Леонард Эйлер

Леонард Эйлер
Леонард Эйлер
	Портрет Якоба Эмануэля Хандмана , 1753 г.
Рожденный	15 апреля 1707 г. ; Базель , Швейцарская Конфедерация
Умер	18 сентября 1783 г. ( 76 лет) (76 лет) [ ОС : 7 сентября 1783 г.] ( ; Санкт-Петербург , Российская Империя
Альма-матер	Базельский университет ( магистр философии )
Известный	Взносы ; тезки ;
Супруги	; Катарина Гселл ( м. 1734; умер в 1773) ; Саломе Эбигейл Гселл ( м. 1776)
Дети	13, включая Иоганна
	Научная карьера
Поля	Математика ; физика ;
Учреждения	Императорская Российская Академия Наук ; Берлинская академия ;
Тезис	Dissertatio physica de sono (Физическая диссертация о звуке) (1726 г.)
Докторантура	Иоганн Бернулли
Докторанты	Джон Хеннер
Другие известные студенты	Николас Фусс ; Степан Румовский ; Жозеф-Луи Лагранж (эпистолярный корреспондент) ; Андерс Йохан Лекселл ;
Подпись

Леонард Эйлер ( / ˈ ɔɪ l ər / OY -s , ^[б] Немецкий: [ˈleːɔnhaʁt ˈʔɔʏlɐ] ^ⓘ, Швейцарский стандартный немецкий: [ˈleːɔnhart ˈɔʏlər] ; 15 апреля 1707 — 18 сентября 1783) — швейцарский математик , физик , астроном , географ , логик и инженер , который основал исследования теории графов и топологии и сделал новаторские и влиятельные открытия во многих других областях математики, таких как аналитическая теория чисел , комплексный анализ и исчисление бесконечно малых . Он ввел большую часть современной математической терминологии и обозначений , включая понятие математической функции . ^[6] Он также известен своими работами в области механики , гидродинамики , оптики , астрономии и теории музыки . ^[7]

Эйлер считается одним из величайших и плодовитых математиков в истории и величайшим математиком XVIII века. Несколько великих математиков, написавших свои работы после смерти Эйлера, признали его важность в этой области, о чем свидетельствуют цитаты, приписываемые многим из них: Пьер-Симон Лаплас выразил влияние Эйлера на математику, заявив: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он мастер из нас всех». ^[8]^[с] Карл Фридрих Гаусс писал: «Изучение трудов Эйлера останется лучшей школой для различных областей математики, и ничто другое не сможет заменить его». ^[9]^[д] Его 866 публикаций, а также его переписка собраны в Opera Omnia Leonhard Euler , которая после завершения будет состоять из 81 кварто . ^[11]^[12]^[13] Большую часть своей взрослой жизни он провел в Санкт-Петербурге , Россия, и в Берлине , тогдашней столице Пруссии .

Эйлеру приписывают популяризацию греческой буквы. $\pi$ (строчная пи ) для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру , а также сначала с помощью обозначения $f(x)$ для значения функции буква $i$ выразить мнимую единицу ${\sqrt {-1}}$ , греческая буква $\Sigma$ (заглавная сигма ) для выражения суммирования , греческая буква $\Delta$ (заглавная дельта ) для конечных разностей и строчные буквы для обозначения сторон треугольника, а углы представляются заглавными буквами. ^[14] Он дал современное определение константы $e$ , основание натурального логарифма , ныне известного как число Эйлера . ^[15]

Эйлеру также приписывают то, что он был первым, кто разработал теорию графов (отчасти как решение проблемы семи Кенигсбергских мостов , которая также считается первым практическим применением топологии). Он также прославился, среди многих других достижений, решением нескольких нерешенных проблем теории чисел и анализа, включая Базельскую проблему , которая оставалась нерешенной в течение 150 лет. Базельская задача состоит в нахождении суммы обратных квадратов натуральных чисел. Эйлер нашел, что эта сумма равна в точности $π 2 /6$ . Эйлеру также приписывают открытие того, что сумма чисел вершин и граней минус количество ребер многогранника равна 2, числу, которое сейчас широко известно как характеристика Эйлера . В области физики Эйлер в Ньютона » переформулировал законы физики новые законы в своей двухтомной работе «Механика , чтобы лучше объяснить движение твердых тел . Он также внес существенный вклад в изучение упругих деформаций твердых тел.

Ранняя жизнь [ править ]

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в Базеле в семье Павла III Эйлера, пастора реформатской церкви , и Маргариты (урожденной Брукер), чьи предки включают ряд известных ученых-классиков. ^[16] Он был старшим из четырех детей, у него были две младшие сестры, Анна Мария и Мария Магдалена, и младший брат Иоганн Генрих. ^[17]^[16] Вскоре после рождения Леонарда семья Эйлеров переехала из Базеля в город Риэн , Швейцария, где его отец стал пастором в местной церкви и Леонард провел большую часть своего детства. ^[16]

С юных лет Эйлер получил математическое образование у своего отца, который посещал курсы Якоба Бернулли несколькими годами ранее в Базельском университете . Примерно в восемь лет Эйлера отправили жить в дом бабушки по материнской линии, и он поступил в латинскую школу в Базеле. Кроме того, он получил частное репетиторство у Йоханнеса Буркхардта, молодого теолога, проявлявшего большой интерес к математике. ^[16]

В 1720 году, в тринадцатилетнем возрасте, Эйлер поступил в Базельский университет . ^[7] Поступление в университет в столь юном возрасте в то время не было чем-то необычным. ^[16]Курс элементарной математики читал Иоганн Бернулли , младший брат покойного Якоба Бернулли (учивший отца Эйлера). Иоганн Бернулли и Эйлер вскоре лучше узнали друг друга. Эйлер описал Бернулли в своей автобиографии: ^[18]

«Знаменитый профессор Иоганн Бернулли [...] с особым удовольствием помогал мне в математических науках. Однако от частных уроков он отказался из-за своей занятости. Однако он дал мне гораздо более полезный совет. , который заключался в том, что я взял в руки некоторые из наиболее сложных математических книг и проработал их с большим усердием, и если я столкнусь с некоторыми возражениями или трудностями, он предлагал мне бесплатный доступ к нему каждую субботу днем, и он был достаточно любезен, чтобы прокомментировать собранные трудности, что было сделано с такой желаемой выгодой, что, когда он разрешил одно из моих возражений, сразу исчезли десять других, что, несомненно, является лучшим методом достижения счастливого прогресса в математических науках».

Именно в это время Эйлер при поддержке Бернулли добился согласия своего отца стать математиком, а не пастором. ^[19]^[20]

В 1723 году Эйлер получил степень магистра философии за диссертацию, в которой сравнивались философии Рене Декарта и Исаака Ньютона . ^[16] После этого он поступил на богословский факультет Базельского университета. ^[20]

В 1726 году Эйлер защитил диссертацию о распространении звука под названием «De Sono». ^[21]^[22] с помощью которого он безуспешно пытался получить должность в Базельском университете. ^[23] В 1727 году он принял участие в конкурсе на получение призов Парижской академии (проводимом ежегодно, а затем раз в два года, начиная с 1720 года). ^[24]в первый раз. Задача, поставленная в том году, заключалась в том, чтобы найти лучший способ разместить мачты на корабле. Победу одержал Пьер Бугер , ставший известным как «отец морской архитектуры», а Эйлер занял второе место. ^[25] За эти годы Эйлер участвовал в этом соревновании 15 раз. ^[24] выиграл 12 из них. ^[25]

Карьера [ править ]

Санкт-Петербург [ править ]

Два сына Иоганна Бернулли, Даниил и Николаус , поступили на службу в Императорскую Российскую академию наук в Санкт-Петербурге в 1725 году, оставив Эйлеру уверенность, что они порекомендуют его на должность, когда она будет доступна. ^[23] 31 июля 1726 года Николай умер от аппендицита, проведя в России менее года. ^[26]^[27] Когда Дэниел занял должность своего брата в отделении математики и физики, он рекомендовал, чтобы освободившуюся им должность физиолога занял его друг Эйлер. ^[23] В ноябре 1726 года Эйлер с радостью принял это предложение, но отложил поездку в Санкт-Петербург, поскольку безуспешно подал заявку на должность профессора физики в Базельском университете. ^[23]

Эйлер прибыл в Санкт-Петербург в мае 1727 года. ^[23]^[20]Его повысили с младшей должности медицинского факультета академии до должности на математическом факультете. Он поселился у Даниэля Бернулли, с которым работал в тесном сотрудничестве. ^[28] Эйлер освоил русский язык, обосновался в Санкт-Петербурге и устроился на дополнительную работу медиком в российский флот . ^[29]

Академия в Санкт-Петербурге, основанная Петром Великим , была призвана улучшить образование в России и сократить научный разрыв с Западной Европой. В результате она стала особенно привлекательной для иностранных учёных, таких как Эйлер. ^[25] Благодетельница академии Екатерина I , продолжавшая прогрессивную политику своего покойного мужа, умерла еще до приезда Эйлера в Петербург. ^[30] Русское консервативное дворянство пришло к власти после восшествия на престол двенадцатилетнего Петра II . ^[30] Дворянство, подозрительно относившееся к иностранным учёным академии, сократило финансирование Эйлера и его коллег, препятствовало поступлению иностранных и неаристократических студентов в гимназии и университеты. ^[30]

Условия немного улучшились после смерти Петра II в 1730 году, и к власти пришла находящаяся под немецким влиянием Анна Русская . ^[31] Эйлер быстро поднялся по карьерной лестнице в академии и в 1731 году стал профессором физики. ^[31] Он также покинул ВМФ России, отказавшись от звания лейтенанта . ^[31]Два года спустя Даниэль Бернулли, уставший от цензуры и враждебности, с которыми он столкнулся в Санкт-Петербурге, уехал в Базель. Эйлер сменил его на посту заведующего математическим факультетом. ^[32] В январе 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гселля . ^[33] Фридрих II предпринял попытку воспользоваться услугами Эйлера для своей недавно созданной Берлинской академии в 1740 году, но Эйлер сначала предпочел остаться в Санкт-Петербурге. ^[34]Но после смерти императрицы Анны и Фридриха II согласился заплатить 1600 экю (столько же, сколько Эйлер зарабатывал в России), он согласился переехать в Берлин. В 1741 году он попросил разрешения уехать в Берлин, мотивируя это тем, что ему нужен более мягкий климат для зрения. ^[34] Российская академия дала свое согласие и будет платить ему 200 рублей в год как одному из ее активных членов. ^[34]

Берлин [ править ]

Обеспокоенный продолжающимися беспорядками в России, Эйлер покинул Санкт-Петербург в июне 1741 года, чтобы занять должность в Берлинской академии , которую ему предложил Фридрих Великий Прусский . ^[35] Он прожил 25 лет в Берлине , где написал несколько сотен статей. ^[20] В 1748 году был опубликован его текст о функциях под названием « Introductio in analysin infinitorum» , а в 1755 году — текст по дифференциальному исчислению под названием « Institutiones Calculi Differentialis» . ^[36]^[37] В 1755 году он был избран иностранным членом Шведской королевской академии наук. ^[38] и Французской академии наук . ^[39] Среди известных учеников Эйлера в Берлине был Степан Румовский , позже считавшийся первым русским астрономом. ^[40]^[41] В 1748 году он отклонил предложение Базельского университета стать преемником недавно умершего Иоганна Бернулли. ^[20] В 1753 году он купил дом в Шарлоттенбурге , в котором жил со своей семьей и овдовевшей матерью. ^[42]^[43]

Эйлер стал наставником Фридерики Шарлотты Бранденбург-Шведтской , принцессы Ангальт-Дессау и племянницы Фридриха. В начале 1760-х годов он написал ей более 200 писем, которые позже были собраны в том, озаглавленный « Письма Эйлера о различных предметах натуральной философии, адресованные немецкой принцессе» . ^[44]Эта работа содержала изложение Эйлера различных предметов, касающихся физики и математики, и давала ценную информацию о личности и религиозных убеждениях Эйлера. Она была переведена на несколько языков, опубликована по всей Европе и в США и стала более читаемой, чем любая из его математических работ. Популярность «Письм» свидетельствует о способности Эйлера эффективно доносить научные вопросы до непрофессиональной аудитории, что является редкой способностью для преданного своему делу ученого-исследователя. ^[37]

Несмотря на огромный вклад Эйлера в престиж академии и то, что Жан ле Рон д'Аламбер выдвинул ее кандидатом на пост президента , Фридрих II назвал себя ее президентом. ^[43]При дворе прусского короля был большой круг интеллектуалов, и он нашел математика неискушенным и плохо осведомленным в вопросах, выходящих за рамки чисел и цифр. Эйлер был простым, глубоко религиозным человеком, который никогда не ставил под сомнение существующий общественный порядок или общепринятые убеждения. Во многих отношениях он был полной противоположностью Вольтера , пользовавшегося высоким авторитетом при дворе Фридриха. Эйлер не был опытным спорщиком и часто спорил по темам, о которых мало что знал, что делало его частой мишенью остроумия Вольтера. ^[37] Фредерик также выразил разочарование практическими инженерными способностями Эйлера, заявив:

Мне хотелось иметь в своем саду водомет: Эйлер рассчитал силу колес, необходимую для подъема воды в водоем, откуда она должна упасть обратно по каналам, выплеснувшись наконец в Сан-Суси . Моя мельница была выполнена геометрически и не могла поднять глоток воды ближе, чем на пятьдесят шагов к водоему. Суета сует! Суета геометрии! ^[45]

Однако разочарование почти наверняка было неоправданным с технической точки зрения. Расчеты Эйлера, похоже, верны, даже если взаимодействие Эйлера с Фридрихом и теми, кто строил его фонтан, могло быть неблагополучным. ^[46]

На протяжении всего своего пребывания в Берлине Эйлер поддерживал тесные связи с академией в Санкт-Петербурге, а также опубликовал 109 статей в России. ^[47] Он также помогал студентам петербургской академии и иногда размещал русских студентов в своем доме в Берлине. ^[47] В 1760 году, во время Семилетней войны , ферма Эйлера в Шарлоттенбурге была разграблена наступающими русскими войсками. ^[42] Узнав об этом событии, генерал Иван Петрович Салтыков выплатил компенсацию за ущерб, причиненный имуществу Эйлера, а императрица Елизавета позже добавила дополнительную выплату в размере 4000 рублей - непомерную сумму по тем временам. российская ^[48] Эйлер решил покинуть Берлин в 1766 году и вернуться в Россию. ^[49]

В годы пребывания в Берлине (1741–1766) Эйлер находился на пике своей продуктивности. Он написал 380 произведений, 275 из которых были опубликованы. ^[50]Сюда входило 125 мемуаров в Берлинской академии и более 100 мемуаров, отправленных в Санкт-Петербургскую академию , которая сохранила его в качестве члена и выплачивала ему ежегодную стипендию. Эйлера «Introductio in Analysin Infinitorum» было опубликовано в двух частях в 1748 году. Помимо своих собственных исследований, Эйлер руководил библиотекой, обсерваторией, ботаническим садом, а также публикацией календарей и карт, от которых академия получала доход. ^[51] Он даже участвовал в проектировании фонтанов в Сан-Суси , летнем дворце короля. ^[52]

Возвращение в Россию [ править ]

Политическая ситуация в России стабилизировалась после восшествия на престол Екатерины Великой , поэтому в 1766 году Эйлер принял приглашение вернуться в Петербургскую Академию. Условия его были весьма непомерными — годовое жалованье в 3000 рублей, пенсия жене и обещание высоких должностей сыновьям. В университете ему помогал его студент Андерс Йохан Лексель . ^[53] Во время проживания в Петербурге пожар 1771 года уничтожил его дом. ^[54]

Личная жизнь [ править ]

7 января 1734 года он женился на Катарине Гселль (1707–1773), дочери Георга Гзелля , художника академической гимназии в Санкт-Петербурге. ^[33] Молодая пара купила дом на берегу Невы .

Из их тринадцати детей только пятеро пережили детство. ^[55] три сына и две дочери. ^[56] Их первым сыном был Иоганн Альбрехт Эйлер , крестным отцом которого был Кристиан Гольдбах . ^[56]

Через три года после смерти жены в 1773 г. ^[54] Эйлер женился на своей сводной сестре Саломеи Эбигейл Гзель (1723–1794). ^[57] Этот брак продлился до его смерти в 1783 году.

Его брат Иоганн Генрих поселился в Петербурге в 1735 году и работал художником в академии. ^[34]

Ухудшение зрения [ править ]

Эйлера Зрение ухудшалось на протяжении всей его математической карьеры. В 1738 году, через три года после того, как он едва не умер от лихорадки, ^[58]он почти ослеп на правый глаз. Эйлер винил в своем состоянии картографию, которую он выполнял для Петербургской Академии: ^[59] но причина его слепоты остается предметом спекуляций. ^[60]^[61]Зрение Эйлера этим глазом ухудшилось во время его пребывания в Германии до такой степени, что Фридрих называл его « Циклопом ». Эйлер отметил потерю зрения, заявив: «Теперь у меня будет меньше отвлекающих факторов». ^[59]В 1766 году у него была обнаружена катаракта в левом глазу. Хотя лечение катаракты временно улучшило его зрение, осложнения в конечном итоге привели к тому, что он почти полностью ослеп и на левый глаз. ^[39]Однако его состояние, похоже, мало повлияло на его продуктивность. С помощью его писцов продуктивность Эйлера во многих областях исследований возросла; ^[62] а в 1775 году он писал в среднем одну математическую статью каждую неделю. ^[39]

Смерть [ править ]

В Санкт-Петербурге 18 сентября 1783 года, после обеда с семьей, Эйлер обсуждал недавно открытую планету Уран и ее орбиту с Андерсом Йоханом Лекселлом, когда тот потерял сознание и умер от кровоизлияния в мозг . ^[60] Якоб фон Штелин [ де ] написал короткий некролог для Российской академии наук , а русский математик Николас Фусс , один из учеников Эйлера, написал более подробный панегирик: ^[55]который он произнес на мемориальном митинге. В своей хвалебной речи Французской академии французский математик и философ маркиз де Кондорсе писал:

он перестал рассчитывать и жить . ^[63]

Эйлер был похоронен рядом с Катариной на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове . В 1837 году Российская академия наук установила новый памятник, заменив ему заросшую могильную доску. В ознаменование 250-летия со дня рождения Эйлера в 1957 году его могила была перенесена на Лазаревское кладбище Александро -Невской лавры . ^[64]

в математику физику Вклад и

Эйлер работал почти во всех областях математики, включая геометрию , исчисление бесконечно малых , тригонометрию , алгебру и теорию чисел , а также физику сплошных сред , теорию Луны и другие области физики . Он — выдающаяся фигура в истории математики; в случае печати его работы, многие из которых представляют фундаментальный интерес, займут от 60 до 80 томов- кварто . ^[39]С именем Эйлера связано большое количество тем . Работа Эйлера в среднем составляет 800 страниц в год с 1725 по 1783 год. Он также написал более 4500 писем и сотни рукописей. Подсчитано, что Леонард Эйлер был автором четверти совокупного объема работ по математике, физике, механике, астрономии и навигации в 18 веке. ^[14]

Математические обозначения [ править ]

Эйлер ввел и популяризировал несколько условных обозначений в своих многочисленных и широко распространенных учебниках. В частности, он ввел понятие функции . ^[6]и был первым, кто написал f ( x ) для обозначения функции f , применяемой к аргументу x . Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций , букву $е$ для основания натурального логарифма (теперь также известного как число Эйлера ), греческую букву Σ для суммирования и букву $i$ для обозначения мнимой единицы . ^[65] Использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру также было популяризировано Эйлером, хотя оно принадлежит валлийскому математику Уильяму Джонсу . ^[66]

Анализ [ править ]

Развитие исчисления бесконечно малых было в авангарде математических исследований 18-го века, и Бернулли — друзья семьи Эйлера — были ответственны за большую часть раннего прогресса в этой области. Благодаря их влиянию изучение математического анализа стало основным направлением работы Эйлера. Хотя некоторые доказательства Эйлера неприемлемы по современным стандартам математической строгости. ^[67](в частности, его опора на принцип общности алгебры ), его идеи привели ко многим большим достижениям. Эйлер хорошо известен в анализе своим частым использованием и развитием степенных рядов , выражением функций в виде сумм бесконечного числа членов. ^[68] такой как

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).

Использование Эйлером степенных рядов позволило ему решить знаменитую Базельскую задачу в 1735 году (более подробный аргумент он представил в 1741 году): ^[67]

\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Он ввел константу

\gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right)\approx 0.5772,

теперь известная как константа Эйлера или константа Эйлера-Машерони, и изучил ее связь с гармоническим рядом , гамма-функцией и значениями дзета-функции Римана . ^[69]

Эйлер ввёл использование показательной функции и логарифмов в аналитических доказательствах . Он открыл способы выражения различных логарифмических функций с помощью степенных рядов и успешно определил логарифмы для отрицательных и комплексных чисел , тем самым значительно расширив сферу математического применения логарифмов. ^[65]Он также определил показательную функцию для комплексных чисел и обнаружил ее связь с тригонометрическими функциями . Для любого действительного числа $φ$ (которое принимается за радианы) формула Эйлера утверждает, что комплексная показательная функция удовлетворяет условию

e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi

назвал «самой замечательной формулой в математике» которую Ричард П. Фейнман . ^[70]

Частный случай приведенной выше формулы известен как тождество Эйлера .

e^{i\pi }+1=0

Эйлер разработал теорию высших трансцендентных функций , введя гамма-функцию. ^[71]^[72] и представил новый метод решения уравнений четвертой степени . ^[73]Он нашел способ вычисления интегралов со сложными пределами, предвещая развитие современного комплексного анализа . Он изобрел вариационное исчисление и сформулировал уравнение Эйлера–Лагранжа , позволяющее свести оптимизационные задачи в этой области к решению дифференциальных уравнений .

Эйлер первым применил аналитические методы для решения задач теории чисел. При этом он объединил две разрозненные области математики и представил новую область исследований — аналитическую теорию чисел . Открывая основы этой новой области, Эйлер создал теорию гипергеометрических рядов , q-рядов , гиперболических тригонометрических функций и аналитическую теорию цепных дробей . Например, он доказал бесконечность простых чисел, используя расхождение гармонического ряда , и использовал аналитические методы, чтобы получить некоторое представление о том, как простые числа распределяются . Работы Эйлера в этой области привели к разработке теоремы о простых числах . ^[74]

Теория чисел [ править ]

Интерес Эйлера к теории чисел можно объяснить влиянием Кристиана Гольдбаха . ^[75] его друг по Петербургской Академии. ^[58]Большая часть ранних работ Эйлера по теории чисел была основана на работах Пьера де Ферма . Эйлер развил некоторые идеи Ферма и опроверг некоторые из его гипотез, например, гипотезу о том, что все числа вида ${\textstyle 2^{2^{n}}+1}$ ( Числа Ферма ) являются простыми. ^[76]

Эйлер связал природу простого распределения с идеями анализа. Он доказал, что сумма обратных простых чисел расходится . При этом он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами; это известно как формула произведения Эйлера для дзета-функции Римана . ^[77]

Эйлер изобрел функцию тотента φ( n ), количество натуральных чисел, меньших или равных целому числу n , которые взаимно просты с n . Используя свойства этой функции, он обобщил маленькую теорему Ферма до того, что сейчас известно как теорема Эйлера . ^[78]Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел , которая очаровывала математиков со времен Евклида . Он доказал, что связь, показанная между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна (которую он ранее доказал), была взаимно однозначной, результат, также известный как теорема Евклида-Эйлера . ^[79] законе Эйлер также выдвинул гипотезу о квадратичном взаимности . Эта концепция считается фундаментальной теоремой в теории чисел, и его идеи проложили путь для работ Карла Фридриха Гаусса , в частности Disquisitiones Arithmeticae . ^[80] К 1772 году Эйлер доказал, что 2 ³¹− 1 = 2 147 483 647 — простое число Мерсенна. Возможно, оно оставалось самым большим известным простым числом до 1867 года. ^[81]

Эйлер также внес важные разработки в теорию разбиения целого числа . ^[82]

Теория графов [ править ]

Карта Кенигсберга времен Эйлера, показывающая фактическое расположение семи мостов , с указанием реки Прегель и мостов.

В 1735 году Эйлер представил решение проблемы, известной как « Семь мостов Кенигсберга» . ^[83]Город Кенигсберг в Пруссии был расположен на реке Прегель и включал в себя два больших острова, которые были соединены друг с другом и с материком семью мостами. Задача состоит в том, чтобы решить, можно ли следовать по пути, который пересекает каждый мост ровно один раз и возвращается в исходную точку. Это невозможно: эйлеровой схемы не существует . Это решение считается первой теоремой теории графов . ^[83]

Эйлер также открыл формулу $V-E+F=2$ связывая количество вершин, ребер и граней выпуклого многогранника , ^[84]и, следовательно, плоского графа . Константа в этой формуле теперь известна как эйлерова характеристика графа (или другого математического объекта) и связана с родом объекта. ^[85] Исследование и обобщение этой формулы, в частности Коши ^[86] и Л'Юилье , ^[87] лежит в основе топологии . ^[84]

Физика, астрономия и инженерия [ править ]

Некоторые из величайших успехов Эйлера были связаны с аналитическим решением реальных задач и описанием многочисленных применений чисел Бернулли , рядов Фурье , чисел Эйлера , констант $e$ и $π$ , непрерывных дробей и интегралов. Он объединил с Лейбница дифференциальное исчисление Ньютона методом флюксий и разработал инструменты, упрощающие применение исчисления к физическим задачам. Он добился больших успехов в совершенствовании числовой аппроксимации интегралов, изобретя то, что сейчас известно как аппроксимации Эйлера . Наиболее известным из этих приближений является метод Эйлера. ^[88] и формула Эйлера-Маклорена . ^[89]^[90]^[91]

Эйлер помог разработать уравнение балки Эйлера-Бернулли , которое стало краеугольным камнем техники. ^[92]Помимо успешного применения своих аналитических инструментов к задачам классической механики , Эйлер применил эти методы к небесным задачам. его работы в области астрономии были отмечены многочисленными премиями Парижской академии За свою карьеру . Его достижения включают определение с большой точностью орбит комет . и других небесных тел, понимание природы комет и расчет параллакса Солнца Его расчеты способствовали разработке точных таблиц долготы . ^[93]

Эйлер внес важный вклад в оптику . ^[94] Ньютона Он не согласился с корпускулярной теорией света . ^[95]которая была преобладающей теорией того времени. Его статьи по оптике 1740-х годов помогли гарантировать, что волновая теория света , предложенная Христианом Гюйгенсом, станет доминирующим способом мышления, по крайней мере, до развития квантовой теории света . ^[96]

В гидродинамике Эйлер был первым, кто предсказал явление кавитации в 1754 году, задолго до его первого наблюдения в конце 19-го века, а число Эйлера, используемое в расчетах потока жидкости, взято из его родственных работ по эффективности турбин . ^[97] В 1757 году он опубликовал важный набор уравнений невязкого течения в гидродинамике , которые теперь известны как уравнения Эйлера . ^[98]

Эйлер хорошо известен в строительной технике своей формулой, дающей критическую нагрузку Эйлера , критическую нагрузку на изгиб идеальной стойки, которая зависит только от ее длины и жесткости на изгиб . ^[99]

Логика [ править ]

Эйлеру приписывают использование замкнутых кривых для иллюстрации силлогистических рассуждений (1768). Эти диаграммы стали известны как диаграммы Эйлера . ^[100]

Диаграмма Эйлера — это схематическое средство представления множеств и их отношений. Диаграммы Эйлера состоят из простых замкнутых кривых (обычно кругов) на плоскости, изображающих множества . Каждая кривая Эйлера делит плоскость на две области или «зоны»: внутреннюю, которая символически представляет элементы множества , и внешнюю, которая представляет все элементы, не являющиеся членами множества. Размеры и форма кривых не имеют значения; Значение диаграммы в том, как они перекрываются. Пространственные отношения между областями, ограниченными каждой кривой (перекрытие, включение или ни одно из них), соответствуют теоретико-множественным отношениям ( пересечение , подмножество и непересекаемость ). Кривые, внутренние зоны которых не пересекаются, представляют собой непересекающиеся множества . Две кривые, внутренние зоны которых пересекаются, представляют множества, имеющие общие элементы; зона внутри обеих кривых представляет собой совокупность элементов, общих для обоих множеств (пересечение множеств ). Кривая, полностью находящаяся во внутренней зоне другой, представляет собой кривую. подмножество его .

Диаграммы Эйлера (и их усовершенствование до диаграмм Венна ) были включены в обучение теории множеств в рамках нового математического движения в 1960-х годах. ^[101] С тех пор они получили широкое распространение как способ визуализации комбинаций характеристик. ^[102]

Музыка [ править ]

Одним из наиболее необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке . В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae ( «Попытка новой теории музыки »), надеясь в конечном итоге включить музыкальную теорию в часть математики. Эта часть его работ, однако, не получила широкого внимания и когда-то была описана как слишком математическая для музыкантов и слишком музыкальная для математиков. ^[103] Даже когда речь идет о музыке, подход Эйлера в основном математический. ^[104] например, его введение двоичных логарифмов как способа численного описания подразделения октав на дробные части. ^[105] Его сочинения о музыке не особенно многочисленны (несколько сотен страниц при общем объеме его произведений около тридцати тысяч страниц), но они отражают ранние занятия, которые оставались с ним на протяжении всей его жизни. ^[104]

Первым пунктом музыкальной теории Эйлера является определение «жанров», то есть возможных делений октавы с использованием простых чисел 3 и 5. Эйлер описывает 18 таких жанров с общим определением 2. ^мA, где A — «показатель» жанра (т.е. сумма показателей 3 и 5) и 2. ^м (где «м — неопределенное число, маленькое или большое, лишь бы звуки были слышны» ^[106]), выражает, что соотношение сохраняется независимо от количества задействованных октав. Первый жанр с А = 1 — это сама октава (или ее дубликаты); второй жанр, 2 ^м.3 — октава, разделенная на квинту (пятая + четвертая, C–G–C); третий жанр - 2 ^м.5, большая треть + второстепенная шестая (C–E–C); четвертый - 2 ^м.3 ², две четверти и тон (C–F–B ♭ –C); пятый - 2 ^м.3.5 (C–E–G–B–C); и т. д. Жанров 12 (2 ^м.3 ³.5), 13 (2 ^м.3 ².5 ²) и 14 (2 ^м.3.5 ³) являются исправленными вариантами диатонической , хроматической и энгармонической соответственно Древних. Жанр 18 (2 ^м.3 ³.5 ²) - «диатонико-хроматический», «используемый обычно во всех композициях», ^[107] и которая оказывается идентичной системе, описанной Иоганном Маттесоном . ^[108] Позже Эйлер предусмотрел возможность описания жанров, включая простое число 7. ^[109]

Эйлер разработал особый график — Speculum musicum . ^[110]^[111]чтобы проиллюстрировать диатонико-хроматический жанр, и обсуждал пути на этом графике для определенных интервалов, вспоминая свой интерес к Семи мостам Кенигсберга (см. выше ). Устройство вызвало новый интерес как Тоннец в неоримановой теории (см. Также Решетка (музыка) ). ^[112]

Далее Эйлер использовал принцип «экспоненты», чтобы предложить вывод gradus suavitatis (степени учтивости, приятности) интервалов и аккордов из их простых множителей – нужно иметь в виду, что он рассматривал только интонацию, т. е. 1 и только простые числа 3 и 5. ^[113] Были предложены формулы, расширяющие эту систему на любое количество простых чисел, например, в форме

ds=\sum _{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,

где p _i — простые числа, а k _{i —} их показатели. ^[114]

философия и убеждения Личная религиозные

Эйлер всю свою жизнь был религиозным человеком. ^[20]Многое из того, что известно о религиозных убеждениях Эйлера, можно вывести из его «Письм к немецкой принцессе» и более ранней работы « Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister» ( «Защита божественного откровения от возражений вольнодумцев »). Эти работы показывают, что Эйлер был набожным христианином, который считал Библию богодухновенной; Реттунг был прежде всего аргументом в пользу божественного вдохновения Священного Писания . ^[115]^[116]

Эйлер выступил против концепций Лейбница монадизма и философии Христиана Вольфа . ^[117]Эйлер настаивал на том, что знание частично основано на точных количественных законах, чего не смогли обеспечить монадизм и вольфианская наука. Эйлер также назвал идеи Вольфа «языческими и атеистическими». ^[118]

Есть известная легенда ^[119]Вдохновленный спорами Эйлера со светскими философами о религии, действие которого происходит во время второго пребывания Эйлера в Санкт-Петербургской Академии. Французский философ Дени Дидро посетил Россию по приглашению Екатерины Великой. Однако императрица была встревожена тем, что аргументы философа в пользу атеизма влияют на членов ее двора, и поэтому Эйлера попросили выступить против француза. Дидро сообщили, что ученый математик представил доказательство существования Бога : он согласился рассмотреть это доказательство в том виде, в котором оно было представлено в суде. Появился Эйлер, подошел к Дидро и тоном совершенной убежденности заявил об этой нелогичности :

"Сэр, ${\frac {a+b^{n}}{n}}=x$ , значит, Бог существует – ответь!»

Дидро, для которого (как говорится в истории) вся математика была бредом, стоял ошеломленный, когда из двора раздались взрывы смеха. Смущенный, он попросил покинуть Россию, и эта просьба была милостиво удовлетворена императрицей. Каким бы забавным ни был этот анекдот, он является апокрифом , учитывая, что сам Дидро занимался математическими исследованиями. ^[120] Легенда, очевидно, была впервые рассказана Дьедонне Тьебо с прикрасами Огюста Де Моргана . ^[119]

Памятники [ править ]

Эйлер фигурировал на обоих шестых ^[121] и седьмой ^[122]серия швейцарских банкнот номиналом 10 франков , а также на многочисленных почтовых марках Швейцарии, Германии и России. В 1782 году он был избран иностранным почётным членом Американской академии искусств и наук . ^[123] астероид . 2002 Эйлер В его честь был назван ^[124]

Избранная библиография [ править ]

Эйлер имеет обширную библиографию . Его книги включают:

Механика (1736)
Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума и минимума, или решение изопериметрической задачи в самом широком смысле принятого (1744 г.) ^[125] ( Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом широком смысле ) ^[126]
Введение в анализ бесконечно малых (1748 г.) ^[127]^[128] ( Введение в анализ бесконечного ) ^[129]
Учреждения дифференциального исчисления (1755 г.) ^[128]^[130] ( Основы дифференциального исчисления )
Полное руководство по алгебре (1765 г.) ^[128] ( Элементы алгебры )
Институты интегрального исчисления (1768–1770) ^[128] ( Основы интегрального исчисления )
Письма к немецкой принцессе (1768–1772) ^[37]
Dioptrica , изданная в трёх томах, начиная с 1769 года. ^[94]

Лишь в 1830 году большая часть посмертных работ Эйлера была опубликована индивидуально. ^[131] с дополнительной партией из 61 неопубликованного произведения, обнаруженной Паулем Генрихом фон Фуссом (правнуком Эйлера и сыном Николаса Фусса ) и опубликованной в виде сборника в 1862 году. ^[131]^[132] Хронологический каталог работ Эйлера был составлен шведским математиком Густавом Энестремом и опубликован с 1910 по 1913 год. ^[133] В каталоге, известном как индекс Энестрема, работы Эйлера пронумерованы от E1 до E866. ^[134] Архив Эйлера был основан в Дартмутском колледже. ^[135] до перехода в Математическая ассоциация Америки ^[136] и, совсем недавно, в Тихоокеанский университет в 2017 году. ^[137]

В 1907 году Швейцарская академия наук создала Комиссию Эйлера и поручила ей публикацию полного собрания сочинений Эйлера. После нескольких задержек в XIX в. ^[131] первый том Opera Omnia вышел в свет в 1911 году. ^[138]Однако обнаружение новых рукописей продолжало увеличивать масштабы этого проекта. К счастью, публикация Opera Omnia Эйлера стабильно продвигалась: к 2006 году было опубликовано более 70 томов (в среднем по 426 страниц каждый), а к 2022 году — 80 томов. ^[139]^[12]^[14]Эти тома разделены на четыре серии. В первой серии собраны работы по анализу, алгебре и теории чисел; он состоит из 29 томов и насчитывает более 14 000 страниц. 31 том серии II общим объемом 10 660 страниц содержит труды по механике, астрономии и технике. Серия III содержит 12 томов по физике. Серия IV, содержащая огромное количество корреспонденции, неопубликованных рукописей и заметок Эйлера, начала компиляцию только в 1967 году. После публикации 8 печатных томов серии IV проект решил в 2022 году опубликовать оставшиеся запланированные тома серии IV только в онлайн-формате. . ^[12]^[138]^[14]

Иллюстрация из книги «Решение проблемы... а. 1743 г. предложено опубликовать в Acta Eruditorum , 1744 г.
Титульный лист метода Эйлера нахождения кривых линий.
Карта мира Эйлера 1760 года.
Карта Африки Эйлера 1753 года.

Примечания [ править ]

^ Эйлер указан в академической генеалогии как эквивалент докторантуры Лагранжа . ^[1]
^ Произношение / ˈ juː l ər / YOO -ler считается неправильным. ^[2]^[3]^[4]^[5]
^ Цитата появилась в рецензии Гульемо Либри на недавно опубликованный сборник переписки математиков восемнадцатого века: « ...напомним, что сам Лаплас... никогда не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали от его собственными устами: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он — учитель всех нас». « [...напомним, что сам Лаплас,... никогда не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали из его собственных уст: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш мастер во всем».] ^[140]
^ Эта цитата появилась в письме Гаусса Паулю Фуссу от 11 сентября 1849 года: ^[10] « Специальная публикация небольших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма ценным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для различных математических областей, которую невозможно заменить ничем другим » . публикация меньших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма достойным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для различных математических областей, которую нельзя заменить ничем другим.]

Ссылки [ править ]

^ Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия», дата обращения 2 июля 2021 г.; В архиве
^ «Эйлер». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.
^ «Эйлер» . Интернет-словарь Мерриама-Вебстера . 2009. Архивировано из оригинала 25 апреля 2009 года . Проверено 5 июня 2009 г.
^ «Эйлер, Леонард» . Словарь английского языка американского наследия (5-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin . 2011. Архивировано из оригинала 4 октября 2013 года . Проверено 30 мая 2013 г.
^ Хиггинс, Питер М. (2007). Сети, головоломки и почтальоны: исследование математических связей . Издательство Оксфордского университета . п. 43 . ISBN 978-0-19-921842-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Данэм 1999 , с. 17.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дебнат, Локенат (2010). Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию . Лондон: Издательство Имперского колледжа. стр. 100-1 VII. ISBN 978-1-84816-525-0 .
^ Данэм 1999 , с. xiii «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он — учитель всех нас».
^ Гринштейн, Луиза; Липси, Салли И. (2001). «Эйлер, Леонард (1707–1783)». Энциклопедия математического образования . Рутледж . п. 235. ИСБН 978-0-415-76368-4 .
^ Фут, Пауль Генрих; Гаусс, Карл Фридрих (11 сентября 1849 г.). «Карл Фридрих Гаус → Пауль Генрих Фусс, Геттинген, 11 сентября 1849 г.» .
^ «Леонхарди Эйлери Opera Omnia (LEOO)» . Центр Бернулли Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с "Работы" . Общество Бернулли-Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.
^ Гаучи 2008 , с. 3.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Асад, Арджанг А. (2007). «Леонард Эйлер: Краткая оценка» . Сети . 49 (3): 190–198. дои : 10.1002/net.20158 . S2CID 11298706 .
^ Бойер, Карл Б. (1 июня 2021 г.). «Леонард Эйлер» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Гаучи 2008 , с. 4.
^ Калингер 2016 , с. 11.
^ Гаучи 2008 , с. 5.
^ Калинджер 1996 , с. 124.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Кноблох, Эберхард ; Лоухиваара, Исландия; Винклер Дж., ред. (май 1983 г.). О творчестве Леонарда Эйлера: Лекции на коллоквиуме Эйлера в мае 1983 года в Берлине (PDF) . Биркхойзер Верлаг . дои : 10.1007/978-3-0348-7121-1 . ISBN 978-3-0348-7122-8 .
^ Калингер 2016 , с. 32.
^ Эйлер, Леонард (1727). Dissertatio physica de sono [ Физическая диссертация о звуке ] (на латыни). Базель: Э. и Дж. Р. Турнисиорум. Архивировано из оригинала 6 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
В переводе на английский как
Брюс, Ян. «Диссертация Эйлера De Sono: E002» (PDF) . Некоторые математические работы 17-го и 18-го веков, в том числе «Начала» Ньютона, «Механика» Эйлера, «Введение в анализ» и т. д., были переведены в основном с латыни на английский язык . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2016 года . Проверено 12 июня 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Калинджер 1996 , с. 125.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Парижская академия» . Архив Эйлера . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 30 июля 2021 года . Проверено 29 июля 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Калинджер 1996 , с. 156.
^ Каллинджер 1996 , стр. 121–166.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Николаус (II) Бернулли» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс . Проверено 2 июля 2021 г.
^ Каллинджер 1996 , стр. 126–127.
^ Калинджер 1996 , с. 127.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Калинджер 1996 , с. 126.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Калинджер 1996 , с. 128.
^ Каллинджер 1996 , стр. 128–129.
^ Перейти обратно: ^а ^б Геккер и Эйлер 2007 , с. 402 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Каллинджер 1996 , стр. 157–158.
^ Гаучи 2008 , с. 7.
^ Эйлер, Леонард (1787). «Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам» [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Императорская Петрополитенская академия наук (на латыни). 1 . Петр Великий: 1–880. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Данхэм 1999 , стр. xxiv–xxv.
^ Стен, Йохан К.-Э. (2014). «Академические мероприятия в Санкт-Петербурге». Комета Просвещения . Вита Математика. Том. 17. Биркхойзер . стр. 119–135. дои : 10.1007/978-3-319-00618-5_7 . См., в частности, сноску 37, с. 131.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Финкель, Б.Ф. (1897). «Биография - Леонард Эйлер». Американский математический ежемесячник . 4 (12): 297–302. дои : 10.2307/2968971 . JSTOR 2968971 . МР 1514436 .
^ Тримбл, Вирджиния ; Уильямс, Томас; Брейчер, Кэтрин; Джаррелл, Ричард; Марше, Джордан Д.; Рагеп, Ф. Джамиль, ред. (2007). Биографическая энциклопедия астрономов . Springer Science+Business Media . п. 992. ИСБН 978-0-387-30400-7 . Доступно на Archive.org.
^ Кларк, Уильям; Голинский, Ян; Шаффер, Саймон (1999). Науки в просвещенной Европе . Издательство Чикагского университета . п. 395. ИСБН 978-0-226-10940-4 . Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кноблох, Эберхард (2007). «Леонард Эйлер 1707–1783. К 300-летию со дня рождения давнего берлинца по выбору» . Объявления Немецкой ассоциации математиков . 15 (4): 276–288. дои : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID 122271644 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гаучи 2008 , стр. 8–9.
^ Эйлер, Леонард (1802). Письма Эйлера о различных предметах физики и философии, адресованные немецкой принцессе . Перевод Хантера, Генри (2-е изд.). Лондон: Мюррей и Хайли. Архивировано через интернет-архивы.
^ Фридрих II Прусский (1927). Письма Вольтера и Фридриха Великого, письмо H 7434, 25 января 1778 г. Ричард Олдингтон . Нью-Йорк: Брентано .
^ Линч, Питер (сентябрь 2017 г.). «Эйлер и несостоявшийся фонтан Сан-Суси — это математика: Фридрих Великий проигнорировал советы гения математики и физики» . Айриш Таймс . Проверено 26 декабря 2023 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Вучинич, Александр (1960). «Математика в русской культуре» . Журнал истории идей . 21 (2): 164–165. дои : 10.2307/2708192 . ISSN 0022-5037 . JSTOR 2708192 . Архивировано из оригинала 3 августа 2021 года . Проверено 3 августа 2021 г. - через JSTOR .
^ Гиндикин, Саймон (2007). «Леонард Эйлер». Сказки математиков и физиков . Издательство Спрингер . стр. 171–212. дои : 10.1007/978-0-387-48811-0_7 . ISBN 978-0-387-48811-0 . См., в частности , стр. 182. Архивировано 10 июня 2021 года в Wayback Machine .
^ Гаучи 2008 , с. 9.
^ Кноблох, Эберхард (1998). «Математика в Прусской академии наук 1700–1810». С желанием, Генрих; Кох, Гельмут ; Крамер, Юрг; Шаппахер, Норберт ; Тиле, Эрнст-Йохен (ред.). Математика в Берлине . Базель: Биркхойзер Базель . стр. 1–8. дои : 10.1007/978-3-0348-8787-8_1 . ISBN 978-3-7643-5943-0 .
^ Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера (1707–1783)». Математика и ремесло историка . Книги CMS по математике. Нью-Йорк: Издательство Springer . стр. 81–140. дои : 10.1007/0-387-28272-6_6 . ISBN 978-0-387-25284-1 .
^ Эккерт, Майкл (2002). «Эйлер и фонтаны Сан-Суси». Архив истории точных наук . 56 (6): 451–468. дои : 10.1007/s004070200054 . ISSN 0003-9519 . S2CID 121790508 .
^ Маэхара, Хироши; Мартини, Хорст (2017). «О теореме Лекселла» . Американский математический ежемесячник . 124 (4): 337–344. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . S2CID 125175471 . Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера» . В Киньоне, Майкл; ван Бруммелен, Глен (ред.). Математика и ремесло историка: Лекции Кеннета О. Мэя . Издательство Спрингер . стр. 81–140. ISBN 978-0-387-25284-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Фусс, Николя (1783). «Éloge de M. Léonhard Euler» [Похвальная речь Леонарду Эйлеру]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на французском языке). 1 : 159–212. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Получено 19 мая 2018 г. - из Библиотеки разнообразия бионаследия. В переводе на английский как «Похвальная речь Леонарда Эйлера Николаса Фусса» . MacTutor Архив истории математики . Перевод Глауса, Джона С.Д. Университета Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Проверено 30 августа 2006 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Калинджер 1996 , с. 129.
^ Геккер и Эйлер 2007 , с. 405 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Гаучи 2008 , с. 6.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ивс, Ховард В. (1969). «Слепота Эйлера». В математических кругах: Подборка математических рассказов и анекдотов, квадранты III и IV . Приндл, Вебер и Шмидт. п. 48. OCLC 260534353 . Также цитируется Richeson (2012) , стр. 17. Архивировано 16 июня 2021 года в Wayback Machine , процитировано Ивсом.
^ Перейти обратно: ^а ^б Асенси, Виктор; Асенси, Хосе М. (март 2013 г.). «Правый глаз Эйлера: темная сторона яркого ученого». Клинические инфекционные болезни . 57 (1): 158–159. дои : 10.1093/cid/cit170 . ПМИД 23487386 .
^ Буллок, Джон Д.; Война, Рональд Э.; Хоули, Х. Брэдфорд (апрель 2022 г.). «Почему Леонард Эйлер был слепым?». Британский журнал истории математики . 37 : 24–42. дои : 10.1080/26375451.2022.2052493 . S2CID 247868159 .
^ Гаучи 2008 , стр. 9–10.
^ Маркиз де Кондорсе . «Похвальная речь Эйлера – Кондорсе» . Архивировано из оригинала 16 сентября 2006 года . Проверено 30 августа 2006 г.
^ Каллинджер 2016 , стр. 530–536.
^ Перейти обратно: ^а ^б Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Дом К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 100-1 439–445 . ISBN 978-0-471-54397-8 .
^ Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Спрингер Верлаг . стр. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4 . Архивировано из оригинала 17 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Ваннер, Герхард ; Хайрер, Эрнст (2005). Анализ по истории (1-е изд.). Издательство Спрингер . п. 63. ИСБН 978-0-387-77036-9 .
^ Ферраро 2008 , с. 155.
^ Лагариас, Джеффри К. (октябрь 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x . МР 3090422 . S2CID 119612431 .
^ Фейнман, Ричард (1970). «Глава 22: Алгебра» . Фейнмановские лекции по физике . Том. И. п. 10.
^ Ферраро 2008 , с. 159.
^ Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонхарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». Американский математический ежемесячник . 66 : 849–869. дои : 10.2307/2309786 . JSTOR 2309786 . МР 0106810 .
^ Никаллс, RWD (март 2009 г.). «Уравнение четвертой степени: раскрыты инварианты и решение Эйлера». Математический вестник . 93 (526): 66–75. дои : 10.1017/S0025557200184190 . JSTOR 40378672 . S2CID 16741834 .
^ Данэм 1999 , гл. 3, гл. 4.
^ Калинджер 1996 , с. 130.
^ Данэм 1999 , с. 7.
^ Паттерсон, С.Дж. (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 14. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 1. дои : 10.1017/CBO9780511623707 . ISBN 978-0-521-33535-5 . МР 0933558 . Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г.
^ Шиу, Питер (ноябрь 2007 г.). «Вклад Эйлера в теорию чисел». Математический вестник . 91 (522): 453–461. дои : 10.1017/S0025557200182099 . JSTOR 40378418 . S2CID 125064003 .
^ Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история . Тексты бакалавриата по математике . Спрингер. п. 40. ИСБН 978-1-4419-6052-8 . Архивировано из оригинала 27 июля 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. .
^ Данэм 1999 , гл. 1, гл. 4.
^ Колдуэлл, Крис . «Самое большое известное простое число за год» . ПраймПейджс . Университет Теннесси в Мартине . Архивировано из оригинала 8 августа 2013 года . Проверено 9 июня 2021 г.
^ Hopkins, Brian; Wilson, Robin (2007). "Euler's science of combinations". Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Stud. Hist. Philos. Math. Vol. 5. Amsterdam: Elsevier. pp. 395–408. MR 3890500.
^ Перейти обратно: ^а ^б Александерсон, Джеральд (июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кенигсберга: исторический взгляд» . Бюллетень Американского математического общества . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ричесон 2012 .
^ Гиббонс, Алан (1985). Алгоритмическая теория графов . Издательство Кембриджского университета . п. 72. ИСБН 978-0-521-28881-1 . Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
^ Коши, Ал. (1813 г.). «Исследование многогранников – первая диссертация» . Журнал Политехнической школы (на французском языке). 9 (Тетради 16): 66–86. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
^ Л'Юлье, С.-А.-Ж. (1812–1813). «Память по полиэдрометрии» . Анналы чистой и прикладной математики . 3 :169–189. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
^ Мясник, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . п. 45. ИСБН 978-0-471-96758-3 . Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
^ Каллинджер 2016 , стр. 96, 137.
^ Ферраро 2008 , стр. 171–180, Глава 14: Вывод Эйлером формулы суммирования Эйлера-Маклорена.
^ Миллс, Стелла (1985). «Независимые выводы Леонарда Эйлера и Колина Маклорена формулы суммирования Эйлера-Маклорена». Архив истории точных наук . 33 (1–3): 1–13. дои : 10.1007/BF00328047 . МР 0795457 . S2CID 122119093 .
^ Охалво, Моррис (декабрь 2007 г.). «Триста лет теории баров». Журнал строительной техники . 133 (12): 1686–1689. дои : 10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686) .
^ Юшкевич, АП (1971). «Эйлер, Леонард». В Гиллиспи, Чарльз Коулстон (ред.). Словарь научной биографии . Том. 4: Ричард Дедекинд – Фирмикус Матернус. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера . стр. 467–484. ISBN 978-0-684-16964-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дэвидсон, Майкл В. (февраль 2011 г.). «Пионеры оптики: Леонард Эйлер и Этьен-Луи Малюс» . Микроскопия сегодня . 19 (2): 52–54. дои : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID 122853454 .
^ Каллинджер 1996 , стр. 152–153.
^ Дом, RW (1988). «Антиньютоновская» теория света Леонарда Эйлера». Анналы науки . 45 (5): 521–533. дои : 10.1080/00033798800200371 . МР 0962700 .
^ Ли, Шэнцай (октябрь 2015 г.). «Маленькие пузыри бросают вызов гигантским турбинам: головоломка «Три ущелья»» . Фокус на интерфейсе . 5 (5). Королевское общество : 20150020. doi : 10.1098/rsfs.2015.0020 . ПМЦ 4549846 . ПМИД 26442144 .
^ Эйлер, Леонард (1757). «Общие принципы состояния равновесия жидкости» . Королевская академия наук и беллетристики Берлина, Мемуары (на французском языке). 11 : 217–273. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. В переводе на английский как Фриш, Уриэль (2008). «Перевод Леонарда Эйлера: Общие принципы движения жидкостей». arXiv : 0802.2383 [ nlin.CD ].
^ Гаучи 2008 , с. 22.
^ Барон, Маргарет Э. (май 1969 г.). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». Математический вестник . 53 (383): 113–125. дои : 10.2307/3614533 . JSTOR 3614533 . S2CID 125364002 .
^ Лемански, Йенс (2016). «Средство или цель? Об оценке логических диаграмм» . Логико-философские исследования . 14 : 98–122.
^ Роджерс, Питер (июнь 2014 г.). «Обзор диаграмм Эйлера» (PDF) . Журнал визуальных языков и вычислений . 25 (3): 134–155. дои : 10.1016/j.jvlc.2013.08.006 . S2CID 2571971 . Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 23 июля 2021 г.
^ Каллинджер 1996 , стр. 144–145.
^ Перейти обратно: ^а ^б Пешич, Питер (2014). «Эйлер: математика музыкальной грусти; Эйлер: от звука к свету» . Музыка и создание современной науки . МТИ Пресс . стр. 133–160. ISBN 978-0-262-02727-4 . Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.
^ Тегг, Томас (1829). «Двоичные логарифмы» . Лондонская энциклопедия; или «Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний», Том 4 . стр. 142–143. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 года . Проверено 13 июня 2021 г.
^ Эйлер 1739 , с. 115.
^ Эмери, Эрик (2000). Время и Музыка . Лозанна: эпоха человека. стр. 344–345.
^ Маттесон, Джон (1731). Большая общая басовая школа . Том I. Гамбург. стр. 104–106. ОСЛК 30006387 . Упоминается Эйлером. Так: Маттесон, Джон (1719). Образцовая репетиция органиста . Гамбург. стр. 57–59.
^
См.:
- Перре, Уилфрид (1926). Некоторые вопросы музыкальной теории . Кембридж: В. Хеффер и сыновья. стр. 60–62. ОСЛК 3212114 .
- «Что такое род Эйлера-Фоккера?» . Микротональность . Фонд Гюйгенса-Фоккера . Архивировано из оригинала 21 мая 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
^ Эйлер 1739 , с. 147.
^ Эйлер, Леонард (1774). «Об истинных принципах гармонии, представленных музыкальным зеркалом » . Новые комментарии Петрополитанской академии наук . 18 . Индекс Энестрема 457: 330–353 . Проверено 12 сентября 2022 г.
^ Голлин, Эдвард (2009). Эйлера «Комбинаторные и трансформационные аспекты Speculum Musicum ». В Клуш, Т.; Нолл, Т. (ред.). Математика и вычисления в музыке: Первая международная конференция, MCM 2007, Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г., Пересмотренные избранные статьи . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 37. Спрингер. стр. 406–411. дои : 10.1007/978-3-642-04579-0_40 .
^ Линдли, Марк ; Тернер-Смит, Рональд (1993). Математические модели музыкальных гамм: новый подход . Бонн: Издательство систематического музыкознания. стр. 234–239. ISBN 9783922626664 . OCLC 27789639 . Смотрите также Нолан, Кэтрин (2002). «Теория музыки и математика». В Кристенсене, Т. (ред.). Кембриджская история теории западной музыки . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 278–279. ISBN 9781139053471 . OCLC 828741887 .
^ Байяш, Патрис (17 января 1997 г.). «Музыка в переводе на математику: Леонард Эйлер» . Коммуникация на конференции Центра Франсуа Вьета «Проблемы перевода в XVIII веке», Нант (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.
^ Эйлер, Леонард (1747). Защита божественного откровения от возражений ( вольнодумцев на немецком языке). Индекс Энестрема 92. Берлин: Амброзиус Хауде и Иоганн Карл Шпенер. Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Получено 12 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.
^ Маркиз де Кондорсе (1805 г.). Сравнение с последним изданием писем Эйлера, опубликованным де Кондорсе, с оригинальным изданием: «Защита Откровения против возражений вольнодумцев» г-на Эйлера с последующими мыслями автора о религии, исключенными из последнего издания его писем принцессе Германии (PDF) . Перевод Хо, Энди. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2015 г. Проверено 26 июля 2021 г.
^ Калинджер 1996 , с. 123.
^ Каллинджер 1996 , стр. 153–154
^ Перейти обратно: ^а ^б
Видеть:
- Браун, Б.Х. (май 1942 г.). «Анекдот Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 49 (5): 302–303. дои : 10.2307/2303096 . JSTOR 2303096 .
- Жиллингс, Р.Дж. (февраль 1954 г.). «Так называемый инцидент Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 61 (2): 77–80. дои : 10.2307/2307789 . JSTOR 2307789 .
- Струик, Дирк Дж. (1967). Краткая история математики (3-е исправленное изд.). Дуврские книги . п. 129 . ISBN 978-0-486-60255-4 .
^ Марти, Жак (1988). «Некоторые аспекты творчества Дидро по общей математике » . Исследование Дидро и энциклопедии (на французском языке). 4 (1): 145–147. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 года . Проверено 20 апреля 2012 г.
^ «Швейцарский национальный банк (SNB) – Банкноты шестой серии (1976 г.)» . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
^ «Швейцарский национальный банк (SNB) – Банкноты седьмой серии (1984 г.)» . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.
^ «Э» (PDF) . Члены Американской академии искусств и наук, 1780–2017 гг . Американская академия искусств и наук . стр. 164–179. Архивировано (PDF) из оригинала 18 февраля 2019 года . Проверено 17 февраля 2019 г. Вступление к Эйлеру находится на стр. 177.
^ Шмадель, Лутц Д. , изд. (2007). «(2002) Эйлер». Словарь названий малых планет . Берлин , Гейдельберг : Издательство Springer . п. 162. дои : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN 978-3-540-29925-7 .
^ Фрейзер, Крейг Г. (11 февраля 2005 г.). Книга Леонарда Эйлера о вариационном исчислении 1744 года . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4 . В Grattan-Guinness 2005 , стр. 168–180.
^ Эйлер, Леонард (1744). широком . Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом смысле Лес Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
^ Райх, Карин (11 февраля 2005 г.). «Введение» в анализ . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4 . В Grattan-Guinness 2005 , стр. 181–190.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ферраро, Джованни (2007). «Трактаты Эйлера об анализе бесконечно малых: Введение в анализ бесконечно малых, институты дифференциального исчисления, институты интегрального исчисления ». В Бейкер, Роджер (ред.). Пересмотр Эйлера: Очерки трехсотлетия (PDF) . Хибер-Сити, Юта: Кендрик Пресс. стр. 39–101. МР 2384378 . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2022 года.
^
Обзоры введения в анализ бесконечного :
- Эйтон, Э.Дж. «Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод Джона Д. Блэнтона. (Английский)». zbМАТ . Збл 0657.01013 .
- Шиу, П. (декабрь 1990 г.). «Введение в анализ бесконечного (Книга II) Леонарда Эйлера (перевод Джона Д. Блэнтона)». Математический вестник . 74 (470): 392–393. дои : 10.2307/3618156 . JSTOR 3618156 .
- Штефанеску, Дору. «Эйлер, Леонард. Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод с латыни и с введением Джона Д. Блэнтона». Математические обзоры . МР 1025504 .
^ Демидов, С.С. (2005). Трактат по дифференциальному исчислению . Эльзевир. ISBN 978-0080457444 . Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г. В Grattan-Guinness 2005 , стр. 191–198.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кляйнерт, Андреас (2015). «Леонарди Эйлери Opera omnia: Редактирование произведений и переписки Леонарда Эйлера» . Труды Комиссии ПАУ по истории науки . 14 . Ягеллонский университет : 13–35. дои : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .
^ Эйлер, Леонард ; Фусс, Никола Иванович ; Фусс, Пол (1862). Посмертные математические и физические труды, обнаруженные в 1844 году, были подарены Петрополитанской академии наук и опубликованы правнуками автора Паулюсом Хенрикусом Фуссом и Николаусом Фуссом . Императорская академия наук (Россия) . OCLC 9094558695 .
^ Каллинджер 2016 , стр. ix–x.
^ «Индекс Энестрема» . Архив Эйлера . Архивировано из оригинала 9 августа 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
^ Кнапп, Сьюзен (19 февраля 2007 г.). «Студенты Дартмута создают онлайн-архив исторического математика» . Вокс Дартмута . Дартмутский колледж . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года.
^ Клив, Доминик (июнь – июль 2011 г.). «Архив Эйлера переезжает на сайт МАА» . МАА ФОКУС . Математическая ассоциация Америки . Проверено 9 января 2020 г.
^ «Архив Эйлера» . Тихоокеанский университет . Архивировано из оригинала 7 июня 2021 года.
^ Перейти обратно: ^а ^б Плюсс, Матиас. «Гете-дер-Математика» . Швейцарский национальный научный фонд . Архивировано из оригинала 24 июня 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.
^ Варадараджан, В.С. (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7 . OCLC 803144928 .
^ Либри, Гульемо (январь 1846 г.). «Математическое и физическое соответствие некоторых знаменитых геометров восемнадцатого века...». Journal des Savants (на французском языке): 51. Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года . Проверено 7 апреля 2014 г.

Источники [ править ]

Калинджер, Рональд (1996). «Леонард Эйлер: Первые петербургские годы (1727–1741)» . История Математики . 23 (2): 121–166. дои : 10.1006/hmat.1996.0015 .
Калинджер, Рональд (2016). Леонард Эйлер: математический гений эпохи Просвещения . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11927-4 . Архивировано из оригинала 13 июля 2017 года . Проверено 4 января 2017 г.
Данэм, Уильям (1999). Эйлер: Господин всех нас . Математические изложения Дольчиани. Том. 22. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-328-3 . Архивировано из оригинала 13 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
Эйлер, Леонард (1739). Tentamen novae theoriae musicae [ Попытка новой теории музыки, изложенной во всей ясности, согласно наиболее обоснованным принципам гармонии ] (на латыни). СПб.: Императорская Академия наук . Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
Ферраро, Джованни (2008). Возникновение и развитие теории рядов до начала 1820-х годов . Springer Science+Business Media . ISBN 978-0-387-73467-5 . Архивировано из оригинала 29 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.
Геккер, ИК; Эйлер, А.А. (2007). «Семья и потомки Леонарда Эйлера». В Боголюбов Николай Николаевич ; Михайлов, ГК; Юшкевич, Адольф Павлович (ред.). Эйлер и современная наука . Перевод Роберта Бернса. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-564-5 . Архивировано из оригинала 18 мая 2016 года . Проверено 12 ноября 2015 г.
Гаучи, Уолтер (2008). «Леонард Эйлер: его жизнь, человек и его произведения». Обзор СИАМ . 50 (1): 3–33. Бибкод : 2008SIAMR..50....3G . CiteSeerX 10.1.1.177.8766 . дои : 10.1137/070702710 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 20454060 .
Граттан-Гиннесс, Айвор , изд. (2005). Знаковые сочинения по западной математике 1640–1940 гг . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4 .
Ричесон, Дэвид С. (2012). Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии . Издательство Принстонского университета . п. 17 . ISBN 978-1-4008-3856-1 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Брэдли, Роберт Э.; Д'Антонио, Лоуренс А.; Сандифер, Чарльз Эдвард (2007). Эйлеру 300 лет: признание . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-565-2 .
Брэдли, Роберт Э.; Сандифер, Чарльз Эдвард, ред. (2007). Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие . Исследования по истории и философии математики. Том. 5. Эльзевир. ISBN 978-0-444-52728-8 . Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
Данэм, Уильям (2007). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-558-4 .
Хашер, Ксавье; Пападопулос, Атанас, ред. (2015). Леонард Эйлер: математик, физик и теоретик музыки (на французском языке). Париж: издания CNRS. ISBN 978-2-271-08331-9 . Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
Сандифер, К. Эдвард (2007). Ранняя математика Леонарда Эйлера . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-559-1 .
Сандифер, К. Эдвард (2007). Как Эйлер это сделал . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-563-8 .
Сандифер, К. Эдвард (2015). Как Эйлер сделал еще больше . Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-584-3 . Архивировано из оригинала 16 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.
Шатшнайдер, Дорис , изд. (ноябрь 1983 г.). «Дань Леонарду Эйлеру 1707–1783 (специальный выпуск)». Журнал «Математика» . 56 (5). JSTOR i326726 .

Внешние ссылки [ править ]

Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия»
Архив Эйлера : Состав сочинений Эйлера с переводами на английский язык.
Опера-Бернулли-Эйлер (сборник произведений Эйлера, семьи Бернулли и современных ему коллег)
Трехсотлетие Эйлера, 2007 г.
Общество Эйлера
Эйлериана в Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук
Генеалогическое древо Эйлера
Переписка Эйлера с Фридрихом Великим, королем Пруссии.
Работы Леонарда Эйлера в LibriVox (аудиокниги, являющиеся общественным достоянием)
О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Леонард Эйлер» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс .
Данэм, Уильям (24 сентября 2009 г.). «Вечер с Леонардом Эйлером» . YouTube . Колледж Мюленберга : philoctetesctr (опубликовано 9 ноября 2009 г.). (выступление Уильяма Данэма на сайте )
Данэм, Уильям (14 октября 2008 г.). «Дань Эйлеру - Уильям Данэм» . YouTube . Колледж Мюленберга: Пуанкаре Двойственность (опубликовано 23 ноября 2011 г.).

[2] Эйлер указан в академической генеалогии как эквивалент докторантуры Лагранжа . ^[1]

[7] Произношение / ˈ juː l ər / YOO -ler считается неправильным. ^[2]^[3]^[4]^[5]

[fn2-11] Цитата появилась в рецензии Гульемо Либри на недавно опубликованный сборник переписки математиков восемнадцатого века: « ...напомним, что сам Лаплас... никогда не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали от его собственными устами: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он — учитель всех нас». « [...напомним, что сам Лаплас,... никогда не переставал повторять молодым математикам эти памятные слова, которые мы слышали из его собственных уст: «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он наш мастер во всем».] ^[140]

[fn3-14] Эта цитата появилась в письме Гаусса Паулю Фуссу от 11 сентября 1849 года: ^[10] « Специальная публикация небольших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма ценным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для различных математических областей, которую невозможно заменить ничем другим » . публикация меньших трактатов Эйлера, безусловно, является чем-то весьма достойным, [...] и изучение всех работ Эйлера всегда останется лучшей школой для различных математических областей, которую нельзя заменить ничем другим.]

[mathg-1] Леонард Эйлер в проекте «Математическая генеалогия», дата обращения 2 июля 2021 г.; В архиве

[oxford-3] «Эйлер». Оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . 1989.

[merriam-4] «Эйлер» . Интернет-словарь Мерриама-Вебстера . 2009. Архивировано из оригинала 25 апреля 2009 года . Проверено 5 июня 2009 г.

[amer_heritage-5] «Эйлер, Леонард» . Словарь английского языка американского наследия (5-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin . 2011. Архивировано из оригинала 4 октября 2013 года . Проверено 30 мая 2013 г.

[nets,_puzzles-6] Хиггинс, Питер М. (2007). Сети, головоломки и почтальоны: исследование математических связей . Издательство Оксфордского университета . п. 43 . ISBN 978-0-19-921842-4 .

[FOOTNOTEDunham199917-8] Перейти обратно: ^а ^б Данэм 1999 , с. 17.

[:0-9] Перейти обратно: ^а ^б Дебнат, Локенат (2010). Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию . Лондон: Издательство Имперского колледжа. стр. 100-1 VII. ISBN 978-1-84816-525-0 .

[Laplace-10] Данэм 1999 , с. xiii «Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он — учитель всех нас».

[Grinstein-12] Гринштейн, Луиза; Липси, Салли И. (2001). «Эйлер, Леонард (1707–1783)». Энциклопедия математического образования . Рутледж . п. 235. ИСБН 978-0-415-76368-4 .

[fussletter-13] Фут, Пауль Генрих; Гаусс, Карл Фридрих (11 сентября 1849 г.). «Карл Фридрих Гаус → Пауль Генрих Фусс, Геттинген, 11 сентября 1849 г.» .

[ivb-15] «Леонхарди Эйлери Opera Omnia (LEOO)» . Центр Бернулли Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.

[series_ii_done-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с "Работы" . Общество Бернулли-Эйлера . Архивировано из оригинала 11 сентября 2022 года . Проверено 11 сентября 2022 г.

[FOOTNOTEGautschi20083-17] Гаучи 2008 , с. 3.

[assad-18] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Асад, Арджанг А. (2007). «Леонард Эйлер: Краткая оценка» . Сети . 49 (3): 190–198. дои : 10.1002/net.20158 . S2CID 11298706 .

[britannica-19] Бойер, Карл Б. (1 июня 2021 г.). «Леонард Эйлер» . Британская энциклопедия . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.

[FOOTNOTEGautschi20084-20] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Гаучи 2008 , с. 4.

[FOOTNOTECalinger201611-21] Калингер 2016 , с. 11.

[FOOTNOTEGautschi20085-22] Гаучи 2008 , с. 5.

[FOOTNOTECalinger1996124-23] Калинджер 1996 , с. 124.

[zum_werk_leonhard-24] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Кноблох, Эберхард ; Лоухиваара, Исландия; Винклер Дж., ред. (май 1983 г.). О творчестве Леонарда Эйлера: Лекции на коллоквиуме Эйлера в мае 1983 года в Берлине (PDF) . Биркхойзер Верлаг . дои : 10.1007/978-3-0348-7121-1 . ISBN 978-3-0348-7122-8 .

[FOOTNOTECalinger201632-25] Калингер 2016 , с. 32.

[17cent-26] Эйлер, Леонард (1727). Dissertatio physica de sono [ Физическая диссертация о звуке ] (на латыни). Базель: Э. и Дж. Р. Турнисиорум. Архивировано из оригинала 6 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. - из архива Эйлера.
В переводе на английский как
Брюс, Ян. «Диссертация Эйлера De Sono: E002» (PDF) . Некоторые математические работы 17-го и 18-го веков, в том числе «Начала» Ньютона, «Механика» Эйлера, «Введение в анализ» и т. д., были переведены в основном с латыни на английский язык . Архивировано (PDF) из оригинала 10 июня 2016 года . Проверено 12 июня 2021 г.

[FOOTNOTECalinger1996125-27] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это Калинджер 1996 , с. 125.

[paris-acad-28] Перейти обратно: ^а ^б «Парижская академия» . Архив Эйлера . Математическая ассоциация Америки . Архивировано из оригинала 30 июля 2021 года . Проверено 29 июля 2021 г.

[FOOTNOTECalinger1996156-29] Перейти обратно: ^а ^б ^с Калинджер 1996 , с. 156.

[FOOTNOTECalinger1996121–166-30] Каллинджер 1996 , стр. 121–166.

[mactutor-31] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. «Николаус (II) Бернулли» . MacTutor Архив истории математики . Университет Сент-Эндрюс . Проверено 2 июля 2021 г.

[FOOTNOTECalinger1996126–127-32] Каллинджер 1996 , стр. 126–127.

[FOOTNOTECalinger1996127-33] Калинджер 1996 , с. 127.

[FOOTNOTECalinger1996126-34] Перейти обратно: ^а ^б ^с Калинджер 1996 , с. 126.

[FOOTNOTECalinger1996128-35] Перейти обратно: ^а ^б ^с Калинджер 1996 , с. 128.

[FOOTNOTECalinger1996128–129-36] Каллинджер 1996 , стр. 128–129.

[FOOTNOTEGekkerEuler2007[httpsbooksgooglecombooksidTa9bz1wv79ACpgPA402_402]-37] Перейти обратно: ^а ^б Геккер и Эйлер 2007 , с. 402 .

[FOOTNOTECalinger1996157–158-38] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Каллинджер 1996 , стр. 157–158.

[FOOTNOTEGautschi20087-39] Гаучи 2008 , с. 7.

[dartm-40] Эйлер, Леонард (1787). «Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам» [Основы дифференциального исчисления с приложениями к конечному анализу и рядам]. Императорская Петрополитенская академия наук (на латыни). 1 . Петр Великий: 1–880. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.

[FOOTNOTEDunham1999xxiv–xxv-41] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Данхэм 1999 , стр. xxiv–xxv.

[sten-42] Стен, Йохан К.-Э. (2014). «Академические мероприятия в Санкт-Петербурге». Комета Просвещения . Вита Математика. Том. 17. Биркхойзер . стр. 119–135. дои : 10.1007/978-3-319-00618-5_7 . См., в частности, сноску 37, с. 131.

[volumes-43] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Финкель, Б.Ф. (1897). «Биография - Леонард Эйлер». Американский математический ежемесячник . 4 (12): 297–302. дои : 10.2307/2968971 . JSTOR 2968971 . МР 1514436 .

[BEA-44] Тримбл, Вирджиния ; Уильямс, Томас; Брейчер, Кэтрин; Джаррелл, Ричард; Марше, Джордан Д.; Рагеп, Ф. Джамиль, ред. (2007). Биографическая энциклопедия астрономов . Springer Science+Business Media . п. 992. ИСБН 978-0-387-30400-7 . Доступно на Archive.org.

[ClarkGolinski1999-45] Кларк, Уильям; Голинский, Ян; Шаффер, Саймон (1999). Науки в просвещенной Европе . Издательство Чикагского университета . п. 395. ИСБН 978-0-226-10940-4 . Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.

[zum_300_knobloch-46] Перейти обратно: ^а ^б Кноблох, Эберхард (2007). «Леонард Эйлер 1707–1783. К 300-летию со дня рождения давнего берлинца по выбору» . Объявления Немецкой ассоциации математиков . 15 (4): 276–288. дои : 10.1515/dmvm-2007-0092 . S2CID 122271644 .

[FOOTNOTEGautschi20088–9-47] Перейти обратно: ^а ^б Гаучи 2008 , стр. 8–9.

[Digital_Copy_of_"Letters_to_a_German_Princess"-48] Эйлер, Леонард (1802). Письма Эйлера о различных предметах физики и философии, адресованные немецкой принцессе . Перевод Хантера, Генри (2-е изд.). Лондон: Мюррей и Хайли. Архивировано через интернет-архивы.

[fredlett-49] Фридрих II Прусский (1927). Письма Вольтера и Фридриха Великого, письмо H 7434, 25 января 1778 г. Ричард Олдингтон . Нью-Йорк: Брентано .

[Lynch-50] Линч, Питер (сентябрь 2017 г.). «Эйлер и несостоявшийся фонтан Сан-Суси — это математика: Фридрих Великий проигнорировал советы гения математики и физики» . Айриш Таймс . Проверено 26 декабря 2023 г.

[vucinich-51] Перейти обратно: ^а ^б Вучинич, Александр (1960). «Математика в русской культуре» . Журнал истории идей . 21 (2): 164–165. дои : 10.2307/2708192 . ISSN 0022-5037 . JSTOR 2708192 . Архивировано из оригинала 3 августа 2021 года . Проверено 3 августа 2021 г. - через JSTOR .

[gindikin-52] Гиндикин, Саймон (2007). «Леонард Эйлер». Сказки математиков и физиков . Издательство Спрингер . стр. 171–212. дои : 10.1007/978-0-387-48811-0_7 . ISBN 978-0-387-48811-0 . См., в частности , стр. 182. Архивировано 10 июня 2021 года в Wayback Machine .

[FOOTNOTEGautschi20089-53] Гаучи 2008 , с. 9.

[math_at_prussian-54] Кноблох, Эберхард (1998). «Математика в Прусской академии наук 1700–1810». С желанием, Генрих; Кох, Гельмут ; Крамер, Юрг; Шаппахер, Норберт ; Тиле, Эрнст-Йохен (ред.). Математика в Берлине . Базель: Биркхойзер Базель . стр. 1–8. дои : 10.1007/978-3-0348-8787-8_1 . ISBN 978-3-7643-5943-0 .

[historian's_craft-55] Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера (1707–1783)». Математика и ремесло историка . Книги CMS по математике. Нью-Йорк: Издательство Springer . стр. 81–140. дои : 10.1007/0-387-28272-6_6 . ISBN 978-0-387-25284-1 .

[fountains-56] Эккерт, Майкл (2002). «Эйлер и фонтаны Сан-Суси». Архив истории точных наук . 56 (6): 451–468. дои : 10.1007/s004070200054 . ISSN 0003-9519 . S2CID 121790508 .

[lexell's_theorem-57] Маэхара, Хироши; Мартини, Хорст (2017). «О теореме Лекселла» . Американский математический ежемесячник . 124 (4): 337–344. doi : 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10.4169/amer.math.monthly.124.4.337 . S2CID 125175471 . Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.

[thiele-58] Перейти обратно: ^а ^б Тиле, Рюдигер (2005). «Математика и наука Леонарда Эйлера» . В Киньоне, Майкл; ван Бруммелен, Глен (ред.). Математика и ремесло историка: Лекции Кеннета О. Мэя . Издательство Спрингер . стр. 81–140. ISBN 978-0-387-25284-1 .

[novaacta-59] Перейти обратно: ^а ^б Фусс, Николя (1783). «Éloge de M. Léonhard Euler» [Похвальная речь Леонарду Эйлеру]. Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (на французском языке). 1 : 159–212. Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Получено 19 мая 2018 г. - из Библиотеки разнообразия бионаследия. В переводе на английский как «Похвальная речь Леонарда Эйлера Николаса Фусса» . MacTutor Архив истории математики . Перевод Глауса, Джона С.Д. Университета Сент-Эндрюс . Архивировано из оригинала 26 декабря 2018 года . Проверено 30 августа 2006 г.

[FOOTNOTECalinger1996129-60] Перейти обратно: ^а ^б Калинджер 1996 , с. 129.

[FOOTNOTEGekkerEuler2007[httpsbooksgooglecombooksidTa9bz1wv79ACpgPA405_405]-61] Геккер и Эйлер 2007 , с. 405 .

[FOOTNOTEGautschi20086-62] Перейти обратно: ^а ^б Гаучи 2008 , с. 6.

[blindness-63] Перейти обратно: ^а ^б Ивс, Ховард В. (1969). «Слепота Эйлера». В математических кругах: Подборка математических рассказов и анекдотов, квадранты III и IV . Приндл, Вебер и Шмидт. п. 48. OCLC 260534353 . Также цитируется Richeson (2012) , стр. 17. Архивировано 16 июня 2021 года в Wayback Machine , процитировано Ивсом.

[righteye-64] Перейти обратно: ^а ^б Асенси, Виктор; Асенси, Хосе М. (март 2013 г.). «Правый глаз Эйлера: темная сторона яркого ученого». Клинические инфекционные болезни . 57 (1): 158–159. дои : 10.1093/cid/cit170 . ПМИД 23487386 .

[bullock-65] Буллок, Джон Д.; Война, Рональд Э.; Хоули, Х. Брэдфорд (апрель 2022 г.). «Почему Леонард Эйлер был слепым?». Британский журнал истории математики . 37 : 24–42. дои : 10.1080/26375451.2022.2052493 . S2CID 247868159 .

[FOOTNOTEGautschi20089–10-66] Гаучи 2008 , стр. 9–10.

[condorcet-67] Маркиз де Кондорсе . «Похвальная речь Эйлера – Кондорсе» . Архивировано из оригинала 16 сентября 2006 года . Проверено 30 августа 2006 г.

[FOOTNOTECalinger2016530–536-68] Каллинджер 2016 , стр. 530–536.

[Boyer-69] Перейти обратно: ^а ^б Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Дом К. (1991). История математики . Джон Уайли и сыновья . стр. 100-1 439–445 . ISBN 978-0-471-54397-8 .

[arndt-70] Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Спрингер Верлаг . стр. 166. ИСБН 978-3-540-66572-4 . Архивировано из оригинала 17 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.

[Basel-71] Перейти обратно: ^а ^б Ваннер, Герхард ; Хайрер, Эрнст (2005). Анализ по истории (1-е изд.). Издательство Спрингер . п. 63. ИСБН 978-0-387-77036-9 .

[FOOTNOTEFerraro2008155-72] Ферраро 2008 , с. 155.

[lagarias-73] Лагариас, Джеффри К. (октябрь 2013 г.). «Константа Эйлера: работа Эйлера и современные разработки». Бюллетень Американского математического общества . 50 (4): 556. arXiv : 1303.1856 . дои : 10.1090/s0273-0979-2013-01423-x . МР 3090422 . S2CID 119612431 .

[Feynman-74] Фейнман, Ричард (1970). «Глава 22: Алгебра» . Фейнмановские лекции по физике . Том. И. п. 10.

[FOOTNOTEFerraro2008159-75] Ферраро 2008 , с. 159.

[davis-76] Дэвис, Филип Дж. (1959). «Интеграл Леонхарда Эйлера: исторический профиль гамма-функции». Американский математический ежемесячник . 66 : 849–869. дои : 10.2307/2309786 . JSTOR 2309786 . МР 0106810 .

[nickalls-77] Никаллс, RWD (март 2009 г.). «Уравнение четвертой степени: раскрыты инварианты и решение Эйлера». Математический вестник . 93 (526): 66–75. дои : 10.1017/S0025557200184190 . JSTOR 40378672 . S2CID 16741834 .

[FOOTNOTEDunham1999Ch._3,_Ch._4-78] Данэм 1999 , гл. 3, гл. 4.

[FOOTNOTECalinger1996130-79] Калинджер 1996 , с. 130.

[FOOTNOTEDunham19997-80] Данэм 1999 , с. 7.

[patterson-81] Паттерсон, С.Дж. (1988). Введение в теорию дзета-функции Римана . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 14. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 1. дои : 10.1017/CBO9780511623707 . ISBN 978-0-521-33535-5 . МР 0933558 . Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г.

[shiu-82] Шиу, Питер (ноябрь 2007 г.). «Вклад Эйлера в теорию чисел». Математический вестник . 91 (522): 453–461. дои : 10.1017/S0025557200182099 . JSTOR 40378418 . S2CID 125064003 .

[stillwell-83] Стиллвелл, Джон (2010). Математика и ее история . Тексты бакалавриата по математике . Спрингер. п. 40. ИСБН 978-1-4419-6052-8 . Архивировано из оригинала 27 июля 2021 года . Проверено 6 июня 2021 г. .

[FOOTNOTEDunham1999Ch._1,_Ch._4-84] Данэм 1999 , гл. 1, гл. 4.

[caldwell-85] Колдуэлл, Крис . «Самое большое известное простое число за год» . ПраймПейджс . Университет Теннесси в Мартине . Архивировано из оригинала 8 августа 2013 года . Проверено 9 июня 2021 г.

[hopwil-86] Hopkins, Brian; Wilson, Robin (2007). "Euler's science of combinations". Leonhard Euler: Life, Work and Legacy. Stud. Hist. Philos. Math. Vol. 5. Amsterdam: Elsevier. pp. 395–408. MR 3890500.

[bridge-87] Перейти обратно: ^а ^б Александерсон, Джеральд (июль 2006 г.). «Мосты Эйлера и Кенигсберга: исторический взгляд» . Бюллетень Американского математического общества . 43 (4): 567. doi : 10.1090/S0273-0979-06-01130-X .

[FOOTNOTERicheson2012-88] Перейти обратно: ^а ^б Ричесон 2012 .

[gibbons-89] Гиббонс, Алан (1985). Алгоритмическая теория графов . Издательство Кембриджского университета . п. 72. ИСБН 978-0-521-28881-1 . Архивировано из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г.

[Cauchy-90] Коши, Ал. (1813 г.). «Исследование многогранников – первая диссертация» . Журнал Политехнической школы (на французском языке). 9 (Тетради 16): 66–86. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.

[Lhuillier-91] Л'Юлье, С.-А.-Ж. (1812–1813). «Память по полиэдрометрии» . Анналы чистой и прикладной математики . 3 :169–189. Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.

[butcher-92] Мясник, Джон К. (2003). Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . п. 45. ИСБН 978-0-471-96758-3 . Архивировано из оригинала 19 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г.

[FOOTNOTECalinger201696,_137-93] Каллинджер 2016 , стр. 96, 137.

[FOOTNOTEFerraro2008171–180Chapter_14:_Euler's_derivation_of_the_Euler–Maclaurin_summation_formula-94] Ферраро 2008 , стр. 171–180, Глава 14: Вывод Эйлером формулы суммирования Эйлера-Маклорена.

[mills-95] Миллс, Стелла (1985). «Независимые выводы Леонарда Эйлера и Колина Маклорена формулы суммирования Эйлера-Маклорена». Архив истории точных наук . 33 (1–3): 1–13. дои : 10.1007/BF00328047 . МР 0795457 . S2CID 122119093 .

[ojalvo-96] Охалво, Моррис (декабрь 2007 г.). «Триста лет теории баров». Журнал строительной техники . 133 (12): 1686–1689. дои : 10.1061/(asce)0733-9445(2007)133:12(1686) .

[yousch-97] Юшкевич, АП (1971). «Эйлер, Леонард». В Гиллиспи, Чарльз Коулстон (ред.). Словарь научной биографии . Том. 4: Ричард Дедекинд – Фирмикус Матернус. Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера . стр. 467–484. ISBN 978-0-684-16964-4 .

[davidson-98] Перейти обратно: ^а ^б Дэвидсон, Майкл В. (февраль 2011 г.). «Пионеры оптики: Леонард Эйлер и Этьен-Луи Малюс» . Микроскопия сегодня . 19 (2): 52–54. дои : 10.1017/s1551929511000046 . S2CID 122853454 .

[FOOTNOTECalinger1996152–153-99] Каллинджер 1996 , стр. 152–153.

[optics-100] Дом, RW (1988). «Антиньютоновская» теория света Леонарда Эйлера». Анналы науки . 45 (5): 521–533. дои : 10.1080/00033798800200371 . МР 0962700 .

[li-101] Ли, Шэнцай (октябрь 2015 г.). «Маленькие пузыри бросают вызов гигантским турбинам: головоломка «Три ущелья»» . Фокус на интерфейсе . 5 (5). Королевское общество : 20150020. doi : 10.1098/rsfs.2015.0020 . ПМЦ 4549846 . ПМИД 26442144 .

[euler2-102] Эйлер, Леонард (1757). «Общие принципы состояния равновесия жидкости» . Королевская академия наук и беллетристики Берлина, Мемуары (на французском языке). 11 : 217–273. Архивировано из оригинала 6 мая 2021 года . Проверено 12 июня 2021 г. В переводе на английский как Фриш, Уриэль (2008). «Перевод Леонарда Эйлера: Общие принципы движения жидкостей». arXiv : 0802.2383 [ nlin.CD ].

[FOOTNOTEGautschi200822-103] Гаучи 2008 , с. 22.

[logic-104] Барон, Маргарет Э. (май 1969 г.). «Заметка об историческом развитии логических диаграмм». Математический вестник . 53 (383): 113–125. дои : 10.2307/3614533 . JSTOR 3614533 . S2CID 125364002 .

[lemanski-105] Лемански, Йенс (2016). «Средство или цель? Об оценке логических диаграмм» . Логико-философские исследования . 14 : 98–122.

[rodgers-106] Роджерс, Питер (июнь 2014 г.). «Обзор диаграмм Эйлера» (PDF) . Журнал визуальных языков и вычислений . 25 (3): 134–155. дои : 10.1016/j.jvlc.2013.08.006 . S2CID 2571971 . Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2021 года . Проверено 23 июля 2021 г.

[FOOTNOTECalinger1996144–145-107] Каллинджер 1996 , стр. 144–145.

[pesic-108] Перейти обратно: ^а ^б Пешич, Питер (2014). «Эйлер: математика музыкальной грусти; Эйлер: от звука к свету» . Музыка и создание современной науки . МТИ Пресс . стр. 133–160. ISBN 978-0-262-02727-4 . Архивировано из оригинала 10 июня 2021 года . Проверено 10 июня 2021 г.

[tegg-109] Тегг, Томас (1829). «Двоичные логарифмы» . Лондонская энциклопедия; или «Универсальный словарь науки, искусства, литературы и практической механики: включающий популярный взгляд на современное состояние знаний», Том 4 . стр. 142–143. Архивировано из оригинала 23 мая 2021 года . Проверено 13 июня 2021 г.

[FOOTNOTEEuler1739115-110] Эйлер 1739 , с. 115.

[emery-111] Эмери, Эрик (2000). Время и Музыка . Лозанна: эпоха человека. стр. 344–345.

[mattheson-112] Маттесон, Джон (1731). Большая общая басовая школа . Том I. Гамбург. стр. 104–106. ОСЛК 30006387 . Упоминается Эйлером. Так: Маттесон, Джон (1719). Образцовая репетиция органиста . Гамбург. стр. 57–59.

[perret-113] См.:
Перре, Уилфрид (1926). Некоторые вопросы музыкальной теории . Кембридж: В. Хеффер и сыновья. стр. 60–62. ОСЛК 3212114 .

«Что такое род Эйлера-Фоккера?» . Микротональность . Фонд Гюйгенса-Фоккера . Архивировано из оригинала 21 мая 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.

[114] Перре, Уилфрид (1926). Некоторые вопросы музыкальной теории . Кембридж: В. Хеффер и сыновья. стр. 60–62. ОСЛК 3212114 .

[115] «Что такое род Эйлера-Фоккера?» . Микротональность . Фонд Гюйгенса-Фоккера . Архивировано из оригинала 21 мая 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.

[FOOTNOTEEuler1739147-114] Эйлер 1739 , с. 147.

[de_harmoniae-115] Эйлер, Леонард (1774). «Об истинных принципах гармонии, представленных музыкальным зеркалом » . Новые комментарии Петрополитанской академии наук . 18 . Индекс Энестрема 457: 330–353 . Проверено 12 сентября 2022 г.

[gollin-116] Голлин, Эдвард (2009). Эйлера «Комбинаторные и трансформационные аспекты Speculum Musicum ». В Клуш, Т.; Нолл, Т. (ред.). Математика и вычисления в музыке: Первая международная конференция, MCM 2007, Берлин, Германия, 18–20 мая 2007 г., Пересмотренные избранные статьи . Коммуникации в компьютерной и информатике. Том. 37. Спрингер. стр. 406–411. дои : 10.1007/978-3-642-04579-0_40 .

[lindley-117] Линдли, Марк ; Тернер-Смит, Рональд (1993). Математические модели музыкальных гамм: новый подход . Бонн: Издательство систематического музыкознания. стр. 234–239. ISBN 9783922626664 . OCLC 27789639 . Смотрите также Нолан, Кэтрин (2002). «Теория музыки и математика». В Кристенсене, Т. (ред.). Кембриджская история теории западной музыки . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . стр. 278–279. ISBN 9781139053471 . OCLC 828741887 .

[bailhache-118] Байяш, Патрис (17 января 1997 г.). «Музыка в переводе на математику: Леонард Эйлер» . Коммуникация на конференции Центра Франсуа Вьета «Проблемы перевода в XVIII веке», Нант (на французском языке). Архивировано из оригинала 28 ноября 2015 года . Проверено 12 июня 2015 г.

[theology-119] Эйлер, Леонард (1747). Защита божественного откровения от возражений ( вольнодумцев на немецком языке). Индекс Энестрема 92. Берлин: Амброзиус Хауде и Иоганн Карл Шпенер. Архивировано из оригинала 12 июня 2021 года . Получено 12 июня 2021 г. - из Архива Эйлера.

[Ho2-120] Маркиз де Кондорсе (1805 г.). Сравнение с последним изданием писем Эйлера, опубликованным де Кондорсе, с оригинальным изданием: «Защита Откровения против возражений вольнодумцев» г-на Эйлера с последующими мыслями автора о религии, исключенными из последнего издания его писем принцессе Германии (PDF) . Перевод Хо, Энди. Архивировано (PDF) из оригинала 28 апреля 2015 г. Проверено 26 июля 2021 г.

[FOOTNOTECalinger1996123-121] Калинджер 1996 , с. 123.

[wolff-122] Каллинджер 1996 , стр. 153–154

[diderot-123] Перейти обратно: ^а ^б Видеть:
Браун, Б.Х. (май 1942 г.). «Анекдот Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 49 (5): 302–303. дои : 10.2307/2303096 . JSTOR 2303096 .

Жиллингс, Р.Дж. (февраль 1954 г.). «Так называемый инцидент Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 61 (2): 77–80. дои : 10.2307/2307789 . JSTOR 2307789 .

Струик, Дирк Дж. (1967). Краткая история математики (3-е исправленное изд.). Дуврские книги . п. 129 . ISBN 978-0-486-60255-4 .

[126] Браун, Б.Х. (май 1942 г.). «Анекдот Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 49 (5): 302–303. дои : 10.2307/2303096 . JSTOR 2303096 .

[127] Жиллингс, Р.Дж. (февраль 1954 г.). «Так называемый инцидент Эйлера-Дидро». Американский математический ежемесячник . 61 (2): 77–80. дои : 10.2307/2307789 . JSTOR 2307789 .

[128] Струик, Дирк Дж. (1967). Краткая история математики (3-е исправленное изд.). Дуврские книги . п. 129 . ISBN 978-0-486-60255-4 .

[persee-124] Марти, Жак (1988). «Некоторые аспекты творчества Дидро по общей математике » . Исследование Дидро и энциклопедии (на французском языке). 4 (1): 145–147. Архивировано из оригинала 24 сентября 2015 года . Проверено 20 апреля 2012 г.

[swiss6-125] «Швейцарский национальный банк (SNB) – Банкноты шестой серии (1976 г.)» . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 3 мая 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.

[swiss7-126] «Швейцарский национальный банк (SNB) – Банкноты седьмой серии (1984 г.)» . Швейцарский национальный банк . Архивировано из оригинала 23 апреля 2021 года . Проверено 15 июня 2021 г.

[aaas-127] «Э» (PDF) . Члены Американской академии искусств и наук, 1780–2017 гг . Американская академия искусств и наук . стр. 164–179. Архивировано (PDF) из оригинала 18 февраля 2019 года . Проверено 17 февраля 2019 г. Вступление к Эйлеру находится на стр. 177.

[schmadel-128] Шмадель, Лутц Д. , изд. (2007). «(2002) Эйлер». Словарь названий малых планет . Берлин , Гейдельберг : Издательство Springer . п. 162. дои : 10.1007/978-3-540-29925-7_2003 . ISBN 978-3-540-29925-7 .

[fraser-129] Фрейзер, Крейг Г. (11 февраля 2005 г.). Книга Леонарда Эйлера о вариационном исчислении 1744 года . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4 . В Grattan-Guinness 2005 , стр. 168–180.

[dartm2-130] Эйлер, Леонард (1744). широком . Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрических задач в самом смысле Лес Архивировано из оригинала 8 июня 2021 года . Проверено 8 июня 2021 г. - из архива Эйлера.

[reich-131] Райх, Карин (11 февраля 2005 г.). «Введение» в анализ . Эльзевир. ISBN 978-0-08-045744-4 . В Grattan-Guinness 2005 , стр. 181–190.

[ferraro-132] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Ферраро, Джованни (2007). «Трактаты Эйлера об анализе бесконечно малых: Введение в анализ бесконечно малых, институты дифференциального исчисления, институты интегрального исчисления ». В Бейкер, Роджер (ред.). Пересмотр Эйлера: Очерки трехсотлетия (PDF) . Хибер-Сити, Юта: Кендрик Пресс. стр. 39–101. МР 2384378 . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2022 года.

[revaninf-133] Обзоры введения в анализ бесконечного :
Эйтон, Э.Дж. «Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод Джона Д. Блэнтона. (Английский)». zbМАТ . Збл 0657.01013 .

Шиу, П. (декабрь 1990 г.). «Введение в анализ бесконечного (Книга II) Леонарда Эйлера (перевод Джона Д. Блэнтона)». Математический вестник . 74 (470): 392–393. дои : 10.2307/3618156 . JSTOR 3618156 .

Штефанеску, Дору. «Эйлер, Леонард. Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод с латыни и с введением Джона Д. Блэнтона». Математические обзоры . МР 1025504 .

[139] Эйтон, Э.Дж. «Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод Джона Д. Блэнтона. (Английский)». zbМАТ . Збл 0657.01013 .

[140] Шиу, П. (декабрь 1990 г.). «Введение в анализ бесконечного (Книга II) Леонарда Эйлера (перевод Джона Д. Блэнтона)». Математический вестник . 74 (470): 392–393. дои : 10.2307/3618156 . JSTOR 3618156 .

[141] Штефанеску, Дору. «Эйлер, Леонард. Введение в анализ бесконечного. Книга I. Перевод с латыни и с введением Джона Д. Блэнтона». Математические обзоры . МР 1025504 .

[demidov-134] Демидов, С.С. (2005). Трактат по дифференциальному исчислению . Эльзевир. ISBN 978-0080457444 . Архивировано из оригинала 18 июня 2021 года . Проверено 12 ноября 2015 г. В Grattan-Guinness 2005 , стр. 191–198.

[kleinert-135] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кляйнерт, Андреас (2015). «Леонарди Эйлери Opera omnia: Редактирование произведений и переписки Леонарда Эйлера» . Труды Комиссии ПАУ по истории науки . 14 . Ягеллонский университет : 13–35. дои : 10.4467/23921749pkhn_pau.16.002.5258 .

[fuss-136] Эйлер, Леонард ; Фусс, Никола Иванович ; Фусс, Пол (1862). Посмертные математические и физические труды, обнаруженные в 1844 году, были подарены Петрополитанской академии наук и опубликованы правнуками автора Паулюсом Хенрикусом Фуссом и Николаусом Фуссом . Императорская академия наук (Россия) . OCLC 9094558695 .

[FOOTNOTECalinger2016ix–x-137] Каллинджер 2016 , стр. ix–x.

[enestrom-138] «Индекс Энестрема» . Архив Эйлера . Архивировано из оригинала 9 августа 2021 года . Проверено 27 мая 2021 г.

[archive-start-139] Кнапп, Сьюзен (19 февраля 2007 г.). «Студенты Дартмута создают онлайн-архив исторического математика» . Вокс Дартмута . Дартмутский колледж . Архивировано из оригинала 28 мая 2010 года.

[archive-move-140] Клив, Доминик (июнь – июль 2011 г.). «Архив Эйлера переезжает на сайт МАА» . МАА ФОКУС . Математическая ассоциация Америки . Проверено 9 января 2020 г.

[euler_archive-141] «Архив Эйлера» . Тихоокеанский университет . Архивировано из оригинала 7 июня 2021 года.

[pluss-142] Перейти обратно: ^а ^б Плюсс, Матиас. «Гете-дер-Математика» . Швейцарский национальный научный фонд . Архивировано из оригинала 24 июня 2021 года . Проверено 16 июня 2021 г.

[new_look-143] Варадараджан, В.С. (2006). Эйлер сквозь время: новый взгляд на старые темы . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-3580-7 . OCLC 803144928 .

[144] Либри, Гульемо (январь 1846 г.). «Математическое и физическое соответствие некоторых знаменитых геометров восемнадцатого века...». Journal des Savants (на французском языке): 51. Архивировано из оригинала 9 августа 2018 года . Проверено 7 апреля 2014 г.

[а]

[б]

[6]

[7]

[8]

[с]

[9]

[д]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

[96]

[97]

[98]

[99]

[100]

[101]

[102]

Базы данных авторитетного контроля
International	FAST ISNI VIAF WorldCat
National	Norway Chile Spain France BnF data Catalonia Germany Italy Israel Belgium 2 United States Sweden Latvia Japan Czech Republic Australia Greece Korea 2 Croatia Netherlands Poland Portugal Vatican
Academics	CiNii DBLP MathSciNet Mathematics Genealogy Project zbMATH
People	Deutsche Biographie Trove
Other	Historical Dictionary of Switzerland RISM SNAC IdRef