Динамическое масштабирование

Динамическое масштабирование (иногда известное как масштабирование Фэмили – Вичека). ) является лакмусовой бумажкой, которая показывает, проявляет ли развивающаяся система самоподобие . В общем случае говорят, что функция демонстрирует динамическое масштабирование, если она удовлетворяет следующим условиям:

$f(x,t)\sim t^{\theta }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right).$

Здесь показатель $\theta$ фиксируется требованием к размерам $[f]=[t^{\theta }]$. Числовое значение $f/t^{\theta }$ должна оставаться неизменной, несмотря на единицу измерения $t$ изменяется под действием некоторого фактора, поскольку $\varphi$ является безразмерной величиной.

Многие из этих систем развиваются самоподобным образом в том смысле, что данные, полученные из моментального снимка в любой фиксированный момент времени, аналогичны соответствующим данным, взятым из моментального снимка в любой более ранний или более поздний момент. То есть система подобна самой себе в разное время. Лакмусовой бумажкой такого самоподобия является динамическое масштабирование.

История

Термин «динамическое масштабирование» как одна из основных концепций для описания динамики критических явлений , по-видимому, возник в основополагающей статье Пьера Хоэнберга и Бертрана Гальперина (1977), а именно, они предположили, что «[...] что волновой вектор- а частотно-зависимая восприимчивость ферромагнетика вблизи точки Кюри может быть выражена как функция, независимая от $|T-T_{C}|$ при условии, что масштабы длины и частоты, а также намагниченность и магнитное поле перемасштабируются соответствующими степенями $|T-T_{C}|$.

Позже Тамаш Вичек и семья Ферейдун предложили идею динамического масштабирования в контексте диффузионно-ограниченной агрегации ( DLA ) кластеров в двух измерениях. Форма их предложения по динамическому масштабированию была следующей:

$f(x,t)\sim t^{-w}x^{-\tau }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right),$

где показатели степени удовлетворяют следующему соотношению:

$w=(2-\tau )z.$

Тест

В таких системах мы можем определить некоторую зависящую от времени стохастическую переменную. $x$. Нас интересует вычисление распределения вероятностей $x$ в разные моменты времени, т.е. $f(x,t)$. Числовое значение $f$ и типичное или среднее значение $x$ обычно меняется со временем. Вопрос в том, что происходит с соответствующими безразмерными переменными? Если числовые значения размерных величин изменяются, но соответствующие безразмерные величины остаются неизменными, то можно утверждать, что снимки системы в разное время аналогичны. В этом случае мы говорим, что система самоподобна.

Один из способов проверки динамического масштабирования — построить график безразмерных переменных. $f/t^{\theta }$ как функция $x/t^{z}$ данных, извлеченных в разное время. Тогда если все графики $f$ против $x$ полученные в разное время схлопываются на одну универсальную кривую, тогда говорят, что системы в разное время подобны и подчиняются динамическому масштабированию. Идея коллапса данных глубоко укоренена в теореме Бэкингема Пи . По сути, такие системы можно назвать временным самоподобием, поскольку одна и та же система в разное время одинакова.

Примеры

Многие явления, исследуемые физиками, не статичны, а вероятностно развиваются со временем (т.е. стохастический процесс ). Сама Вселенная, возможно, является одним из лучших примеров. Оно расширялось со времен Большого взрыва . Точно так же рост сетей, таких как Интернет , также приводит к постоянному росту систем. Другой пример – деградация полимера. где деградация происходит не в мгновение ока, а в течение довольно длительного времени. Распространение биологических и компьютерных вирусов тоже не происходит в одночасье.

Многие другие, казалось бы, несопоставимые системы, демонстрирующие динамическое масштабирование. Например:

• кинетика агрегации, описываемая уравнением коагуляции Смолуховского ,
• сложные сети, описываемые моделью Барабаси – Альберта ,
• кинетическое и стохастическое множество Кантора ,
• модель роста в рамках класса универсальности Кардара–Паризи–Чжана (КПЗ); обнаруживают, что ширина поверхности $W(L,t)$ демонстрирует динамическое масштабирование.
• Распределение размеров блоков взвешенной планарной стохастической решетки (WPSL) также демонстрирует динамическое масштабирование.
• маргинальные вероятности дробных пуассоновских процессов демонстрируют динамическое масштабирование.