Гиперцелое число

В нестандартном анализе число гиперцелое n — это гипердействительное число , равное своей собственной целой части . Гиперцелое число может быть конечным или бесконечным. Конечное гиперцелое число — это обычное целое число . Примером бесконечного гиперцелого числа является класс последовательности ( 1, 2, 3, ...) в сверхстепенной конструкции гиперреальности.

Обсуждение

Стандартная функция целочисленной части :

$\lfloor x\rfloor$

определяется для всех действительных x и равно наибольшему целому числу, не превышающему x . Согласно принципу переноса нестандартного анализа существует естественное расширение:

${}^{*}\!\lfloor \,\cdot \,\rfloor$

определено для всех гипервещественных x , и мы говорим, что x является гиперцелым числом, если $x={}^{*}\!\lfloor x\rfloor .$ Таким образом, гиперцелые числа являются образом функции целочисленной части в гиперреальных числах.

Внутренние наборы

Набор $^{*}\mathbb {Z}$ всех гиперцелых чисел является внутренним подмножеством гипердействительной прямой $^{*}\mathbb {R}$. Множество всех конечных гиперцелых чисел (т.е. $\mathbb {Z}$ само по себе) не является внутренним подмножеством. Элементы дополнения $^{*}\mathbb {Z} \setminus \mathbb {Z}$ называются, в зависимости от автора, нестандартными , неограниченными или бесконечными гиперцелыми числами. Обратная величина бесконечного гиперцелого числа всегда является бесконечно малым .

Неотрицательные гиперцелые числа иногда называют сверхнатуральными числами. Аналогичные замечания относятся и к множествам $\mathbb {N}$ и $^{*}\mathbb {N}$. Заметим, что последняя дает нестандартную модель арифметики в смысле Скулема .

Ссылки

• Говард Джером Кейслер : Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Первое издание 1976 г.; 2-е издание 1986 г. Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил второе издание в формате .pdf, доступное для скачивания по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html.