Определяемое действительное число

Неформально определяемое действительное число — это действительное число , которое можно однозначно указать с помощью его описания. Описание может быть выражено в виде конструкции или формулы формального языка . Например, положительный квадратный корень из 2, ${\sqrt {2}}$ , можно определить как единственное положительное решение уравнения $x^{2}=2$ , и его можно построить с помощью циркуля и линейки.

Разный выбор формального языка или его интерпретации порождает разные представления об определимости. Конкретные разновидности определимых чисел включают конструктивные числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа . Поскольку в формальных языках может быть только счетное количество формул, каждое понятие определимых чисел имеет не более счетного числа определимых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора , действительных чисел неисчислимо много, поэтому почти каждое действительное число невозможно определить.

Конструируемые числа [ править ]

Один из способов задания действительного числа использует геометрические методы. Настоящее число $r$ является конструктивным числом, если существует метод построения отрезка длины $r$ с помощью циркуля и линейки, начиная с фиксированного отрезка длиной 1.

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число конструктивно. Положительный квадратный корень из 2 является конструктивным. Однако кубический корень из 2 невозможно построить; это связано с невозможностью удвоить куб .

Действительные алгебраические числа [ править ]

Алгебраические числа на комплексной плоскости , раскрашенные по степени (красный=1, зеленый=2, синий=3, желтый=4)

Настоящее число $r$ называется вещественным алгебраическим числом, если существует многочлен $p(x)$ , только с целыми коэффициентами, так что $r$ является корнем $p$ , то есть, $p(r)=0$ . Каждое действительное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка действительных чисел. Например, если полином $q(x)$ имеет 5 вещественных корней, третий можно определить как единственный $r$ такой, что $q(r)=0$ и такие, что существуют два различных числа, меньших $r$ на котором $q$ равен нулю.

Все рациональные числа конструктивны, а все конструктивные числа алгебраичны. Существуют числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но неконструируемыми.

Действительные алгебраические числа образуют подполе действительных чисел. Это означает, что 0 и 1 — алгебраические числа и, более того, если $a$ и $b$ являются алгебраическими числами, то также $a+b$ , $a-b$ , $ab$ и если $b$ ненулевое значение, $a/b$ .

Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки подполя действительных чисел: для каждого положительного целого числа $n$ и каждое действительное алгебраическое число $a$ , Все $n$ корни $a$ которые являются действительными числами, также являются алгебраическими.

Алгебраических чисел только счетно , но действительных чисел несчетно, поэтому с точки зрения мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того, что не все действительные числа являются алгебраическими, было впервые опубликовано Георг Кантор в своей статье 1874 года « О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».

Неалгебраические числа называются трансцендентными числами . Наиболее известные трансцендентные числа — это $π$ и $e$ .

Вычислимые действительные числа [ править ]

Действительное число является вычислимым, если существует алгоритм, который по натуральному числу $n$ , производит десятичное разложение числа с точностью до $n$ десятичные знаки. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году. ^[1]

К вычислимым числам относятся алгебраические числа, а также многие трансцендентные числа, включая $\pi$ и $e$ . Подобно алгебраическим числам, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты при принятии $n$ корни для каждого положительного $n$ .

Не все действительные числа вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Спекера и алгоритмически случайные действительные числа , такие как числа Ω Чейтина .

Определимость в арифметике [ править ]

Другое понятие определимости исходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано . В языке арифметики имеются символы для 0, 1, последующих операций, сложения и умножения, предназначенные для обычной интерпретации натуральных чисел . Поскольку никакие переменные в этом языке не выходят за пределы действительных чисел , для ссылки на действительные числа требуется другой тип определимости. Настоящее число $a$ определимо на языке арифметики (или арифметического языка ), если его дедекиндовое сечение может быть определено как предикат на этом языке; то есть, если существует формула первого порядка $\varphi$ на языке арифметики с тремя свободными переменными, такими что

\forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).

Здесь m , n и p варьируются в пределах неотрицательных целых чисел.

Язык арифметики второго порядка аналогичен языку первого порядка, за исключением того, что переменным и кванторам разрешено варьироваться в пределах множества натуральных чисел. Вещество, определяемое вторым порядком на языке арифметики, называется аналитическим .

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, и арифметические числа образуют подполе действительных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное число аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими и, следовательно, не являются арифметическими.

Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число вычислимо. Например, пределом последовательности Спекера является невычислимое арифметическое число.

Определения арифметических и аналитических чисел можно разделить на арифметическую иерархию и аналитическую иерархию . В общем, вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его дедекиндово сечение находится на уровне $\Delta _{1}^{0}$ арифметической иерархии, один из низших уровней. Точно так же действительные числа с арифметическими сокращениями Дедекинда образуют самый нижний уровень аналитической иерархии.

Определяемость в моделях ZFC [ править ]

Настоящее число $a$ определимо первого порядка на языке теории множеств без параметров , если существует формула $\varphi$ на языке теории множеств , с одной свободной переменной , такой, что $a$ уникальное действительное число такое, что $\varphi (a)$ держит. ^[2] Это понятие не может быть выражено формулой на языке теории множеств.

Все аналитические числа, и в частности все вычислимые числа, определимы на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определяемые на языке теории множеств, включают все знакомые действительные числа, такие как 0 , 1 , $\pi$ , $e$ и т. д., а также все алгебраические числа. Предполагая, что они образуют набор в модели, действительные числа, определяемые на языке теории множеств для конкретной модели ZFC, образуют поле.

Каждая модель набора $M$ теории множеств ZFC, содержащая бесчисленное множество действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не определимы внутри $M$ (без параметров). Это следует из того, что существует только счетное число формул, а значит, только счетное число элементов. $M$ может быть определен через $M$ . Таким образом, если $M$ имеет бесчисленное множество действительных чисел, это можно доказать «извне» $M$ что не каждое действительное число $M$ определимо через $M$ .

Этот аргумент становится более проблематичным, если его применить к моделям классов ZFC, таким как Вселенная фон Неймана . Утверждение «действительное число $x$ определяется в класса модели $N$ "не может быть выражено формулой ZFC. ^[3]^[4]Точно так же вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен в виде предложения на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа, все множества действительных чисел, функции над действительными числами и т. д. определимы. ^[3]^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Тьюринг, AM (1937), «О вычислимых числах с применением к проблеме Entscheidungs» , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 42 (1): 230–65, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 , S2CID 73712
^ Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, стр. 153, ISBN 978-0-444-85401-8
^ Перейти обратно: ^а ^б Хэмкинс, Джоэл Дэвид ; Линецкий, Дэвид; Рейтц, Йонас (2013), «Поточечно определяемые модели теории множеств», Журнал символической логики , 78 (1): 139–156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178/jsl.7801090 , S2CID 43689192
^ Перейти обратно: ^а ^б Цирельсон, Борис (2020), «Может ли каждое число быть задано конечным текстом?», WikiJournal of Science , vol. 3, нет. 1, с. 8, arXiv : 1909.11149 , doi : 10.15347/WJS/2020.008 , S2CID 202749952

[turing-1] Тьюринг, AM (1937), «О вычислимых числах с применением к проблеме Entscheidungs» , Proceedings of the London Mathematical Society , 2, 42 (1): 230–65, doi : 10.1112/plms/s2-42.1.230 , S2CID 73712

[kunen-2] Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, стр. 153, ISBN 978-0-444-85401-8

[hlr-3] Перейти обратно: ^а ^б Хэмкинс, Джоэл Дэвид ; Линецкий, Дэвид; Рейтц, Йонас (2013), «Поточечно определяемые модели теории множеств», Журнал символической логики , 78 (1): 139–156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178/jsl.7801090 , S2CID 43689192

[tsirelson-4] Перейти обратно: ^а ^б Цирельсон, Борис (2020), «Может ли каждое число быть задано конечным текстом?», WikiJournal of Science , vol. 3, нет. 1, с. 8, arXiv : 1909.11149 , doi : 10.15347/WJS/2020.008 , S2CID 202749952

[1]

[2]

[3]

[4]

v т Это счисления Системы
Наборы определимых чисел	Натуральные числа ( $\mathbb {N}$ ) Целые числа ( $\mathbb {Z}$ ) Рациональное число ( $\mathbb {Q}$ ) Конструируемые числа Алгебраические числа ( $\mathbb {A}$ ) Числа закрытой формы Периоды Вычислимые числа Арифметические числа Теоретико-множественные определяемые числа Гауссовы целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : Действительные числа ( $\mathbb {R}$ ) Комплексные числа ( $\mathbb {C}$ ) Кватернионы ( $\mathbb {H}$ ) Октонионы ( $\mathbb {O}$ )
Расколоть типы	Над $\mathbb {R}$ : Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы Над $\mathbb {C}$ : Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( $\mathbb {S}$ ) Сплит-бикватернионы Мультикомплексные числа Геометрическая алгебра / алгебра Клиффорда Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени Геометрическая алгебра на основе плоскостей
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические цифры Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа ( p -адические соленоиды ) Сверхъестественные числа Проконечные целые числа Сверхдействительные числа Нормальные числа
Классификация Список