Лекции по теории чисел

Лекции по теории чисел ( Немецкое произношение: [ˈfoːɐ̯ˌleːzʊŋən ˈyːbɐ ˈtsaːlənteoˌʁiː] ; German for Lectures on Number Theory ) — название нескольких различных учебников по теории чисел . Самый известный из них был написан Питером Густавом Леженом Дирихле и Рихардом Дедекиндом и опубликован в 1863 году. Другие были написаны Леопольдом Кронекером , Эдмундом Ландау и Гельмутом Хассе . Все они охватывают элементарную теорию чисел, теорему Дирихле, квадратичные поля и формы, а иногда и более сложные темы.

Книга Дирихле и Дедекинда.

Основанные на курсе теории чисел Дирихле в Геттингенском университете , Vorlesungen были отредактированы Дедекиндом и опубликованы после смерти Лежена Дирихле. несколько приложений Дедекинд добавил к Vorlesungen , в которых он собрал дальнейшие результаты Лежена Дирихле, а также развил свои собственные оригинальные математические идеи.

Объем

Vorlesungen квадратичную охватывает темы элементарной теории чисел, алгебраической теории чисел и аналитической теории чисел , включая модульную арифметику , квадратичные сравнения, взаимность и бинарные квадратичные формы .

Содержание

Содержание , сделанного профессором Джоном Стиллвеллом в 1999 году, перевода Vorlesungen следующее:

Глава 1. О делимости чисел

Глава 2. О сравнении чисел

Глава 3. О квадратичных вычетах

Глава 4. О квадратичных формах

Глава 5. Определение номера класса бинарных квадратичных форм

Приложение I. Некоторые теоремы теории деления окружности Гаусса.

Дополнение II. О предельном значении бесконечного ряда

Дополнение III. Геометрическая теорема

Дополнение IV. Роды квадратичных форм

Приложение V. Степенные вычеты для составных модулей

Дополнение VI. Простые числа в арифметических прогрессиях

Дополнение VII. Некоторые теоремы из теории деления круга

Дополнение VIII. Об уравнении Пелля

Дополнение IX. Сходимость и непрерывность некоторых бесконечных рядов

В этот перевод не включены «Дополнения X и XI» Дедекинда, в которых он начинает развивать теорию идеалов .

Названия приложений X и XI на немецком языке:

Приложение X: О составе бинарных квадратичных форм

Приложение XI: К теории целых алгебраических чисел

Главы с 1 по 4 охватывают ту же тему, что и Гаусса « Disquisitiones Arithmeticae» , и Дедекинд добавил сноски, в которых конкретно даны перекрестные ссылки на соответствующие разделы « Disquisitiones» . Эти главы можно рассматривать как обобщение существующих знаний, хотя Дирихле упрощает изложение Гаусса и в некоторых местах вводит свои собственные доказательства.

Глава 5 содержит вывод Дирихле формулы числа классов для действительных и мнимых квадратичных полей . Хотя другие математики выдвигали подобные формулы, Дирихле дал первое строгое доказательство.

Приложение VI содержит доказательство Дирихле того, что арифметическая прогрессия вида a + nd , где a и d взаимно простые, содержит бесконечное число простых чисел.

Важность

Vorlesungen Ферма можно рассматривать как водораздел между классической теорией чисел , Якоби и Гаусса и современной теорией чисел Дедекинда, Римана и Гильберта . Дирихле явно не признает концепцию группы , которая является центральной в современной алгебре , но многие из его доказательств показывают неявное понимание теории групп.

Vorlesungen содержит два ключевых результата теории чисел, которые впервые были доказаны Дирихле. Первая из них — это формулы числа классов для бинарных квадратичных форм. Второй — доказательство того, что арифметическая прогрессия содержит бесконечное число простых чисел (известное как теорема Дирихле ); это доказательство вводит L-ряд Дирихле . Эти результаты являются важными вехами в развитии аналитической теории чисел.

книга Кронекера

Книга Леопольда Кронекера была впервые опубликована в 1901 году в двух частях и переиздана Спрингером в 1978 году. Она охватывает элементарную и алгебраическую теорию чисел, включая теорему Дирихле.

книга Ландау

Эдмунда Ландау Книга «Лекции по теории чисел» была впервые опубликована в трехтомном сборнике в 1927 году. Первая половина первого тома была опубликована как Лекции по теории чисел. Из элементарной теории чисел в 1950 году с английским переводом в 1958 году под названием «Элементарная теория чисел» . В 1969 году «Челси» переиздал вторую половину первого тома вместе с томами 2 и 3 как один том.

Том 1 по элементарной и аддитивной теории чисел включает такие темы, как теорема Дирихле, решето Брюна, бинарные квадратичные формы, гипотеза Гольдбаха, проблема Варинга и работа Харди-Литтлвуда над сингулярным рядом. Том 2 охватывает темы аналитической теории чисел, такие как оценки ошибки в теореме о простых числах, и темы геометрической теории чисел, такие как оценка количества точек решетки. Том 3 посвящен алгебраической теории чисел, включая теорию идеалов, поля квадратичных чисел и приложения к последней теореме Ферма. Многие из результатов, описанных Ландау, были современными в то время, но с тех пор были заменены более сильными результатами.

книга Хассе

Гельмута Хассе Книга «Лекции по теории чисел» была опубликована в 1950 году и отличается от его книги «Теория чисел» и является более элементарной . Он охватывает элементарную теорию чисел, теорему Дирихле и квадратичные поля.

Ссылки

• П.Г. Лежен Дирихле, Р. Дедекинд тр. Джон Стиллвелл: Лекции по теории чисел , Американское математическое общество, 1999 г. ISBN   0-8218-2017-6 В Göttinger Digitalisierungszentrum имеется отсканированная копия оригинального текста второго издания (на немецком языке), опубликованного в 1871 году, содержащего приложения I – X. Приложение XI можно найти в третьем томе полного собрания сочинений Дедекинда, а также в Göttinger Digitalisierungszentrum . Четвертое издание 1894 года, содержащее все приложения, включая XI Дедекинда, доступно в Интернет-архиве .
• Хассе, Гельмут (1950), Лекции по теории чисел , Основные положения математических наук, том. LIX, Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  978-3-642-88679-9 , МР   0051844
• Кронекер, Леопольд (1978) [1901], Лекции по теории чисел , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-08277-8 , МР   0529431
• Ландау, Эдмунд (1958) [1927], Элементарная теория чисел. , Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR   0092794.
• Ландау, Эдмунд (1969) [1927], Лекции по теории чисел. Первый том, вторая часть; второй том; третий том. , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., MR   0250844.