Jump to content

Торальф Сколем

(Перенаправлено со Сколема )
Торальф Сколем
Рожденный ( 1887-05-23 ) 23 мая 1887 г.
Умер 23 марта 1963 г. ) ( 1963-03-23 ​​) ( 75 лет
Осло , Норвегия
Национальность норвежский
Альма-матер Университет Осло
Известный Теорема Скулема – Нётер
Теорема Левенхайма – Скулема
Научная карьера
Поля Математик
Учреждения Университет Осло
Хр. Институт Михельсена
Докторантура Аксель Туэ
Докторанты Эйстейнская руда

Торальф Альберт Скулем (англ. Норвежский: [ˈtûːrɑɫf ˈskûːlɛm] ; 23 мая 1887 — 23 марта 1963) — норвежский математик, работавший в области математической логики и теории множеств .

Жизнь [ править ]

Хотя отец Скулема был учителем начальной школы, большая часть его большой семьи была фермерами. Скулем посещал среднюю школу в Кристиании (позже переименованной в Осло ), сдав вступительные экзамены в университет в 1905 году. Затем он поступил в Det Kongelige Frederiks Universitet , чтобы изучать математику, а также посещал курсы по физике , химии , зоологии и ботанике .

В 1909 году он начал работать ассистентом физика Кристиана Биркеланда , известного бомбардировкой намагниченных сфер электронами и получением полярному сиянию эффектов, подобных ; таким образом, первыми публикациями Скулема были статьи по физике, написанные совместно с Биркеландом. В 1913 году Скулем с отличием сдал государственные экзамены и защитил диссертацию на тему « Исследования по алгебре логики» . Он также путешествовал с Биркеландом в Судан, чтобы наблюдать зодиакальный свет . Зимний семестр 1915 года он провел в Гёттингенском университете , в то время ведущем исследовательском центре в области математической логики , метаматематики и абстрактной алгебры — областей, в которых Скулем со временем преуспел. В 1916 году он был назначен научным сотрудником в Университете Дет Конгелиге Фредерикса. В 1918 году он стал доцентом математики и был избран членом Норвежской академии наук и литературы .

Скулем сначала официально не поступил на ученую степень доктора философии. кандидат, полагая, что доктор философии. в Норвегии не было необходимости. Позже он передумал и в 1926 году представил диссертацию под названием « Некоторые теоремы об интегральных решениях некоторых алгебраических уравнений и неравенств» . Его предполагаемым руководителем диссертации был Аксель Туэ , хотя Туэ умер в 1922 году.

В 1927 году он женился на Эдит Вильгельмине Хасволд.

Скулем продолжал преподавать в Det kongelige Frederiks Universitet (переименованном в Университет Осло в 1939 году) до 1930 года, когда он стал научным сотрудником в Chr. Институт Михельсена в Бергене . Этот старший пост позволил Скулему проводить исследования, не выполняя административных и преподавательских обязанностей. Однако эта должность также требовала, чтобы он проживал в Бергене , городе, в котором тогда не было университета и, следовательно, не было научной библиотеки, так что он не мог быть в курсе математической литературы. В 1938 году он вернулся в Осло, чтобы занять должность профессора математики в университете. Там он преподавал в аспирантуре курсы по алгебре и теории чисел и лишь изредка по математической логике. Доктор философии Скулема. Студент Ойстейн Оре продолжил карьеру в США.

Скулем был президентом Норвежского математического общества и в течение многих лет редактировал Norsk Matematisk Tidsskrift («Норвежский математический журнал»). Он также был редактором-основателем Mathematica Scandinavica .

После выхода на пенсию в 1957 году он совершил несколько поездок в Соединенные Штаты, выступая и преподавая там в университетах. Он оставался интеллектуально активным до своей внезапной и неожиданной смерти.

Подробнее об академической жизни Скулема см. Fenstad (1970).

Математика [ править ]

Скулем опубликовал около 180 статей по диофантовым уравнениям , теории групп , теории решеток и, прежде всего, теории множеств и математической логике . В основном он публиковался в норвежских журналах с ограниченным международным тиражом, так что его результаты время от времени переоткрывались другими. Примером может служить теорема Скулема–Нётер , характеризующая автоморфизмы простых алгебр. Скулем опубликовал доказательство в 1927 году, но Эмми Нётер несколько лет спустя независимо переоткрыла его.

Скулем был одним из первых, кто начал писать на решетках . В 1912 году он первым описал свободную дистрибутивную решетку, порожденную n элементами. В 1919 году он показал, что каждая импликативная решетка (теперь также называемая скулемской решеткой ) дистрибутивна и, как частичное обратное, что каждая конечная дистрибутивная решетка импликативна. После того, как эти результаты были заново открыты другими, Скулем опубликовал в 1936 году на немецком языке статью «Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'», в которой был сделан обзор его более ранних работ по теории решеток.

Скулем был пионером в области теории моделей . В 1920 году он значительно упростил доказательство теоремы Леопольда Левенхайма, впервые доказанной в 1915 году, в результате чего была сформулирована теорема Левенхайма-Скулема , которая утверждает, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет счетную модель. В его доказательстве 1920 года использовалась аксиома выбора , но позже (1922 и 1928) он дал доказательства, используя лемму Кенига вместо этой аксиомы. Примечательно, что Скулем, как и Левенхайм, писал о математической логике и теории множеств, используя обозначения своих коллег-новаторов-теоретиков моделей Чарльза Сандерса Пирса и Эрнста Шредера , включая Π, Σ как кванторы привязки переменных, в отличие от обозначений Пеано , Principia Mathematica и принципы математической логики . Сколем (1934) был пионером в построении нестандартных моделей арифметики и теории множеств.

Сколем (1922) уточнил аксиомы Цермело для теории множеств, заменив расплывчатое понятие Цермело «определенного» свойства любым свойством, которое может быть закодировано в логике первого порядка . Полученная аксиома теперь является частью стандартных аксиом теории множеств. Скулем также отметил, что следствием теоремы Левенхайма-Скулема является то, что сейчас известно как парадокс Скулема : если аксиомы Цермело непротиворечивы, то они должны быть выполнимы в счетной области, даже если они доказывают существование несчетных множеств.

Полнота [ править ]

Полнота является следствием результатов , логики первого порядка доказанных Сколемом в начале 1920-х годов и обсуждавшихся в Скулеме (1928), но он не смог отметить этот факт, возможно, потому, что математики и логики не осознали в полной мере полноту как фундаментальную метаматематическую теорию. » Гильберта и Аккермана в 1928 году Проблема была до тех пор, пока в первом издании «Принципов математической логики она не была четко сформулирована. В любом случае Курт Гёдель впервые доказал эту полноту в 1930 году.

Скулем не доверял завершенной бесконечности и был одним из основателей финитизма в математике. Сколем (1923) излагает свою примитивно-рекурсивную арифметику , очень ранний вклад в теорию вычислимых функций , как средство избежать так называемых парадоксов бесконечности. Здесь он разработал арифметику натуральных чисел, сначала определив объекты с помощью примитивной рекурсии , а затем разработав другую систему для доказательства свойств объектов, определенных первой системой. Эти две системы позволили ему определить простые числа и изложить значительную часть теории чисел. Если первую из этих систем можно рассматривать как язык программирования для определения объектов, а вторую — как логику программирования для доказательства свойств объектов, то Скулема можно рассматривать как невольного пионера теоретической информатики.

В 1929 году Пресбургер доказал, что арифметика Пеано без умножения непротиворечива , полна и разрешима . В следующем году Скулем доказал, что то же самое верно и для арифметики Пеано без сложения, системы, названной скулемской арифметикой в его честь . Знаменитый результат Гёделя 1931 года состоит в том, что сама арифметика Пеано (как со сложением, так и с умножением) неполна и, следовательно, апостериорно неразрешима.

Хао Ван похвалил работу Скулема следующим образом:

Скулем склонен рассматривать общие проблемы на конкретных примерах. Часто казалось, что он представляет доказательства в том же порядке, в котором он их обнаружил. Это приводит к новой неформальности, а также к определенной неубедительности. Многие из его статей кажутся отчетами о проделанной работе. Тем не менее, его идеи часто содержательны и потенциально способны к широкому применению. Он был во многом «свободным духом»: он не принадлежал ни к одной школе, не основал собственной школы, обычно не активно использовал известные результаты... он был во многом новатором и по большей части его статьи могут быть прочитаны и поняты людьми, не имеющими особых специальных знаний. Кажется вполне вероятным, что если бы он был сегодня молод, логика... не привлекла бы его. (Сколем 1970: 17-18)

Подробнее о достижениях Скулема см. Хао Ван (1970).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Первичный [ править ]

  • Сколем, Торальф (1934). «О нехарактеризуемости числового ряда посредством конечного или счетного числа утверждений с исключительно числовыми переменными» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 23 (1): 150–161. дои : 10.4064/fm-23-1-150-161 .
  • Сколем Т.А., 1970. Избранные работы по логике , Фенстад Дж.Э. , изд. Осло: Книги скандинавского университета. Содержит 22 статьи на немецком языке, 26 на английском, 2 на французском, 1 английский перевод статьи, первоначально опубликованной на норвежском языке, и полную библиографию.
  • Сколем, Торальф (23 апреля 2018 г.). Зак, Ричард (ред.). «Записки Скулема за 1920, 1923 годы» . richardzach.org . Проверено 4 января 2024 г.

в переводе английском Сочинения

  • Жан ван Хейеноорт , 1967. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Гарвардский университет. Нажимать.
    • 1920. «Логико-комбинаторные исследования выполнимости или доказуемости математических утверждений: упрощенное доказательство теоремы Левенхайма», 252–263.
    • 1922. «Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств», 290–301.
    • 1923. «Основы элементарной арифметики», 302–33.
    • 1928. «О математической логике», 508–524.

Вторичный [ править ]

  • Брэди, Джеральдин, 2000. От Пирса до Сколема . Северная Голландия.
  • Фенстад, Йенс Эрик, 1970, «Памяти Торальфа Альберта Сколема» в Сколеме (1970: 9–16).
  • Хао Ван, 1970, «Обзор работ Скулема в области логики» в Сколеме (1970: 17–52).

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e42c09e8a2acea6396f076b306513474__1718471820
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e4/74/e42c09e8a2acea6396f076b306513474.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Thoralf Skolem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)