Поле Леви-Чивита

В математике поле Леви-Чивита , названное в честь Туллио Леви-Чивита , – неархимедово упорядоченное поле ; т. е. система чисел, содержащая бесконечные и бесконечно малые величины. Обычно его обозначают ${\mathcal {R}}$.

Каждый участник $a$ можно построить как формальный ряд вида

$a=\sum _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q},$

где $\mathbb {Q}$ – набор рациональных чисел , коэффициенты $a_{q}$ являются действительными числами, а $\varepsilon$ следует интерпретировать как фиксированную положительную бесконечно малую величину. Мы требуем, чтобы для каждого рационального числа $r$, существует лишь конечное число $q\in \mathbb {Q}$ меньше, чем $r$ с $a_{q}\neq 0$; это ограничение необходимо для того, чтобы сделать умножение и деление четко определенными и уникальными. Два таких ряда считаются равными только в том случае, если все их коэффициенты равны. Порядок определяется в соответствии со словарным упорядочением списка коэффициентов, что эквивалентно предположению, что $\varepsilon$ является бесконечно малым.

Действительные числа встраиваются в это поле как ряды, в которых все коэффициенты равны нулю, кроме $a_{0}$.

Примеры

• $7\varepsilon$ бесконечно малая величина, превышающая $\varepsilon$, но меньше любого положительного действительного числа.
• $\varepsilon ^{2}$ меньше, чем $\varepsilon$, а также меньше, чем $r\varepsilon$ для любого положительного реального $r$.
• $1+\varepsilon$ бесконечно мало отличается от 1.
• $\varepsilon ^{1/2}$ больше, чем $\varepsilon$ и даже больше, чем $r\varepsilon$ для любого положительного реального $r$, но $\varepsilon ^{1/2}$ все еще меньше любого положительного действительного числа.
• $1/\varepsilon$ больше любого действительного числа.
• $1+\varepsilon +{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}+\cdots +{\frac {1}{n!}}\varepsilon ^{n}+\cdots$ интерпретируется как $e^{\varepsilon }$, который бесконечно мало отличается от 1.
• $1+\varepsilon +2\varepsilon ^{2}+\cdots +n!\varepsilon ^{n}+\cdots$ является допустимым членом поля, поскольку ряд должен быть построен формально, без учета сходимости .

полевых операций и

Если $a=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }a_{q}\varepsilon ^{q}$ и $b=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }b_{q}\varepsilon ^{q}$ две серии Леви-Чивита, то

• их сумма $a+b$ это поточечная сумма $a+b:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }(a_{q}+b_{q})\varepsilon ^{q}$.
• их продукт $ab$ это произведение Коши $ab:=\sum \limits _{q\in \mathbb {Q} }\left(\sum \limits _{r+s=q}a_{r}b_{s}\right)\varepsilon ^{q}$.

(Можно проверить это для каждого $q\in \mathbb {Q}$ набор $\{(r,s)\in \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} :\ r+s=q,\ a_{r}\neq 0,\ b_{s}\neq 0\}$ конечен, так что все произведения четко определены и полученный ряд определяет действительный ряд Леви-Чивита.)

• отношение $0<a$ имеет место, если $a\neq 0$ (т.е. хотя бы один коэффициент $a$ ненулевой) и наименьший ненулевой коэффициент $a$ является строго положительным.

Оснащенное этими операциями и порядком, поле Леви-Чивита действительно является упорядоченным продолжением поля. $\mathbb {R}$ где сериал $\varepsilon$ является положительной бесконечно малой величиной.

Свойства и приложения

Поле Леви-Чивита является вещественно-замкнутым , что означает, что оно может быть алгебраически замкнутым , присоединив мнимую единицу ( i ) или сделав коэффициенты комплексными . Он достаточно богат, чтобы позволить выполнить значительный объем анализа, но его элементы по-прежнему могут быть представлены на компьютере в том же смысле, в каком действительные числа могут быть представлены с использованием плавающей запятой . Это основа автоматического дифференцирования , способа выполнения дифференцирования в случаях, которые невозможно решить с помощью символического дифференцирования или методов конечных разностей.

Поле Леви-Чивита также является полным по Коши , что означает, что релятивизация $\forall \exists \forall$ определения последовательности Коши и сходящейся последовательности к последовательностям рядов Леви-Чивита, каждая последовательность Коши в поле сходится. Эквивалентно, у него нет правильного расширения плотного упорядоченного поля.

Как упорядоченное поле, оно имеет естественную оценку, задаваемую рациональным показателем, соответствующим первому ненулевому коэффициенту ряда Леви-Чивита. Кольцо нормирования представляет собой кольцо рядов, ограниченных действительными числами, поле вычетов $\mathbb {R}$, а группа значений $(\mathbb {Q} ,+)$. Результирующее значащее поле является гензелевым (действительно замкнутым с выпуклым кольцом нормирования), но не сферически полным . Действительно, поле рядов Хана с действительными коэффициентами и группой значений $(\mathbb {Q} ,+)$ является правильным непосредственным расширением, содержащим такие серии, как $1+\varepsilon ^{1/2}+\varepsilon ^{2/3}+\varepsilon ^{3/4}+\varepsilon ^{4/5}+\cdots$ которых нет в поле Леви-Чивита.

Отношения с другими упорядоченными полями

Поле Леви-Чивита является завершением Коши поля. $\mathbb {P}$ рядов Пюизо над полем действительных чисел, т. е. является плотным расширением $\mathbb {P}$ без должного плотного расширения. Вот список некоторых из его примечательных правильных подполей и правильных упорядоченных расширений полей:

Известные подполя

• Поле $\mathbb {R}$ действительных чисел.
• Поле $\mathbb {R} (\varepsilon )$ дробей действительных многочленов ( рациональных функций ) с бесконечно малыми положительными неопределенными $\varepsilon$.
• Поле $\mathbb {R} ((\varepsilon ))$ формального ряда Лорана по $\mathbb {R}$.
• Поле $\mathbb {P}$ серии Пюизо закончилась $\mathbb {R}$.

Известные расширения

• Поле $\mathbb {R} [[\varepsilon ^{\mathbb {Q} }]]$ рядов Хана с действительными коэффициентами и рациональными показателями.
• Поле $\mathbb {T} ^{LE}$ логарифмически -экспоненциальных трансрядов .
• Поле $\mathbf {No} (\varepsilon _{0})$ сюрреалистических чисел с датой рождения ниже первой $\varepsilon$-число $\varepsilon _{0}$.
• Поля гипердействительных чисел, построенные как ультрастепени $\mathbb {R}$ по модулю свободного ультрафильтра на $\mathbb {N}$ (хотя здесь вложения не каноничны).

Внешние ссылки

• Веб-калькулятор чисел Леви-Чивита.