Самоподобие
В математике самоподобный . объект точно или приблизительно подобен своей части (т. е. целое имеет ту же форму, что и одна или несколько частей) Многие объекты в реальном мире, такие как береговые линии , статистически самоподобны: части из них демонстрируют одинаковые статистические свойства во многих масштабах. [2] Самоподобие — типичное свойство фракталов . Масштабная инвариантность — это точная форма самоподобия, при которой при любом увеличении остается меньшая часть объекта, похожая на целое. Например, сторона снежинки Коха одновременно симметрична и масштабно-инвариантна; его можно постоянно увеличивать в 3 раза без изменения формы. Нетривиальное сходство, проявляющееся во фракталах, отличается их тонкой структурой или детализацией в сколь угодно малых масштабах. В качестве контрпримера , хотя любая часть прямой линии может напоминать целое, дальнейшие детали не раскрываются.
Говорят, что развивающееся во времени явление демонстрирует самоподобие, если числовое значение некоторой наблюдаемой величины измеренные в разное время, различны, но соответствующая безразмерная величина при данном значении остаются инвариантными. Это происходит, если количество демонстрирует динамическое масштабирование . Идея является лишь развитием идеи подобия двух треугольников. [3] [4] [5] Обратите внимание, что два треугольника подобны, если числовые значения их сторон различны, однако соответствующие безразмерные величины, например углы, совпадают.
Пейтген и др. объясните это понятие как таковое:
Если части фигуры являются маленькими копиями целого, то фигура называется самоподобной .... Фигура является строго самоподобной, если ее можно разложить на части, являющиеся точными копиями целого. Любая произвольная часть содержит точную копию всей фигуры. [6]
Поскольку математически фрактал может проявлять самоподобие при неограниченном увеличении, воссоздать это физически невозможно. Пейтген и др. предложить изучать самоподобие с помощью приближений:
Чтобы придать операциональный смысл свойству самоподобия, мы неизбежно ограничиваемся конечными приближениями предельной фигуры. Это делается с помощью метода, который мы назовем коробочным самоподобием, при котором измерения производятся на конечных этапах фигуры с использованием сеток различных размеров. [7]
Этот словарь был введен Бенуа Мандельбротом в 1964 году. [8]
Самородство [ править ]
В математике части самоаффинность — это свойство фрактала , которого масштабируются на разную величину в направлениях x и y. Это означает, что для того, чтобы оценить самоподобие этих фрактальных объектов, их необходимо масштабировать с помощью анизотропного аффинного преобразования .
Определение [ править ]
Компактное конечное топологическое пространство X называется самоподобным, если существует множество S , индексирующее множество несюръективных гомеоморфизмов . для которого
Если , мы называем X самоподобным, если это единственное такое , что непустое подмножество Y приведенное выше уравнение справедливо для . Мы называем
самоподобная структура . Гомеоморфизмы могут быть повторены , что приводит к повторной системе функций . Композиция функций создает алгебраическую структуру моноида . Когда множество S состоит только из двух элементов, моноид известен как диадический моноид . Диадический моноид можно представить как бесконечное двоичное дерево ; в более общем смысле, если множество S имеет p элементов, то моноид можно представить как p-адическое дерево.
Автоморфизмы ; диадического моноида — группа модулярная автоморфизмы можно представить как гиперболические вращения бинарного дерева.
Более общим понятием, чем самоподобие, является Самоподобие .
Примеры [ править ]
также Множество Мандельброта самоподобно относительно точек Мисюревича .
Самоподобие имеет важные последствия для проектирования компьютерных сетей, поскольку типичный сетевой трафик имеет свойства самоподобия. Например, в инженерии телетрафика модели трафика данных с коммутацией пакетов кажутся статистически самоподобными. [9] Это свойство означает, что простые модели, использующие распределение Пуассона, являются неточными, а сети, спроектированные без учета самоподобия, скорее всего, будут функционировать неожиданным образом.
Аналогичным образом, движения фондового рынка описываются как демонстрирующие самоподобие , т.е. они кажутся самоподобными при преобразовании с помощью соответствующего аффинного преобразования для отображаемого уровня детализации. [10] Эндрю Ло описывает самоподобие логарифма доходности фондового рынка в эконометрике . [11]
Правила конечного подразделения — мощный метод построения самоподобных множеств, включая множество Кантора и треугольник Серпинского .
В кибернетике [ править ]
Модель жизнеспособной системы Стаффорда Бира представляет собой организационную модель с аффинной самоподобной иерархией, где данная жизнеспособная система является одним элементом Системы Один из жизнеспособной системы на один рекурсивный уровень выше, и для которой элементы ее Системы Один являются жизнеспособными системами на один рекурсивный уровень ниже.
В природе [ править ]
Самоподобие можно найти и в природе. Справа — математически созданное, совершенно самоподобное изображение папоротника , которое имеет заметное сходство с естественными папоротниками. Другие растения, такие как брокколи романеско , демонстрируют сильное самоподобие.
В музыке [ править ]
- Строгие каноны демонстрируют различные типы и степени самоподобия, как и разделы фуг .
- самоподобен Тон Шепарда в частотной области или в области длин волн.
- композитор Датский , Пер Норгорд использовал самоподобную целочисленную последовательность названную «бесконечный ряд», в большей части своей музыки.
- В области поиска музыкальной информации самоподобие обычно означает тот факт, что музыка часто состоит из частей, которые повторяются во времени. [12] Другими словами, музыка самоподобна при временном переводе, а не при масштабировании (или в дополнение к нему). [13]
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы , стр.44. ISBN 978-0716711865 .
- ^ Мандельброт, Бенуа Б. (5 мая 1967 г.). «Какой длины побережье Британии? Статистическое самоподобие и дробная размерность» . Наука . Новая серия. 156 (3775): 636–638. Бибкод : 1967Sci...156..636M . дои : 10.1126/science.156.3775.636 . ПМИД 17837158 . S2CID 15662830 . PDF
- ^ Хасан МК, Хасан МЗ, Павел Н.И. (2011). «Динамическое масштабирование, схлопывание данных и самоподобие в сетях Барабаси-Альберта». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 44 (17): 175101. arXiv : 1101.4730 . Бибкод : 2011JPhA...44q5101K . дои : 10.1088/1751-8113/44/17/175101 . S2CID 15700641 .
{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) - ^ Хасан МК, Хасан МЗ (2009). «Появление фрактального поведения в агрегации, вызванной конденсацией». Физ. Преподобный Е. 79 (2): 021406. arXiv : 0901.2761 . Бибкод : 2009PhRvE..79b1406H . дои : 10.1103/physreve.79.021406 . ПМИД 19391746 . S2CID 26023004 .
- ^ Дайин Ф.Р., Хасан М.К. (2016). «Мульти-мультифрактальность, динамическое масштабирование и статистика окрестности во взвешенной плоской стохастической решетке». Хаос, солитоны и фракталы . 91 : 228. arXiv : 1409.7928 . Бибкод : 2016CSF....91..228D . дои : 10.1016/j.chaos.2016.06.006 .
- ^ Пейтген, Хайнц-Отто; Юргенс, Хартмут; Саупе, Дитмар; Малецкий, Эван; Персиент, Терри; и Юнкер, Ли (1991). Фракталы для класса: Стратегическая деятельность, том первый , стр.21. Springer-Publishers, Нью-Йорк. ISBN 0-387-97346-X и ISBN 3-540-97346-X .
- ^ Пейтген и др. (1991), стр.2-3.
- ^ Как я открыл фракталы, Интервью с Бенуа Мандельбротом , La Recherche https://www.larecherche.fr/math%C3%A9matiques-histoire-des-sciences/%C2%AB-comment-jai-d%C3 %A9covered- фракталы-%C2%BB
- ^ Лиланд, МЫ; Такку, М.С.; и другие. (январь 1995 г.). «О самоподобной природе трафика Ethernet (расширенная версия)» (PDF) . Транзакции IEEE/ACM в сети . 2 (1): 1–15. дои : 10.1109/90.282603 . S2CID 6011907 .
- ^ Бенуа Мандельброт (февраль 1999 г.). «Как фракталы могут объяснить, что не так с Уолл-стрит» . Научный американец .
- ^ Кэмпбелл, Ло и МакКинли (1991) « Эконометрика финансовых рынков», Princeton University Press! ISBN 978-0691043012
- ^ Фут, Джонатан (30 октября 1999 г.). «Визуализация музыки и звука с использованием самоподобия». Материалы седьмой международной конференции ACM по мультимедиа (Часть 1) (PDF) . стр. 77–80. CiteSeerX 10.1.1.223.194 . дои : 10.1145/319463.319472 . ISBN 978-1581131512 . S2CID 3329298 . Архивировано (PDF) из оригинала 9 августа 2017 года.
- ^ Парейон, Габриэль (апрель 2011 г.). О музыкальном самоподобии: интерсемиоз как синекдоха и аналогия (PDF) . Международный институт семиотики в Иматре; Семиотическое общество Финляндии. п. 240. ИСБН 978-952-5431-32-2 . Архивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2017 года . Проверено 30 июля 2018 г. (Также см. Google Книги )
Внешние ссылки [ править ]
- «Медные шевроны» — самоподобный фрактальный зум-фильм.
- «Самоподобие» — Новые статьи о самоподобии. Алгоритм вальса
Самородство [ править ]
- Мандельброт, Бенуа Б. (1985). «Самосродство и фрактальное измерение» (PDF) . Физика Скрипта . 32 (4): 257–260. Бибкод : 1985PhyS...32..257M . дои : 10.1088/0031-8949/32/4/001 . S2CID 250815596 .
- Сапожников, Виктор; Фуфула-Джорджиу, Эфи (май 1996 г.). «Самосродство в разветвленных реках» (PDF) . Исследования водных ресурсов . 32 (5): 1429–1439. Бибкод : 1996WRR....32.1429S . дои : 10.1029/96wr00490 . Архивировано (PDF) из оригинала 30 июля 2018 г. Проверено 30 июля 2018 г.
- Бенуа Б. Мандельброт (2002). Гауссово самоаффинность и фракталы: глобальность, Земля, шум 1/F и R/S . Спрингер. ISBN 978-0387989938 .