Гиперконечный набор

В нестандартном анализе , разделе математики , гиперконечное множество или *-конечное множество является типом внутреннего множества . Внутреннее множество H внутренней мощности g ∈ * N ( гипернатуральные числа ) является гиперконечным тогда и только тогда, когда существует внутренняя биекция между G = {1,2,3,..., g } и H . Гиперконечные множества разделяют свойства конечных множеств: гиперконечный набор имеет минимальные и максимальные элементы, и может быть получено гиперконечное объединение гиперконечного набора гиперконечных множеств. Сумма элементов любого гиперконечного подмножества * R всегда существует, что приводит к возможности четко определенного интегрирования .

Гиперконечные множества можно использовать для аппроксимации других множеств. Если гиперконечное множество аппроксимирует интервал, оно называется близким интервалом по отношению к этому интервалу. Рассмотрим гиперконечное множество $K={k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}$ со сверхъестественным n . K является близким интервалом для [ a , b ], если k ₁ = a и k _n = b , и если разница между последовательными элементами K бесконечно мала . Другими словами, требование состоит в том, чтобы для каждого ∈ [ a , b ] существовал такой ki _∈ , K что ki _≈ r r . Это, например, позволяет аппроксимировать единичную окружность , рассматриваемую как множество $e^{i\theta }$ для θ в интервале [0,2π].

В общем, подмножества гиперконечных множеств не являются гиперконечными, часто потому, что они не содержат крайних элементов родительского множества.

Сверхмощная конструкция

В терминах ультрастепенной конструкции гипердействительная прямая * R определяется как совокупность классов эквивалентности последовательностей $\langle u_{n},n=1,2,\ldots \rangle$ действительных un _. чисел А именно, класс эквивалентности определяет гиперреальность, обозначаемую $[u_{n}]$ в обозначениях Гольдблатта. Аналогично произвольное гиперконечное множество в * R имеет вид $[A_{n}]$и определяется последовательностью $\langle A_{n}\rangle$ конечных множеств $A_{n}\subseteq \mathbb {R} ,n=1,2,\ldots$

Внешние ссылки

• М. Инсол. «Гиперконечное множество» . Математический мир .