Торальф Сколем

Торальф Сколем
Рожденный	( 1887-05-23 ) 23 мая 1887 г. Сандсвар , Норвегия
Умер	23 марта 1963 г. ( 1963-03-23 ​​) (75 лет) Осло , Норвегия
Национальность	Норвежский
Альма-матер	Университет Осло
Известный	Теорема Скулема – Нётер Теорема Левенхайма – Скулема
Научная карьера
Поля	Математик
Учреждения	Университет Осло Хр. Институт Михельсена
Докторантура	Аксель Туэ
Докторанты	Эйстейнская руда

Торальф Альберт Скулем (англ. Норвежский: [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm] ; 23 мая 1887 — 23 марта 1963) — норвежский математик, работавший в области математической логики и теории множеств .

Жизнь

Хотя отец Скулема был учителем начальной школы, большая часть его большой семьи была фермерами. Скулем посещал среднюю школу в Кристиании (позже переименованной в Осло ), сдав вступительные экзамены в университет в 1905 году. Затем он поступил в Det Kongelige Frederiks Universitet, чтобы изучать математику, а также посещал курсы физики , химии , зоологии и ботаники .

В 1909 году он начал работать ассистентом физика Кристиана Биркеланда , известного бомбардировкой намагниченных сфер электронами и получением полярному сиянию эффектов, подобных ; таким образом, первыми публикациями Скулема были статьи по физике, написанные совместно с Биркеландом. В 1913 году Скулем с отличием сдал государственные экзамены и защитил диссертацию на тему « Исследования по алгебре логики» . Он также путешествовал с Биркеландом в Судан, чтобы наблюдать зодиакальный свет . Зимний семестр 1915 года он провел в Геттингенском университете , в то время ведущем исследовательском центре в области математической логики , метаматематики и абстрактной алгебры — областей, в которых Скулем со временем преуспел. В 1916 году он был назначен научным сотрудником в Университете Дет Конгелиге Фредерикса. В 1918 году он стал доцентом математики и был избран членом Норвежской академии наук и литературы .

Скулем сначала официально не поступил на ученую степень доктора философии. кандидат, полагая, что доктор философии. в Норвегии не было необходимости. Позже он передумал и в 1926 году представил диссертацию под названием « Некоторые теоремы об интегральных решениях некоторых алгебраических уравнений и неравенств» . Его предполагаемым руководителем диссертации был Аксель Туэ , хотя Туэ умер в 1922 году.

В 1927 году он женился на Эдит Вильгельмине Хасволд.

Скулем продолжал преподавать в Det kongelige Frederiks Universitet (переименованном в Университет Осло в 1939 году) до 1930 года, когда он стал научным сотрудником в Chr. Институт Михельсена в Бергене . Этот старший пост позволил Скулему проводить исследования, не выполняя административных и преподавательских обязанностей. Однако эта должность также требовала, чтобы он проживал в Бергене , городе, в котором тогда не было университета и, следовательно, не было научной библиотеки, так что он не мог быть в курсе математической литературы. В 1938 году он вернулся в Осло, чтобы занять должность профессора математики в университете. Там он преподавал в аспирантуре курсы по алгебре и теории чисел и лишь изредка по математической логике. Доктор философии Скулема. Студент Ойстейн Оре продолжил карьеру в США.

Скулем был президентом Норвежского математического общества и в течение многих лет редактировал Norsk Matematisk Tidsskrift («Норвежский математический журнал»). Он также был редактором-основателем Mathematica Scandinavica .

После выхода на пенсию в 1957 году он совершил несколько поездок в Соединенные Штаты, выступая и преподавая там в университетах. Он оставался интеллектуально активным до своей внезапной и неожиданной смерти.

Подробнее об академической жизни Скулема см. Fenstad (1970).

Математика

Скулем опубликовал около 180 статей по диофантовым уравнениям , теории групп , теории решеток и, прежде всего, теории множеств и математической логике . В основном он публиковался в норвежских журналах с ограниченным международным тиражом, поэтому его результаты время от времени переоткрывались другими. Примером может служить теорема Скулема–Нётер , характеризующая автоморфизмы простых алгебр. Скулем опубликовал доказательство в 1927 году, но Эмми Нётер несколько лет спустя независимо переоткрыла его.

Скулем был одним из первых, кто начал писать на решетках . В 1912 году он первым описал свободную дистрибутивную решетку, порожденную n элементами. В 1919 году он показал, что каждая импликативная решетка (теперь также называемая скулемовской решеткой ) дистрибутивна и, как частичное обратное, что каждая конечная дистрибутивная решетка импликативна. После того, как эти результаты были заново открыты другими, Скулем опубликовал в 1936 году на немецком языке статью «Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'», в которой был сделан обзор его более ранних работ по теории решеток.

Скулем был пионером в области теории моделей . В 1920 году он значительно упростил доказательство теоремы Леопольда Левенхайма, впервые доказанной в 1915 году, в результате чего была получена теорема Левенхайма-Скулема , которая утверждает, что если счетная теория первого порядка имеет бесконечную модель, то она имеет счетную модель. В его доказательстве 1920 года использовалась аксиома выбора , но позже (1922 и 1928) он дал доказательства, используя лемму Кенига вместо этой аксиомы. Примечательно, что Скулем, как и Левенхайм, писал о математической логике и теории множеств, используя обозначения своих коллег-новаторов-теоретиков моделей Чарльза Сандерса Пирса и Эрнста Шредера , включая Π, Σ как кванторы привязки переменных, в отличие от обозначений Пеано , Principia Mathematica и принципы математической логики . Сколем (1934) был пионером в построении нестандартных моделей арифметики и теории множеств.

Сколем (1922) уточнил аксиомы Цермело для теории множеств, заменив расплывчатое понятие Цермело «определенного» свойства любым свойством, которое может быть закодировано в логике первого порядка . Полученная аксиома теперь является частью стандартных аксиом теории множеств. Скулем также отметил, что следствием теоремы Левенхайма-Скулема является то, что сейчас известно как парадокс Скулема : если аксиомы Цермело непротиворечивы, то они должны быть выполнимы в счетной области, даже если они доказывают существование несчетных множеств.

Полнота

Полнота является следствием результатов , логики первого порядка доказанных Сколемом в начале 1920-х годов и обсуждавшихся в Скулеме (1928), но он не обратил внимания на этот факт, возможно, потому, что математики и логики не осознали в полной мере полноту как фундаментальную метаматематическую теорию. Гильберта и Аккермана в 1928 году Проблема была до тех пор, пока в первом издании «Принципов математической логики» она не была четко сформулирована. В любом случае Курт Гёдель впервые доказал эту полноту в 1930 году.

Скулем не доверял завершенной бесконечности и был одним из основателей финитизма в математике. Сколем (1923) излагает свою примитивно-рекурсивную арифметику , очень ранний вклад в теорию вычислимых функций , как средство избежать так называемых парадоксов бесконечности. Здесь он разработал арифметику натуральных чисел, сначала определив объекты с помощью примитивной рекурсии , а затем разработав другую систему для доказательства свойств объектов, определенных первой системой. Эти две системы позволили ему определить простые числа и изложить значительную часть теории чисел. Если первую из этих систем можно рассматривать как язык программирования для определения объектов, а вторую — как логику программирования для доказательства свойств объектов, то Скулема можно рассматривать как невольного пионера теоретической информатики.

В 1929 году Пресбургер доказал, что арифметика Пеано без умножения непротиворечива , полна и разрешима . В следующем году Скулем доказал, что то же самое верно и для арифметики Пеано без сложения, системы, названной в его честь скулемской арифметикой . Знаменитый результат Гёделя 1931 года заключается в том, что сама арифметика Пеано (как со сложением, так и с умножением) неполна и, следовательно, апостериорно неразрешима.

Хао Ван похвалил работу Скулема следующим образом:

Скулем склонен рассматривать общие проблемы на конкретных примерах. Часто казалось, что он представляет доказательства в том же порядке, в котором он их обнаружил. Это приводит к новой неформальности, а также к определенной неубедительности. Многие из его статей кажутся отчетами о проделанной работе. Тем не менее, его идеи часто содержательны и потенциально способны к широкому применению. Он был во многом «свободным духом»: он не принадлежал ни к какой школе, не основал собственной школы, обычно не активно использовал известные результаты... он был во многом новатором и по большей части его статьи могут быть прочитаны и поняты людьми, не имеющими особых специальных знаний. Кажется вполне вероятным, что если бы он был сегодня молод, логика... не привлекла бы его. (Сколем 1970: 17-18)

Подробнее о достижениях Скулема см. Хао Ван (1970).

См. также

• Леопольд Левенхайм
• Теория моделей
• Скулемская арифметика
• Шолем нормальная форма
• Парадокс Скулема
• Школьная проблема
• Шолемская последовательность
• Теорема Скулема–Малера–Леха

Ссылки

Первичный

• Сколем, Торальф (1934). «О нехарактеризуемости числового ряда посредством конечного или счетно-бесконечного числа утверждений с исключительно числовыми переменными» (PDF) . Fundamenta Mathematicae (на немецком языке). 23 (1): 150–161. дои : 10.4064/fm-23-1-150-161 .
• Сколем Т.А., 1970. Избранные работы по логике , Фенстад Дж.Э. , изд. Осло: Книги скандинавского университета. Содержит 22 статьи на немецком языке, 26 на английском, 2 на французском, 1 английский перевод статьи, первоначально опубликованной на норвежском языке, и полную библиографию.
• Сколем, Торальф (23 апреля 2018 г.). Зак, Ричард (ред.). «Записки Скулема за 1920, 1923 годы» . richardzach.org . Проверено 4 января 2024 г.

английском

• Жан ван Хейеноорт , 1967. От Фреге до Гёделя: справочник по математической логике, 1879–1931 . Гарвардский университет. Нажимать.
  • 1920. «Логико-комбинаторные исследования выполнимости или доказуемости математических утверждений: упрощенное доказательство теоремы Левенхайма», 252–263.
  • 1922. «Некоторые замечания по аксиоматизированной теории множеств», 290–301.
  • 1923. «Основы элементарной арифметики», 302–33.
  • 1928. «О математической логике», 508–524.

Вторичный

• Брэди, Джеральдин, 2000. От Пирса до Сколема . Северная Голландия.
• Фенстад, Йенс Эрик, 1970, «Памяти Торальфа Альберта Сколема» в Сколеме (1970: 9–16).
• Хао Ван, 1970, «Обзор работ Скулема в области логики» в Сколеме (1970: 17–52).

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Торальф Скулем» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Торальф Скулем в проекте «Математическая генеалогия»
• Фенстад, Йенс Эрик, 1996, « Торальф Альберт Скулем 1887–1963: биографический очерк », Nordic Journal of Philosophical Logic 1 : 99–106.