Биоктонион

В математике биоктонион p или комплексный октонион представляет собой пару ( ,q ), где p и q — бикватернионы .

Произведение двух биоктонионов определяется с помощью умножения бикватернионов и бисопряжения p → p*:

(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,\ sp+qr^{*}).

Биоктонион z = ( p,q ) имеет сопряженный z * = ( p *, – q ).

Тогда норма N ( z ) биоктониона z равна zz * = pp * + qq *, что представляет собой комплексную квадратичную форму с восемью членами.

Алгебра биоктонионов иногда вводится как просто комплексификация действительных октонионов , но в абстрактной алгебре это результат конструкции Кэли-Диксона , которая начинается с поля комплексных чисел , тривиальной инволюции и квадратичной формы z. ². Алгебра биооктонионов является примером алгебры октонионов .

Для любой пары y и z биоктонионов

N(yz)=N(y)N(z),

показывая, что N является квадратичной формой, допускающей композицию, и, следовательно, биоктонионы образуют композиционную алгебру .

Гай Роос объяснил, как биоктонионы используются для представления исключительных симметричных доменов: ^[1]

Явное описание исключительных областей... включает матрицы 3х3 с элементами алгебры Кэли-Грейвса OC _{комплексных} октонионов... Пространство $H_{3}(O_{C})$ таких матриц, эрмитовых относительно сопряжения Кэли, можно придать структуру йордановой алгебры с помощью произведения, естественным образом обобщающего симметризованное произведение $x\circ y={\tfrac {1}{2}}(xy+yx)$ обычных квадратных матриц . Эта алгебра известна как алгебра Альберта или исключительная йорданова алгебра . Это естественное место для описания исключительной симметричной области размерности 27. Вторая исключительная симметричная область (комплексной размерности 16) находится в пространстве $M_{2,1}(O_{C})$ матриц 2x1 с записями октонионов.

Сложные октонионы использовались для описания поколений кварков и лептонов . ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Гай Роос (2005) «Исключительные симметричные области», страница 158 в журнале «Симметрии в комплексном анализе» , редакторы Брюс Гиллиган и Гай Дж. Роос, Contemporary Mathematics # 468, Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4459-5
^ К. Фьюри (2016) Физика стандартной модели из алгебры?

Дж. Д. Эдмондс (1978) Девять векторов, комплексные гиперкомплексные числа октонионов/кватернионов, группы Ли и «реальный» мир , Основы физики 8 (3-4): 303–11, doi : 10.1007/BF00715215, ссылка из PhilPapers .
Дж. Кеплингер и В. Джунушалиев (2008) «Неассоциативное разложение оператора углового момента с использованием сложных октонионов» , выступление на заседании Американского физического общества.
Д. Г. Кабе (1984) «Гиперкомплексное многомерное нормальное распределение», Метрика 31 (2): 63–76 MR. 744966
А. А. Элиович, В. И. Санюк (2010) «Полинормы», Теоретическая и математическая физика 162(2) 135−48 МР 2681963

[1] Гай Роос (2005) «Исключительные симметричные области», страница 158 в журнале «Симметрии в комплексном анализе» , редакторы Брюс Гиллиган и Гай Дж. Роос, Contemporary Mathematics # 468, Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4459-5

[2] К. Фьюри (2016) Физика стандартной модели из алгебры?

[1]

[2]

v т и счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональные числа ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Другие типы	Кардинальные числа Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические цифры Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Сверхъестественные числа Проконечные целые числа Сверхдействительные числа Нормальные числа
Классификация Список