Суперзолотое сечение

Суперзолотое сечение
	Суперзолотой прямоугольник содержит три масштабированные копии самого себя, ψ = ψ -1 + 2 пс -3 + пс -5
Рациональность	иррациональный алгебраический
Символ	п
Представительства
Десятичная дробь	1.46557 12318 76768 02665 67312 ...
Алгебраическая форма	действительный корень х 3 = х 2 + 1
Цепная дробь (линейная)	[1;2,6,1,3,5,4,22,1,1,4,1,2,84,...] ; не периодический ; бесконечный

В математике суперзолотое сечение представляет собой геометрическую пропорцию , близкую к $85/58$ . Его истинное значение — это действительное решение уравнения $x 3 = х 2 + 1.$

Название «суперзолотое сечение» происходит по аналогии с золотым сечением , положительным решением уравнения $x. 2 = х + 1.$

Треугольник с длинами сторон $ψ, 1$ и $ψ -1$ имеет угол ровно 120 градусов против стороны длины $ψ .$ ^[1]

Определение [ править ]

Две величины $a > b > 0$ находятся в квадрате суперзолотого сечения, если

\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}={\frac {a}{b}}

.

Соотношение ${\frac {a+b}{a}}$ обычно обозначается $\psi .$

На основе этого определения имеется

{\begin{aligned}1&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}{\frac {b}{a}}\\&=\left({\frac {a+b}{a}}\right)^{2}\left({\frac {a+b}{a}}-1\right)\\&\implies \psi ^{2}\left(\psi -1\right)=1\end{aligned}}

Отсюда следует, что суперзолотое сечение находится как единственное вещественное решение кубического уравнения $\psi ^{3}-\psi ^{2}-1=0.$ Десятичное разложение корня начинается как $1.465\,571\,231\,876\,768...$ (последовательность A092526 в OEIS ).

Минимальным полиномом для обратного корня является вдавленная кубическая $x^{3}+x-1$ , ^[2] таким образом, самое простое решение с формулой Кардано :

w_{1,2}=\left(1\pm {\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {31}{3}}}\right)/2

1/\psi ={\sqrt[{3}]{w_{1}}}+{\sqrt[{3}]{w_{2}}}

или, используя гиперболический синус ,

1/\psi ={\frac {2}{\sqrt {3}}}\sinh \left({\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\right)\right).

$1/\psi$ — сверхстабильная фиксированная точка итерации $x\gets (2x^{3}+1)/(3x^{2}+1)$ .

Итерация $x\gets {\sqrt[{3}]{1+x^{2}}}$ приводит к продолжению радикального

\psi ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+{\sqrt[{3/2}]{1+\cdots }}}}}}

^[3]

Деление определяющего трехчлена $x^{3}-x^{2}-1$ к $x-\psi$ получается $x^{2}+x/\psi ^{2}+1/\psi$ , а элементы сопряженные $\psi$ являются

x_{1,2}=\left(-1\pm i{\sqrt {4\psi ^{2}+3}}\right)/2\psi ^{2},

с $x_{1}+x_{2}=1-\psi \;$ и $\;x_{1}x_{2}=1/\psi .$

Свойства [ править ]

Многие свойства $\psi$ связаны с золотым сечением $\varphi$ . Например, суперзолотое сечение можно выразить как бесконечную геометрическую прогрессию. ^[4]

\psi =\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-3n}

и

\,\psi ^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{-7n},

по сравнению с идентичностью золотого сечения

\varphi =\sum _{n=0}^{\infty }\varphi ^{-2n}

и наоборот .

Кроме того, $1+\varphi ^{-1}+\varphi ^{-2}=2$ , пока $\sum _{n=0}^{7}\psi ^{-n}=3.$

Для каждого целого числа $n$ надо

{\begin{aligned}\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-3}\\&=\psi ^{n-2}+\psi ^{n-3}+\psi ^{n-4}\\&=\psi ^{n-2}+2\psi ^{n-4}+\psi ^{n-6}.\end{aligned}}

Непрерывная дробная структура нескольких малых степеней

\psi ^{-1}=[0;1,2,6,1,3,5,4,22,...]\approx 0.6823

(

13/19

)

\ \psi ^{0}=[1]

\ \psi ^{1}=[1;2,6,1,3,5,4,22,1,...]\approx 1.4656

(

22/15

)

\ \psi ^{2}=[2;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 2.1479

(

15/7

)

\ \psi ^{3}=[3;6,1,3,5,4,22,1,1,...]\approx 3.1479

(

22/7

)

\ \psi ^{4}=[4;1,1,1,1,2,2,1,2,2,...]\approx 4.6135

(

60/13

)

\ \psi ^{5}=[6;1,3,5,4,22,1,1,4,...]\approx 6.7614

(

115/17

)

Примечательно, что продолжающаяся часть $\psi ^{2}$ начинается с перестановки первых шести натуральных чисел; следующее слагаемое равно их сумме + 1.

Суперзолотое сечение — четвертое по величине число Писо . ^[5] Поскольку абсолютное значение $1/{\sqrt {\psi }}$ алгебраических сопряжений меньше 1, степени $\psi$ генерировать почти целые числа . Например: $\psi ^{11}=67.000222765...\approx 67+1/4489$ . После одиннадцати шагов вращения фазы внутренней спиралевидной сопряженной пары – изначально близкие к $\pm 13\pi /22$ – почти совпадает с воображаемой осью.

Минимальный полином суперзолотого сечения $m(x)=x^{3}-x^{2}-1$ имеет дискриминант $\Delta =-31$ . мнимого Поле классов Гильберта квадратичного поля $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})$ может быть образован путем присоединения $\psi$ . С аргументом $\tau =(1+{\sqrt {\Delta }})/2\,$ генератор кольца целых чисел $K$ , имеет особое значение эта Дедекинда -частное

\psi ={\frac {e^{\pi i/24}\,\eta (\tau )}{{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}}

.

Выражается через инвариант класса Вебера-Рамануджана G _n

\psi ={\frac {{\mathfrak {f}}({\sqrt {\Delta }})}{\sqrt {2}}}={\frac {G_{31}}{\sqrt[{4}]{2}}}

. ^[6]

Свойства связанного с ним j-инварианта Клейна $j(\tau )$ привести к почти идентичности $e^{\pi {\sqrt {-\Delta }}}\approx \left({\sqrt {2}}\,\psi \right)^{24}-24$ . Разница составляет $<1/143092$ .

Эллиптический интеграл сингулярного значения ^[7] $k_{r}=\lambda ^{*}(r)$ для $r=31$ имеет выражение закрытой формы

\lambda ^{*}(31)=\sin(\arcsin \left(({\sqrt[{4}]{2}}\,\psi )^{-12}\right)/2)

(что составляет менее 1/10 эксцентриситета орбиты Венеры).

Нараяны Последовательность

Коровы Нараяны — это повторяющаяся последовательность, возникшая из задачи, предложенной индийским математиком 14 века Нараяной Пандитом . ^[8] Он спросил, сколько коров и телят в стаде через 20 лет, начиная с одной коровы в первый год, когда каждая корова рожает по одному теленку каждый год, начиная с трехлетнего возраста.

Последовательность Нараяны тесно связана с последовательностями Фибоначчи и Падована и играет важную роль в кодировании данных, криптографии и комбинаторике. Количество композиций n на части 1 и 3 считается по n -му числу Нараяны.

третьего порядка Последовательность Нараяны определяется рекуррентным соотношением

N_{n}=N_{n-1}+N_{n-3}

для

n > 2

,

с начальными значениями

N_{0}=N_{1}=N_{2}=1

.

Первые несколько терминов — 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (последовательность A000930 в OEIS ). Предельное соотношение между последовательными сроками — это суперзолотое сечение.

Первые 11 индексов n, для которых $N_{n}$ является простым числом: n = 3, 4, 8, 9, 11, 16, 21, 25, 81, 6241, 25747 (последовательность A170954 в OEIS ). Последнее число имеет 4274 десятичных цифры.

Последовательность можно расширить до отрицательных индексов, используя

N_{n}=N_{n+3}-N_{n+2}

.

Производящая функция последовательности Нараяны имеет вид

{\frac {1}{1-x-x^{3}}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n}x^{n}

для

x<1/\psi

Числа Нараяны связаны с суммами биномиальных коэффициентов соотношением

N_{n}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor }{n-2k \choose k}

.

Характеристическое уравнение рекуррентности имеет вид $x^{3}-x^{2}-1=0$ . Если три решения являются настоящим корнем $\alpha$ и сопряженная пара $\beta$ и $\gamma$ числа Нараяны можно вычислить по формуле Бине ^[9]

N_{n-2}=a\alpha ^{n}+b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}

, с реальным

a

и конъюгаты

b

и

c

корни

31x^{3}+x-1=0

.

С $\left\vert b\beta ^{n}+c\gamma ^{n}\right\vert <1/{\sqrt {\alpha ^{n}}}$ и $\alpha =\psi$ , номер $N_{n}$ является ближайшим целым числом к $a\,\psi ^{n+2}$ , при $n \geq 0$ и $a=\psi /(\psi ^{2}+3)=$ 0.28469 30799 75318 50274 74714...

Коэффициенты $a=b=c=1$ получите формулу Бине для связанной последовательности $A_{n}=N_{n}+2N_{n-3}$ .

Первые несколько терминов: 3, 1, 1, 4, 5, 6, 10, 15, 21, 31, 46, 67, 98, 144,... (последовательность A001609 в OEIS ).

Эта анонимная последовательность обладает свойством Ферма : если p простое, $A_{p}\equiv A_{1}{\bmod {p}}$ . Обратное неверно, но малое число нечетных псевдопростых чисел $\,n\mid (A_{n}-1)$ делает последовательность особенной. ^[10] 8 нечетных составных чисел ниже $108$ пройти тест могут n = 1155, 552599, 2722611, 4822081, 10479787, 10620331, 16910355, 66342673.

Числа Нараяны получаются как целые степени $n > 3$ матрицы . с действительным собственным значением $\psi$ ^[8]

Q={\begin{pmatrix}1&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}},

Q^{n}={\begin{pmatrix}N_{n}&N_{n-2}&N_{n-1}\\N_{n-1}&N_{n-3}&N_{n-2}\\N_{n-2}&N_{n-4}&N_{n-3}\end{pmatrix}}

След $Q^{n}$ дает вышеизложенное $A_{n}$ .

Альтернативно, $Q$ можно интерпретировать как матрицу инцидентности для D0L системы Линденмайера в алфавите. $\{a,b,c\}$ с соответствующим правилом замены

{\begin{cases}a\;\mapsto \;ab\\b\;\mapsto \;c\\c\;\mapsto \;a\end{cases}}

и инициатор $w_{0}=b$ . Серия слов $w_{n}$ произведенные путем итерации замены, обладают тем свойством, что количество $c, b$ и $a$ равно последовательным числам Нараяны. Длина этих слов $l(w_{n})=N_{n}.$

С этим процессом перезаписи строк связан компактный набор, состоящий из самоподобных плиток, называемый фракталом Рози , который визуализирует комбинаторную информацию, содержащуюся в трехбуквенной последовательности нескольких поколений. ^[11]

Суперзолотой прямоугольник [ править ]

Суперзолотой прямоугольник — это прямоугольник, длины сторон которого находятся в $\psi :1$ соотношение. По сравнению с золотым прямоугольником , содержащим линейные соотношения $\varphi ^{2}:\varphi :1$ , суперзолотой прямоугольник имеет еще одну степень самоподобия .

Дан прямоугольник высотой $1$ , длина $\psi$ и длина диагонали ${\sqrt {\psi ^{3}}}$ (в соответствии с $1+\psi ^{2}=\psi ^{3}$ ). С левой стороны отрежьте квадрат со стороной $1$ и отметьте место пересечения с падающей диагональю. Оставшийся прямоугольник теперь имеет соотношение сторон. $\psi ^{2}:1$ (в соответствии с $\psi -1=\psi ^{-2}$ ). Разделите исходный прямоугольник на четыре части вторым горизонтальным разрезом, проходящим через точку пересечения.

Нумеруя против часовой стрелки, начиная с правого верхнего угла, в результате получаются первая, вторая и четвертая части — суперзолотые прямоугольники; в то время как третий имеет соотношение сторон $\psi ^{3}:1$ . Исходный прямоугольник и последовательно вторая, первая и четвертая части имеют длины диагоналей в соотношениях $\psi ^{3}:\psi ^{2}:\psi :1$ или, что то же самое, области $\psi ^{6}:\psi ^{4}:\psi ^{2}:1$ . Площади диагонально противоположных первой и третьей частей равны. ^[12]^[4]

В первой части суперзолотого прямоугольника, перпендикулярной исходному, процесс можно повторить в масштабе $1:\psi ^{2}$ .

См. также [ править ]

Решения уравнений типа $x^{3}=x^{2}+1$ $x^{3}=x^{2}+1$ :
- Золотое сечение – единственное положительное решение уравнения $x^{2}=x+1$
- Коэффициент пластичности – единственное реальное решение уравнения $x^{3}=x+1$
- Коэффициент суперсеребряности – единственное реальное решение уравнения $x^{3}=2x^{2}+1$

Ссылки [ править ]

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092526» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ (последовательность A263719 в OEIS )
^ $м/п \sqrt х = х н/м$
^ Перейти обратно: ^а ^б Коши, Томас (2017). Числа Фибоначчи и Люка с приложениями (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. дои : 10.1002/9781118033067 . ISBN 978-0-471-39969-8 .
^ (последовательность A092526 в OEIS )
^ G-функция Рамануджана (на немецком языке)
^ Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптический интеграл сингулярного значения» . Математический мир .
^ Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A000930 в OEIS )
^ Линь, Синь (2021). «О повторяющихся свойствах последовательности коров Нараяны» . Симметрия . 13 (149): 1–12. Бибкод : 2021Symm...13..149L . дои : 10.3390/sym13010149 .
^ Изучалось вместе с последовательностью Перрина в: Адамс, Уильям; Шанкс, Дэниел (1982). «Сильные тесты на простоту, которых недостаточно» . Математика. Комп . 39 (159). АМС: 255–300. дои : 10.2307/2007637 . JSTOR 2007637 .
^ Сигел, Энн; Тусовальднер, Йорг М. (2009). «Топологические свойства фракталов Рози» . Мемуары Математического общества Франции . 2,118 : 1–140. дои : 10.24033/msmf.430 .
^ Крилли, Тони (1994). «Суперзолотой прямоугольник». Математический вестник . 78 (483): 320–325. дои : 10.2307/3620208 . JSTOR 3620208 . S2CID 125782726 .

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A092526» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[2] (последовательность A263719 в OEIS )

[3] $м/п \sqrt х = х н/м$

[Koshy-4] Перейти обратно: ^а ^б Коши, Томас (2017). Числа Фибоначчи и Люка с приложениями (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. дои : 10.1002/9781118033067 . ISBN 978-0-471-39969-8 .

[5] (последовательность A092526 в OEIS )

[6] G-функция Рамануджана (на немецком языке)

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Эллиптический интеграл сингулярного значения» . Математический мир .

[oeiscow-8] Перейти обратно: ^а ^б (последовательность A000930 в OEIS )

[9] Линь, Синь (2021). «О повторяющихся свойствах последовательности коров Нараяны» . Симметрия . 13 (149): 1–12. Бибкод : 2021Symm...13..149L . дои : 10.3390/sym13010149 .

[10] Изучалось вместе с последовательностью Перрина в: Адамс, Уильям; Шанкс, Дэниел (1982). «Сильные тесты на простоту, которых недостаточно» . Математика. Комп . 39 (159). АМС: 255–300. дои : 10.2307/2007637 . JSTOR 2007637 .

[11] Сигел, Энн; Тусовальднер, Йорг М. (2009). «Топологические свойства фракталов Рози» . Мемуары Математического общества Франции . 2,118 : 1–140. дои : 10.24033/msmf.430 .

[12] Крилли, Тони (1994). «Суперзолотой прямоугольник». Математический вестник . 78 (483): 320–325. дои : 10.2307/3620208 . JSTOR 3620208 . S2CID 125782726 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]