Арифметические исследования

Титульный лист первого издания

Disquisitiones Arithmeticae ( на латыни « Арифметические исследования ») — учебник по теории чисел, написанный на латыни Карлом Фридрихом Гауссом в 1798 году, когда Гауссу был 21 год, и опубликованный в 1801 году, когда ему было 24 года. Он оказал революционное влияние на теорию чисел, создав эта область была поистине строгой и систематической и проложила путь современной теории чисел. В этой книге Гаусс собрал и согласовал результаты по теории чисел, полученные такими выдающимися математиками, как Ферма , Эйлер , Лагранж и Лежандр , добавив при этом свои глубокие и оригинальные результаты.

Область применения [ править ]

Disquisitiones , охватывает как элементарную теорию чисел так и часть области математики, которая сейчас называется алгебраической теорией чисел . Гаусс не признавал в явном виде концепцию группы , которая является центральной в современной алгебре , поэтому он не использовал этот термин. Его собственное название предмета было «Высшая арифметика». В своем предисловии к «Рассуждениям » Гаусс описывает объем книги следующим образом:

Исследования, которым будет посвящен этот том, относятся к той части математики, которая занимается целыми числами.

Гаусс также пишет: «При столкновении со многими трудными проблемами выводы были опущены ради краткости, когда читатели ссылаются на эту работу». («То, что в некоторых трудных вопросах я использовал синтетические доказательства и исключил анализ, посредством которого они были извлечены, главным образом объясняется стремлением к краткости, к которому необходимо было обращаться как можно больше»)

Содержание [ править ]

См. Также: Модульная арифметика

Книга разделена на семь разделов:

  1. Соответствующие числа в целом
  2. Сравнения первой степени
  3. Остатки Сил
  4. Сравнения второй степени
  5. Формы и неопределенные уравнения второй степени.
  6. Различные применения предыдущих обсуждений
  7. Уравнения, определяющие сечения круга

Эти разделы разделены на 366 пронумерованных пунктов, в которых излагаются теоремы с доказательством или иным образом развиваются замечания или мысли.

Разделы с I по III представляют собой, по сути, обзор предыдущих результатов, включая малую теорему Ферма , теорему Вильсона и существование примитивных корней . Хотя немногие из результатов в этих разделах являются оригинальными, Гаусс был первым математиком, который систематически объединил этот материал. Он также осознал важность свойства уникальной факторизации (обеспечиваемого фундаментальной теоремой арифметики , впервые изученной Евклидом ), которую он переформулирует и доказывает, используя современные инструменты.

Начиная с Раздела IV, большая часть работ является оригинальной. В разделе IV развивается доказательство квадратичной взаимности ; Раздел V, занимающий более половины книги, представляет собой всесторонний анализ бинарных и троичных квадратичных форм . Раздел VI включает два различных теста на простоту . Наконец, раздел VII представляет собой анализ круговых многочленов , который завершается приведением критериев, определяющих, какие правильные многоугольники можно построить , то есть можно построить только с помощью циркуля и немаркированной линейки.

Гаусс начал писать восьмой раздел о сравнениях высшего порядка, но не завершил его, и после его смерти он был опубликован отдельно под названием Disquisitiones Generales de Congruentiis (лат. «Общие исследования по сравнениям»). [1] В нем Гаусс обсуждал сравнения произвольной степени, рассматривая проблему общих сравнений с точки зрения, тесно связанной с той, которую позднее заняли Дедекинд , Галуа и Эмиль Артин . Трактат открыл путь к теории функциональных полей над конечным полем констант. Уникальными идеями этого трактата являются ясное признание важности Морфизм Фробениуса и вариант леммы Гензеля .

« Дискуссии» были одной из последних математических работ, написанных на научной латыни . Английский перевод не был опубликован до 1965 года ученым-иезуитом Артуром А. Кларком. Кларк был первым деканом кампуса Линкольн-центра Фордхэм-колледжа. [2]

Важность [ править ]

До публикации Disquisitiones теория чисел представляла собой набор изолированных теорем и гипотез. Гаусс свел работы своих предшественников вместе со своей оригинальной работой в систематическую структуру, заполнил пробелы, исправил необоснованные доказательства и расширил тему во многих отношениях.

Логическая структура Disquisitiones ( изложение теоремы, за которым следует доказательство , за которым следуют следствия ) установила стандарт для более поздних текстов. Признавая первостепенную важность логического доказательства, Гаусс также иллюстрирует многие теоремы числовыми примерами.

« Дискусства » стали отправной точкой для других европейских математиков XIX века, в том числе Эрнста Куммера , Питера Густава Лежена Дирихле и Рихарда Дедекинда . Многие из аннотаций Гаусса по сути являются анонсами его дальнейших исследований, некоторые из которых остались неопубликованными. Его современникам они, должно быть, казались особенно загадочными; теперь их можно считать содержащими зародыши теорий L-функций и , в частности, комплексного умножения . [3]

Disquisitiones . продолжали оказывать влияние в 20 веке Например, в разделе V статьи 303 Гаусс суммировал свои расчеты чисел классов собственных примитивных бинарных квадратичных форм и предположил, что он нашел все из них с номерами классов 1, 2 и 3. Позже это было интерпретировано как определение полей мнимых квадратичных чисел с четным дискриминантом и номером класса 1, 2 и 3 и расширено на случай нечетного дискриминанта. Этот более общий вопрос, который иногда называют проблемой номера класса , в конечном итоге был подтвержден в 1986 году. [4] (конкретный вопрос, заданный Гауссом, был подтвержден Ландау в 1902 г. [5] для класса номер один). В разделе VII статьи 358 Гаусс доказал то, что можно интерпретировать как первый нетривиальный случай гипотезы Римана для кривых над конечными полями ( теорема Хассе–Вейля ). [6]

Библиография [ править ]

  • Гаусс, Карл Фридрих (1966). Арифметические исследования . Кларк, Артур А. Нью-Хейвен: Pr. Йельского университета. ISBN  978-0-300-09473-2 .
  • Гаусс, Карл Ф. (11 апреля 1986 г.). Уотерхаус, Уильям К. (ред.). Арифметические исследования . Перевод Кларка, Артура А. Нью-Йорк: Springer. ISBN  978-0-387-96254-2 .
  • Арифметические исследования (оригинальный текст на латыни)
  • Даннингтон, Дж. Уолдо (1935), «Гаусс, его арифметические исследования и его современники в Институте Франции», журнал National Mathematics Magazine , 9 (7): 187–192, doi : 10.2307/3028190 , JSTOR   3028190
  • Гольдштейн, Кэтрин; Шаппахер, Норберт; Швермер, Иоахим (12 февраля 2010 г.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Спрингер. ISBN  978-3-642-05802-8 .

Ссылки [ править ]

  1. ^ * Текст на латыни с сносками Дедекинда : Гаусс, Карл Фридрих (1863), «Disquisitiones Generales de Congruentiis», Carl Friedrich Gauss Works , vol. Том II, Королевское общество наук в Геттингене, стр. 212–242.
  2. ^ Вергель, Джина (3 августа 2009 г.). «Первый декан Фордэм-колледжа в Линкольн-центре умер в возрасте 92 лет» . Отдел новостей Фордхэма . Проверено 13 апреля 2024 г.
  3. ^ Гольдштейн, Кэтрин; Шаппахер, Норберт; Швермер, Иоахим (12 февраля 2010 г.). Формирование арифметики по мотивам «Disquisitiones Arithmeticae» К. Ф. Гаусса . Спрингер. ISBN  978-3-642-05802-8 .
  4. ^ Ирландия, К.; Розен, М. (1993), Классическое введение в современную теорию чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 358–361, ISBN.  978-0-387-97329-6
  5. ^ Гольдфельд, Дориан (июль 1985 г.), «Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 13 (1): 23–37, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352 -2
  6. ^ Сильверман, Дж.; Тейт, Дж. (1992), Рациональные точки на эллиптических кривых , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 110, ISBN  978-0-387-97825-3

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Disquisitiones_Arithmeticae&oldid=1218757713"