Самоподобие

Снежинка Коха обладает бесконечно повторяющимся самоподобием, когда ее увеличивают.

Стандартное (тривиальное) самоподобие.

В математике объект самоподобный точно или приблизительно подобен своей части (т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей). Многие объекты в реальном мире, такие как береговые линии , статистически самоподобны: части из них демонстрируют одинаковые статистические свойства во многих масштабах. Самоподобие — типичное свойство фракталов . Масштабная инвариантность — это точная форма самоподобия, при которой при любом увеличении остается меньшая часть объекта, похожая на целое. Например, сторона снежинки Коха одновременно симметрична и масштабно-инвариантна; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, проявляющееся во фракталах, отличается их тонкой структурой или детализацией в сколь угодно малых масштабах. В качестве контрпримера , хотя любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.

Говорят, что развивающееся во времени явление демонстрирует самоподобие, если числовое значение некоторой наблюдаемой величины $f(x,t)$ измеренные в разное время, различны, но соответствующая безразмерная величина при данном значении $x/t^{z}$ остаются инвариантными. Это происходит, если количество $f(x,t)$ демонстрирует динамическое масштабирование . Идея является лишь развитием идеи подобия двух треугольников. Обратите внимание, что два треугольника подобны, если численные значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, например углы, совпадают.

Пейтген и др. объясните это понятие как таковое:

Если части фигуры являются маленькими копиями целого, то фигура называется самоподобной .... Фигура является строго самоподобной , если ее можно разложить на части, являющиеся точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры.

Поскольку математически фрактал может проявлять самоподобие при неограниченном увеличении, воссоздать это физически невозможно. Пейтген и др. предложить изучать самоподобие с помощью приближений:

Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы неизбежно ограничиваемся конечными приближениями предельной фигуры. Это делается с помощью метода, который мы назовем коробочным самоподобием, при котором измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров.

Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году.

Самородство

Самоаффинный фрактал с размерностью Хаусдорфа = 1,8272.

В математике части самоаффинность — это свойство фрактала , которого масштабируются на разную величину в направлениях x и y. Это означает, что для того, чтобы оценить самоподобие этих фрактальных объектов, их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .

Определение

Компактное конечное топологическое пространство X называется самоподобным, если существует множество S, индексирующее множество несюръективных гомеоморфизмов . $\{f_{s}:s\in S\}$ для чего

$X=\bigcup _{s\in S}f_{s}(X)$

Если $X\subset Y$, мы называем X самоподобным, если это единственное такое , что непустое подмножество Y приведенное выше уравнение справедливо для $\{f_{s}:s\in S\}$. Мы звоним

${\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}:s\in S\})$

структура самоподобная . Гомеоморфизмы могут быть повторены , что приводит к повторной системе функций . Композиция функций создает алгебраическую структуру моноида . Когда множество S состоит только из двух элементов, моноид известен как диадический моноид . Диадический моноид можно представить как бесконечное двоичное дерево ; в более общем смысле, если множество S имеет p элементов, то моноид можно представить как p-адическое дерево.

Автоморфизмы ; диадического моноида — группа модулярная автоморфизмы можно представить как гиперболические вращения бинарного дерева.

Более общим понятием, чем самоподобие, является Самоподобие .

Примеры

Самоподобие в множестве Мандельброта , показываемое увеличением точки Фейгенбаума в точке (−1,401155189..., 0)

Изображение папоротника Барнсли , демонстрирующее аффинное самоподобие.

Множество Мандельброта также самоподобно относительно точек Мисюревича .

Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет свойства самоподобия. Например, в инженерии телетрафика модели трафика данных с коммутацией пакетов кажутся статистически самоподобными. Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона, являются неточными, а сети, спроектированные без учета самоподобия, скорее всего, будут функционировать неожиданным образом.

Аналогичным образом, движения фондового рынка описываются как демонстрирующие самоподобие , т.е. они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинного преобразования для отображаемого уровня детализации. Эндрю Ло описывает самоподобие логарифма доходности фондового рынка в эконометрике .

Правила конечного подразделения — мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского .

Треугольник, многократно разделенный с использованием барицентрического подразделения . Дополнением больших кругов станет ковер Серпинского.

В кибернетике

Модель жизнеспособной системы Стаффорда Бира представляет собой организационную модель с аффинной самоподобной иерархией, в которой данная жизнеспособная система является одним элементом Системы Один из жизнеспособной системы на один рекурсивный уровень выше, и для которой элементы ее Системы Один являются жизнеспособными системами на один рекурсивный уровень ниже.

В природе

Крупный план брокколи романеско .

Дополнительная информация: Закономерности в природе.

Самоподобие можно найти и в природе. Справа — математически созданное, совершенно самоподобное изображение папоротника , которое имеет заметное сходство с естественными папоротниками. Другие растения, такие как брокколи романеско , демонстрируют сильное самоподобие.

В музыке

• Строгие каноны демонстрируют различные типы и степени самоподобия, как и разделы фуг .
• Тон Шепарда самоподобен в области частот и длин волн.
• Датский названную композитор Пер Норгорд использовал самоподобную целочисленную последовательность, «бесконечный ряд», в большей части своей музыки.
• В области поиска музыкальной информации самоподобие обычно означает тот факт, что музыка часто состоит из частей, которые повторяются во времени. Другими словами, музыка самоподобна при временном переводе, а не при масштабировании (или в дополнение к нему).

См. также

• Эффект Дросте
• Золотое сечение
• Логарифмическая спираль
• Зависимость на дальнем расстоянии
• Необоснованная теория множеств
• Рекурсия
• Самоотличие
• Самоссылка
• Самовоспроизведение
• Самоподобие анализа сетевых данных
• Самоподобный процесс
• Терагон
• Тесселяция
• Раздачи твиди
• Закон Ципфа
• фрактал

Внешние ссылки

• «Медные шевроны» — самоподобный фрактальный зум-фильм.
• «Самоподобие» — Новые статьи о самоподобии. Алгоритм вальса

Самородство

• Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самосродство и фрактальное измерение» (PDF) . Физика Скрипта . 32 (4): 257–260. Бибкод : 1985PhyS...32..257M . дои : 10.1088/0031-8949/32/4/001 . S2CID   250815596 .
• Сапожников, Виктор; Фуфула-Джорджиу, Эфи (май 1996 г.). «Самосродство в разветвленных реках» (PDF) . Исследования водных ресурсов . 32 (5): 1429–1439. Бибкод : 1996WRR....32.1429S . дои : 10.1029/96wr00490 . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2018 года . Проверено 30 июля 2018 г.
• Бенуа Б. Мандельброт (2002). Гауссово самоаффинность и фракталы: глобальность, Земля, шум 1/F и R/S . Спрингер. ISBN  978-0387989938 .