переиграть

Эта статья о математике. Информацию о жилых комплексах см. в разделе « Переливная недвижимость» .

В нестандартном анализе , разделе математики , переполнение (называемое Голдблаттом (1998, стр. 129)) широко используемым методом доказательства. что множество стандартных натуральных чисел N не является внутренним подмножеством внутреннего множества * N сверхнатуральных Оно основано на том , чисел.

Применяя принцип индукции для стандартных целых чисел N и принцип переноса, мы получаем принцип внутренней индукции :

Для любого внутреннего подмножества A из * N , если

1. 1 является элементом A и
2. для каждого элемента из A n n + 1 также принадлежит A ,

затем

А = * Н

Если бы N было внутренним множеством, то при реализации принципа внутренней индукции с помощью N следовало бы N = * N , что, как известно, не так.

Принцип перелива имеет ряд полезных последствий:

• Набор стандартных гиперреалов не является внутренним.
• Множество ограниченных гиперреалий не является внутренним.
• Множество бесконечно малых гиперреальных не является внутренним.

В частности:

• Если внутреннее множество содержит все бесконечно малые неотрицательные гиперреальные, оно содержит положительную небесконечно малую (или значительную ) гиперреальную.
• Если внутренний набор содержит N, он содержит неограниченный (бесконечный) элемент * N .

Пример

Эти факты можно использовать для доказательства эквивалентности следующих двух условий для внутренней гипервещественнозначной функции ƒ, определенной на * R .

$\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+},\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+},|h|\leq \delta \implies |f(x+h)-f(x)|\leq \varepsilon$

и

$\forall h\cong 0,\ |f(x+h)-f(x)|\cong 0$

Доказательство того, что из второго факта следует первый, использует перелив, поскольку при не бесконечно малом положительном ε ,

$\forall {\mbox{ positive }}\delta \cong 0,\ (|h|\leq \delta \implies |f(x+h)-f(x)|<\varepsilon ).$

Применяя перелив, получаем заметное положительное δ с необходимыми свойствами.

Эти эквивалентные условия выражают свойство, известное в нестандартном анализе как S - непрерывность (или микронепрерывность ) ƒ в точке x . S-непрерывность называется внешним свойством. Первое определение является внешним, поскольку оно включает количественную оценку только стандартных значений. Второе определение является внешним, поскольку оно включает в себя внешнее отношение бесконечно малого.

Ссылки

• Роберт Голдблатт (1998). Лекции о гиперреальности. Введение в нестандартный анализ. Спрингер.