Алгебраическое число
Алгебраическое число — это число, которое является корнем ненулевого многочлена от одной переменной с целыми (или, что то же самое, рациональными ) коэффициентами. Например, золотое сечение , , является алгебраическим числом, поскольку оно является корнем многочлена x 2 - Икс - 1 . То есть это значение x, для которого полином равен нулю. Другой пример: комплексное число является алгебраическим, поскольку является корнем x 4 + 4 .
Все целые и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел . Действительные и комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, такие как π и e , называются трансцендентными числами .
Множество алгебраических чисел счетно бесконечно и имеет нулевую меру по мере Лебега как подмножество несчетных комплексных чисел. В этом смысле почти все комплексные числа трансцендентны .
Примеры [ править ]
- Все рациональные числа алгебраические. Любое рациональное число, выраженное как частное целого числа a и (ненулевого) натурального числа b , удовлетворяет приведенному выше определению, поскольку x = a / b является корнем ненулевого многочлена, а именно bx − a . [1]
- Квадратичные иррациональные числа , иррациональные решения квадратичного многочлена ax 2 + bx + c с целыми коэффициентами a , b и c — алгебраические числа. Если квадратичный многочлен является моническим ( a = 1 ), корни далее квалифицируются как квадратичные целые числа .
- Гауссовы целые числа , комплексные числа a + bi , для которых a и b являются целыми числами, также являются квадратичными целыми числами. Это потому, что a + bi и a − bi — два корня квадратного x 2 − 2 топор + а 2 + б 2 .
- Конструктивное число можно составить из заданной единичной длины с помощью линейки и циркуля. Он включает в себя все квадратичные иррациональные корни, все рациональные числа и все числа, которые можно образовать из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (Обозначая стороны света для +1, −1, + i и − i , комплексные числа, такие как считаются конструктивными.)
- Любое выражение, составленное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основных арифметических операций и извлечения n-й корней степени , дает другое алгебраическое число.
- Полиномиальные корни, которые невозможно выразить с помощью основных арифметических операций и извлечения корней n-й степени (например, корней x 5 - Икс + 1 ). Это происходит со многими, но не со всеми полиномами степени 5 и выше.
- Значения тригонометрических функций рациональных кратных π (кроме случаев, когда они не определены): например, cos π / 7 , потому что 3 π / 7 и соз 5 π / 7 удовлетворяют 8 x 3 − 4x 2 - 4 Икс + 1 знак равно 0 . Этот многочлен неприводим к рациональным числам, поэтому три косинуса являются сопряженными алгебраическими числами. Аналогично, загар 3π / 16 , коричневый 7π / 16 , коричневый 11 π / 16 и коричневый 15 π / 16 удовлетворяют неприводимому многочлену x 4 − 4x 3 − 6x 2 + 4 x + 1 = 0 , а также сопряженные алгебраические целые числа . Это эквивалент углов, которые, измеряемые в градусах, имеют рациональные числа. [2]
- Некоторые, но не все иррациональные числа являются алгебраическими:
- Цифры и являются алгебраическими, поскольку являются корнями многочленов x 2 − 2 и 8 х 3 − 3 соответственно.
- Золотое сечение φ является алгебраическим, поскольку оно является корнем многочлена x 2 - Икс - 1 .
- Числа π и e не являются алгебраическими числами (см. теорему Линдеманна–Вейерштрасса ). [3]
Свойства [ править ]
- Если многочлен с рациональными коэффициентами умножить на наименьший общий знаменатель , то полученный многочлен с целыми коэффициентами будет иметь одинаковые корни. Это показывает, что алгебраическое число можно эквивалентным образом определить как корень многочлена с целыми или рациональными коэффициентами.
- Учитывая алгебраическое число, существует уникальный монический многочлен с рациональными коэффициентами наименьшей степени , имеющий корень этого числа. Этот многочлен называется его минимальным многочленом . Если его минимальный многочлен имеет степень n , то говорят, что алгебраическое число имеет степень n . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным .
- Алгебраические числа плотны в действительных числах . Это следует из того, что они содержат рациональные числа, плотные в самих действительных числах.
- Множество алгебраических чисел счетно (перечислимо), [4] [5] и, следовательно, его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по сути, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). То есть «почти все» действительные и комплексные числа трансцендентны.
- Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны .
- Для действительных чисел a и b комплексное число a + bi является алгебраическим тогда и только тогда, когда оба a и b являются алгебраическими. [6]
Поле [ править ]
Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель ненулевой) двух алгебраических чисел снова является алгебраическим, что можно продемонстрировать с помощью результирующего , и таким образом алгебраические числа образуют поле [7] (иногда обозначается , но обычно это обозначает кольцо адели ). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициентами которого являются алгебраические числа, снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, и поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел.
Связанные поля [ изменить ]
Числа, определяемые радикалами [ править ]
Любое число, которое можно получить из целых чисел с помощью конечного числа сложений , вычитаний , умножений , делений и извлечения (возможно, комплексных) n-й корней степени, где n — положительное целое число, является алгебраическим. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые невозможно получить таким способом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. Уравнения Квинтика и теорему Абеля – Руффини ). Например, уравнение:
имеет единственный вещественный корень, который нельзя выразить только через радикалы и арифметические операции.
Номер закрытой формы [ править ]
Алгебраические числа — это все числа, которые можно явно или неявно определить с помощью многочленов, начиная с рациональных чисел. Это можно обобщить на « числа замкнутой формы », которые можно определить различными способами. В более широком смысле все числа, которые могут быть определены явно или неявно с помощью полиномов, экспонент и логарифмов, называются « элементарными числами », и к ним относятся алгебраические числа, а также некоторые трансцендентные числа. В более узком смысле можно рассматривать числа, явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов – сюда не входят все алгебраические числа, но входят некоторые простые трансцендентные числа, такие как e или ln 2 .
Алгебраические целые числа [ править ]
Целое алгебраическое число — это алгебраическое число, которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 ( монический многочлен ). Примеры алгебраических целых чисел: и Следовательно, целые алгебраические числа составляют собственное надмножество целых чисел , поскольку последние являются корнями монических многочленов x − k для всех . В этом смысле целые алгебраические числа относятся к алгебраическим числам так же, как целые числа относятся к рациональным числам .
Сумма, разность и произведение целых алгебраических чисел снова являются целыми алгебраическими числами, а это означает, что целые алгебраические числа образуют кольцо . Название «алгебраическое целое число» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются алгебраическими целыми числами, являются целые числа, а также потому, что целые алгебраические числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если K — числовое поле, его кольцо целых чисел является подкольцом целых алгебраических чисел в K и часто обозначается OK . как Это прототипные примеры доменов Дедекинда .
Специальные классы [ править ]
- Алгебраическое решение
- Гауссово целое число
- целое число Эйзенштейна
- Квадратичное иррациональное число
- Основная единица
- Корень единства
- Гауссов период
- Число Писо – Виджаярагавана
- Салемский номер
Примечания [ править ]
- ^ Некоторые из следующих примеров взяты из работы Hardy & Wright (1972 , стр. 159–160, 178–179).
- ^ Гарибальди 2008 .
- ↑ Кроме того, теорему Лиувилля можно использовать для «приведения любого количества примеров трансцендентных чисел», ср. Харди и Райт (1972 , стр. 161 и далее)
- ^ Харди и Райт 1972 , с. 160, 2008:205.
- ^ Нивен 1956 , Теорема 7.5..
- ^ Нивен 1956 , Следствие 7.3..
- ^ Уровень 1956 , с. 92.
Ссылки [ править ]
- Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл, ISBN 0-13-004763-5 , МР 1129886
- Гарибальди, Скип (июнь 2008 г.), «О тригонометрии нужно знать несколько больше, чем губернаторам», Mathematics Magazine , 81 (3): 191–200, doi : 10.1080/0025570x.2008.11953548 , JSTOR 27643106
- Харди, Годфри Гарольд ; Райт, Эдвард М. (1972), Введение в теорию чисел (5-е изд.), Оксфорд: Clarendon, ISBN 0-19-853171-0
- Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990) [1-е изд. 1982], Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Берлин: Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN. 0-387-97329-Х , МР 1070716
- Ланг, Серж (2002). 1965], Алгебра (3-е изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN. 978-0-387-95385-4 , МР 1878556
- Нивен, Иван М. (1956), Иррациональные числа , Математическая ассоциация Америки
- Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , Нью-Йорк: McGraw-Hill