Аналитик

Чтобы узнать о других значениях, см. Аналитик (значения) .

«Аналитик» (с подзаголовком « Рассуждение, адресованное неверному математику: в котором исследуется, являются ли объект, принципы и выводы современного анализа более четко понятыми или более очевидными, чем религиозные тайны и точки веры» ) — это книга, написанная Джордж Беркли . Впервые оно было опубликовано в 1734 г. сначала Дж. Тонсоном (Лондон), затем С. Фуллером (Дублин). Считается, что «неверным математиком» был Эдмонд Галлей , хотя другие полагают, что речь шла о сэре Исааке Ньютоне .

Книга содержит прямую атаку на основы исчисления , особенно на идею Исаака Ньютона о флюксиях и на Лейбница идею о бесконечно малых изменениях.

Предыстория и цель

С самых первых дней своей писательской карьеры Беркли брал в руки сатирическое перо, чтобы атаковать тех, кого тогда называли « вольнодумцами » ( атеистов , скептиков , агностиков , атеистов и т. д. — короче говоря, всех, кто сомневался в истинах общепринятой христианской религии). или призывали к уменьшению присутствия религии в общественной жизни). В 1732 году, в рамках последней части этой работы, Беркли опубликовал свой «Альшифрон» — серию диалогов, адресованных различным типам «вольнодумцев». Одним из архетипов, к которым обращался Беркли, был светский ученый, который отверг христианские тайны как ненужные суеверия и заявил о своей уверенности в достоверности человеческого разума и науки. Вопреки своим аргументам Беркли тонко защищал обоснованность и полезность этих элементов христианской веры.

Альцифрон был широко прочитан и вызвал небольшой переполох. Но именно небрежный комментарий «вольнодумного» королевского астронома сэра Эдмунда Галлея , высмеивающий аргументы Беркли , побудил Беркли снова взяться за перо и попробовать новый подход. Результатом стал «Аналитик» , задуманный как сатира, нападающая на основы математики с той же энергией и стилем, с какой «вольнодумцы» обычно нападают на религиозные истины.

Беркли стремился разобрать тогдашние основы исчисления, претендовал на обнаружение многочисленных пробелов в доказательствах, критиковал использование бесконечно малых , диагональ единичного квадрата , само существование чисел и т. д. Общая цель заключалась не столько в том, чтобы поиздеваться над математикой. или математиков, а скорее для того, чтобы показать, что математики, как и христиане, полагались на непостижимые « тайны » в основе своих рассуждений. Более того, существование этих «суеверий» не было фатальным для математических рассуждений, а наоборот, помогало. То же самое можно сказать и о верующих христианах и их «тайнах». Беркли пришел к выводу, что достоверность математики не выше достоверности религии.

Содержание

«Аналитик» представлял собой прямую атаку на основы исчисления , особенно на ньютоновское понятие флюксий и на изменений Лейбница понятие бесконечно малых . В разделе 16 Беркли критикует

...ошибочный способ перейти к определенной точке на основании предположения о приращении, а затем сразу же сдвинуть ваше предположение к точке отсутствия приращения. . . Ведь если бы это второе Предположение было сделано до общего деления на о , все исчезло бы сразу, и Вы бы ничего не получили от своего Предположения. В то время как благодаря этой уловке сначала деления, а затем изменения вашего предположения, вы сохраняете 1 и nx ^n-1 . Но, несмотря на все эти попытки прикрыть это заблуждение, оно все равно остается тем же.

Этот отрывок часто цитируют, особенно когда он писал:

А что это за флюксии? Скорости мимолетных приращений? И что же это за мимолетные Приращения? Они не являются ни конечными Количествами, ни бесконечно малыми Количествами, но и не ничем. Не можем ли мы назвать их призраками ушедших величин?

Беркли не оспаривал результаты исчисления; он признал, что результаты были правдивыми. Суть его критики заключалась в том, что исчисление не является более логически строгим, чем религия. Вместо этого он задался вопросом, «подчиняются ли математики авторитету, принимают ли они вещи на веру». точно так же, как это сделали последователи религиозных догматов. По словам Бертона, Беркли представил гениальную теорию компенсации ошибок, которая должна была объяснить правильность результатов исчисления. Беркли утверждал, что практикующие исчисление допустили несколько ошибок, которые аннулировались, оставляя правильный ответ. По его собственным словам, «в силу двойной ошибки вы приходите хоть и не к науке, но к истине».

Анализ

Идея о том, что Ньютон был предполагаемым адресатом дискурса, подвергается сомнению отрывком, который появляется ближе к концу книги: «Вопрос 58: Действительно ли это результат мышления, что одни и те же люди восхищаются великим автором за его флюксии и высмеивают его за его религию?»

Здесь Беркли высмеивает тех, кто прославляет Ньютона (изобретателя «флюксий», примерно эквивалентных дифференциалам более поздних версий дифференциального исчисления) как гения, одновременно высмеивая его известную религиозность. Поскольку Беркли здесь явно обращает внимание на религиозную веру Ньютона, это, по-видимому, указывает на то, что он не имел в виду, что его читатели отождествляли «неверного (то есть неверующего) математика» с Ньютоном.

Историк математики Джудит Грабинер комментирует: «Критика Беркли строгости исчисления была остроумной, недоброй и - что касается математических практик, которые он критиковал - по существу правильной». Хотя его критика математических практик была обоснованной, его эссе подвергалось критике по логическим и философским причинам.

Например, Дэвид Шерри утверждает, что критика Беркли исчисления бесконечно малых состоит из логической критики и метафизической критики. Логическая критика - это ошибочное предположение , что означает получение очков в споре посредством одного предположения и, сохраняя эти моменты, завершение аргумента противоречивым предположением. Метафизическая критика бросает вызов самому существованию таких понятий, как флюксии, моменты и бесконечно малые, и коренится в эмпирической философии Беркли, которая не терпит никакого выражения без референта. Андерсен (2011) показал, что доктрина Беркли о компенсации ошибок содержит логическую замкнутость. А именно, Беркли полагается на определение Аполлонием тангенса параболы в собственном определении Беркли производной квадратичной функции.

Влияние

Через два года после этой публикации Томас Байес анонимно опубликовал «Введение в доктрину флюксий и защиту математиков против возражений автора аналитика» (1736 г.), в котором он защищал логическую основу исчисления Исаака Ньютона. против критики, изложенной в The Analyst . Колина Маклорена Двухтомный « Трактат о флюксиях» , опубликованный в 1742 году, также начался как ответ на нападки Беркли, призванный показать, что исчисление Ньютона было строгим, путем сведения его к методам греческой геометрии .

Несмотря на эти попытки, исчисление продолжало развиваться с использованием нестрогих методов примерно до 1830 года, когда Огюстен Коши , а позже Бернхард Риман и Карл Вейерштрасс , переопределили производную и интеграл , используя строгое определение понятия предела . Идея использования пределов в качестве основы для исчисления была предложена Даламбером , но определение Даламбера не было строгим по современным стандартам. Понятие пределов появилось еще в работах Ньютона. но не было сформулировано с достаточной ясностью, чтобы выдержать критику Беркли.

В 1966 году Абрахам Робинсон представил нестандартный анализ , который обеспечил строгую основу для работы с бесконечно малыми величинами. Это предоставило еще один способ поставить исчисление на математически строгую основу, как это было сделано до того, как (ε, δ)-определение предела было полностью разработано.

Призраки ушедших величин

Ближе к концу «Аналитика» Беркли обращается к возможным обоснованиям основ исчисления, которые могут выдвинуть математики. В ответ на эту идею потоки можно определить, используя предельные отношения исчезающих величин: Беркли писал:

Действительно, следует признать, что [Ньютон] использовал флюксии, как строительные леса, как вещи, которые нужно отложить или от которых нужно избавиться, как только были найдены конечные линии, пропорциональные им. Но тогда эти конечные показатели находятся с помощью флюксий. Следовательно, все, что получается с помощью таких показателей и пропорций, должно быть приписано флюксиям, которые, следовательно, необходимо предварительно понять. А что это за флюксии? Скорости мимолетных приращений? И что же это за мимолетные Приращения? Они не являются ни конечными Количествами, ни бесконечно малыми Количествами, но и не ничем. Не можем ли мы назвать их Призраками ушедших Количеств?

Эдвардс описывает это как самый запоминающийся момент книги. Кац и Шерри утверждают, что это выражение предназначалось как для бесконечно малых величин, так и для теории флюксий Ньютона.

Сегодня фраза «призраки ушедших величин» также используется при обсуждении нападок Беркли на другие возможные основы исчисления. В частности, оно используется при обсуждении бесконечно малых величин . но оно также используется при обсуждении дифференциалов , и адекватность .

Текст и комментарии

Полный текст The Analyst можно прочитать на Wikisource , а также на сайте Дэвида Р. Уилкинса. который включает некоторые комментарии и ссылки на ответы современников Беркли.

«Аналитик» также воспроизводится с комментариями в последних работах:

• Книга Уильяма Эвальда « От Канта до Гильберта: справочник по основам математики» .

Эвальд заключает, что возражения Беркли против исчисления того времени были в основном хорошо приняты в то время.

• Обзор Д. М. Джессефа в журнале «Веховые произведения по западной математике» 2005 г.

Источники

• Кирсти, Андерсен (2011), «Один из аргументов Беркли о компенсации ошибок в исчислении», Historia Mathematica , 38 (2): 219–318, doi : 10.1016/j.hm.2010.07.001
• Аркерид, Лейф (декабрь 2005 г.), «Нестандартный анализ», The American Mathematical Monthly , 112 (10): 926–928, doi : 10.2307/30037635 , JSTOR   30037635
• Блащик, Петр; Кац, Михаил ; Шерри, Дэвид (2012), «Десять заблуждений из истории анализа и их разоблачение», Foundations of Science , 18 : 43–74, arXiv : 1202.4153 , doi : 10.1007/s10699-012-9285-8 , S2CID   254508527
• Бойер, К ; Мерцбах, У (1991), История математики (2-е изд.)
• Бертон, Дэвид (1997), История математики: введение , McGraw-Hill
• Эдвардс, CH (1994), Историческое развитие исчисления , Springer
• Грабинер, Джудит (май 1997 г.), «Было ли исчисление Ньютона тупиком? Континентальное влияние трактата Маклорена о флюксиях» , The American Mathematical Monthly , 104 (5): 393–410, doi : 10.2307/2974733 , JSTOR   2974733
• Грабинер, Джудит В. (декабрь 2004 г.), «Ньютон, Маклорен и авторитет математики» , The American Mathematical Monthly , 111 (10): 841–852, doi : 10.2307/4145093 , JSTOR   4145093
• Кац, Михаил ; Шерри, Дэвид (2012), «Бесконечно малые Лейбница: их вымышленность, их современные реализации и их враги от Беркли до Рассела и за его пределами», Erkenntnis , 78 (3): 571–625, arXiv : 1205.0174 , doi : 10.1007/s10670- 012-9370-у , S2CID   254471766
• Кляйнер, И.; Мовшовиц-Хадар, Н. (декабрь 1994 г.), «Роль парадоксов в эволюции математики», The American Mathematical Monthly , 101 (10): 963–974, doi : 10.2307/2975163 , JSTOR   2975163
• Лидер, Соломон (май 1986 г.), «Что такое дифференциал? Новый ответ на основе обобщенного интеграла Римана», The American Mathematical Monthly , 93 (5): 348–356, doi : 10.2307/2323591 , JSTOR   2323591
• Пурсио, Брюс (2001), «Ньютон и понятие предела», Historia Math. , 28 (1): 393–30, doi : 10.1006/hmat.2000.2301
• Роберт, Ален (1988), Нестандартный анализ , Нью-Йорк: Wiley, ISBN.  978-0-471-91703-8
• Шерри, Д. (1987), «Следы аналитика Беркли: строгая математика ?», Исследования по исторической философии и науке , 18 (4): 455–480, doi : 10.1016/0039-3681(87)90003-3
• Рен, Флорида; Гарретт, Дж. А. (май 1933 г.), «Развитие фундаментальных концепций бесконечно малого анализа», The American Mathematical Monthly , 40 (5): 269–281, doi : 10.2307/2302202 , JSTOR   2302202

Внешние ссылки

• Работы, связанные с «Аналитик: беседа, адресованная неверному математику» в Wikisource