в этом томе дискриминант также появляется в функциональном уравнении дзета-функции Дедекинда от K и, следовательно, в формуле числа аналитических классов и в теореме Брауэра-Зигеля .
• Относительный дискриминант / L является артиновским проводником регулярного представления группы Галуа L K / K . Это обеспечивает связь с артиновскими проводниками персонажей группы Галуа K / L , называемую кондуктивно-дискриминантной формулой .

Ссылки

Первоисточники

• Брилл, Александр фон (1877), «О Die Discriminante» , Mathematical Annals , 12 (1): 87–89, DOI : 10.1007/BF01442468 , JFM   09.0059.02 , MR   1509928 , S2CID   120947279 , получено 200 9-08-22
• Дедекинд, Рихард (1871), Лекции по теории чисел П.Г. Лежена Дирихле (2-е изд.), Vieweg , получено 5 августа 2009 г.
• Дедекинд, Рихард (1878), «О связи между теорией идеалов и теорией высших сравнений» , трактаты Королевского общества наук в Геттингене , 23 (1) , получено 20 августа 2009 г.
• Эрмит, Чарльз (1857), «Отрывок из письма М. К. Эрмита М. Борхардту об ограниченном числе иррациональностей, к которым сводятся корни уравнений с комплексными целыми коэффициентами данной степени и дискриминанта» , Crelle's Journal , 1857 ( 53): 182–192, doi : 10.1515/crll.1857.53.182 , S2CID   120694650 , получено 20 августа 2009 г.
• Кронекер, Леопольд (1882), «Принципы арифметической теории алгебраических величин» , Crelle's Journal , 92 : 1–122, JFM   14.0038.02 , получено 20 августа 2009 г.
• Минковский, Герман (1891a), «О положительных квадратичных формах и алгоритмах, подобных непрерывным дробям» , Crelle's Journal , 1891 (107): 278–297, doi : 10.1515/crll.1891.107.278 , JFM   23.0212.01 , получено 2008-08-20
• Минковский, Герман (1891b), «Теоремы арифметики», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 112 : 209–212, JFM   23.0214.01
• Штикельбергер, Людвиг (1897), «О новом свойстве дискриминантов полей алгебраических чисел», Труды Первого международного конгресса математиков, Цюрих , стр. 182–193, JFM   29.0172.03

Вторичные источники

• Бурбаки, Николя (1994). Элементы истории математики . Перевод Мелдрама, Джона . Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-64767-6 . МР   1290116 .
• Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 138, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-3-540-55640-4 , МР   1228206
• Коэн, Анри ; Диас и Диас, Франциско; Оливье, Мишель (2002), «Обзор подсчета дискриминантов», Фикер, Клаус; Кохель, Дэвид Р. (ред.), Алгоритмическая теория чисел, Труды, 5-й международный симпозиум, ANTS-V, Сиднейский университет, июль 2002 г. , Конспект лекций по информатике, том. 2369, Берлин: Springer-Verlag, стр. 80–94, номер документа : 10.1007/3-540-45455-1_7 , ISBN.  978-3-540-43863-2 , ISSN   0302-9743 , МР   2041075
• Фрелих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-43834-6 , МР   1215934
• Кох, Гельмут (1997), Алгебраическая теория чисел , Энцикл. Математика. наук., вып. 62 (2-е издание 1-го изд.), Springer-Verlag , ISBN  3-540-63003-1 , Збл   0819.11044
• Наркевич, Владислав (2004), Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел , Монографии Springer по математике (3-е изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-21902-6 , МР   2078267
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Основные принципы математических наук . Том 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-65399-8 . МР   1697859 . Збл   0956.11021 .
• Серр, Жан-Пьер (1967), «Теория полей локальных классов», в Касселсе, JWS ; Фрелих, Альбрехт (ред.), Алгебраическая теория чисел, Материалы учебной конференции в Университете Сассекса, Брайтон, 1965 , Лондон: Academic Press, ISBN  0-12-163251-2 , МР   0220701
• Войт, Джон (2008), «Перечисление полностью действительных числовых полей ограниченного корневого дискриминанта», в Ван дер Поортене, Альфред Дж .; Штейн, Андреас (ред.), Алгоритмическая теория чисел. Труды 8-го Международного симпозиума, ANTS-VIII, Банф, Канада, май 2008 г. , Конспекты лекций по информатике, том. 5011, Берлин: Springer-Verlag, стр. 268–281, arXiv : 0802.0194 , doi : 10.1007/978-3-540-79456-1_18 , ISBN  978-3-540-79455-4 , МР   2467853 , S2CID   30036220 , Збл   1205.11125
• Вашингтон, Лоуренс (1997), Введение в циклотомные поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94762-4 , МР   1421575 , Збл   0966.11047

Дальнейшее чтение

• Милн, Джеймс С. (1998), Алгебраическая теория чисел , получено 20 августа 2008 г.