Взвешенная плоская стохастическая решетка

Физики часто используют различные решетки , чтобы применить в них свои любимые модели. Например, самая любимая решетка — это, пожалуй, квадратная решетка. Существует 14 пространственных решеток Браве, в которых каждая ячейка имеет одинаковое количество ближайших, следующих за ближайшими, ближайших из следующих ближайших и т. д. соседей, и поэтому они называются регулярной решеткой. Часто физики и математики изучают явления, требующие неупорядоченной решетки, когда каждая ячейка не имеет одинакового количества соседей, а количество соседей может сильно различаться. Например, если кто-то хочет изучить распространение болезней, вирусов, слухов и т. д., то последнее, на что стоит обратить внимание, — это квадратная решетка. В таких случаях необходима неупорядоченная решетка. Один из способов построения неупорядоченной решетки состоит в следующем.

Начиная с квадрата, скажем, единичной площади, и случайным образом деля на каждом этапе только один блок, послевыбор его предпочтительно по отношению к ares, на четыре меньших блока создает взвешенную плоскую стохастическую решетку (WPSL) . По сути, это неупорядоченная плоская решетка, поскольку размер ее блоков и их координационное число случайны.

Описание

В прикладной математике взвешенная плоская стохастическая решетка (WPSL) представляет собой структуру, имеющую общие свойства со свойствами решеток и графов . В целом, заполняющие пространство плоские клеточные структуры могут быть полезны в самых разных, казалось бы, несопоставимых физических и биологических системах.Примеры включают зерно в поликристаллических структурах, текстуру клеток и тканей в биологии, игольчатую текстуру при росте мартенсита , мозаичное покрытие на берегах океана, мыльную пену.и раздел сельскохозяйственных земель по формам собственности и т. д. Вопрос о том, как появляются эти структуры, и понимание их топологических и геометрических свойств всегда интересовал ученых вообще и физиков в частности.Несколько моделей предписывают, как создавать клеточные структуры. Часто этиструктуры могут напрямую имитировать структуры, встречающиеся в природе, и они способны отражать основные свойства, которые мы обнаруживаем в природных структурах. В общем, клеточные структуры появляются посредством случайной мозаики , мозаики или разделения плоскости на смежные и непересекающиеся ячейки. Например, диаграмма Вороного и аполлонова упаковка образуются путем разделения или разбиения плоскости на смежные и непересекающиеся выпуклые многоугольники и диски соответственно.

Регулярные плоские решетки, такие как квадратные, треугольные, сотовые решетки и т. д., являются простейшим примером ячеистой структуры, в которой каждая ячейка имеет одинаковый размер и одинаковое координационное число. С другой стороны, плоская диаграмма Вороного не имеет ни фиксированного размера ячейки, ни фиксированного координационного числа. Распределение его координационного числа имеет скорее пуассоновский характер. То есть распределение достигает максимума около среднего значения, где практически невозможно найти клетки, которые имеют значительно большее или меньшее координационное число, чем среднее значение. Недавно Хассан и др. предложили решетку, а именно взвешенную плоскую стохастическую решетку. Например, в отличие от сети или графа, она обладает свойствами решетки, поскольку ее узлы пространственно встроены. С другой стороны, в отличие от решеток, ее двойственная (полученная путем рассмотрения центра каждого блока решетки как узла, а общей границы между блоками как связей) проявляет свойство сетей, поскольку распределение ее степеней подчиняется степенному закону . Кроме того, в отличие от обычных решеток, размеры ее ячеек не равны; скорее, распределение размера области его блоков подчиняется динамическому масштабированию , распределение координационного числа которого подчиняется степенному закону.

Снимок взвешенной стохастической решетки.

Строительство WPSL

Процесс построения WPSL можно описать следующим образом. Все начинается с квадрата единичной площади, который мы считаем инициатором. Затем генератор на первом этапе случайным образом с равномерной вероятностью делит инициатор на четыре меньших блока. На втором этапе и далее генератор применяется только к одному из блоков. Вопрос в том, как нам выбрать этот блок, если блоков более одного? Наиболее общим выбором было бы выбирать преимущественно в соответствии с их областями, так что чем выше область, тем выше вероятность быть выбранным. Например, на первом этапе генератор случайным образом делит инициатор на четыре меньших блока. Давайте обозначим их области, начиная с верхнего левого угла и двигаясь по часовой стрелке как $a_{1},a_{2},a_{3}$ и $a_{4}$. Но, конечно, способ, которым мы маркируем, совершенно произволен и не будет иметь никакого влияния на окончательные результаты любых наблюдаемых величин. Обратите внимание, что $a_{i}$ это площадь $i$блок, который можно рассматривать как вероятность выбора $i$й блок. Эти вероятности естественным образом нормируются $\sum _{i}a_{i}=1$ так как мы выбираем площадь инициатора, равную единице. На втором этапе мы выбираем один из четырех блоков предпочтительно с учетом их площади. Считайте, что мы выбираем блок $3$ и примените к нему генератор, чтобы случайным образом разделить его на четыре меньших блока. Таким образом, этикетка $3$ теперь является избыточным, и поэтому мы перерабатываем его, чтобы пометить верхний левый угол, в то время как остальные три новых блока помечаются $a_{5},a_{6}$ и $a_{7}$ по часовой стрелке. В целом, в $j$на шаге мы выбираем один из $3j-2$ блоки преимущественно по площади и случайным образом делятся на четыре блока. Подробный алгоритм можно найти у Дайина и Хасана. и Хасан, Хасан и Павел.

Этот процесс образования решетки можно также описать следующим образом. Учтите, что подложка представляет собой квадрат единичной площади, и на каждом временном шаге зарождается зародыш, из которого растут две ортогональные линии разделения, параллельные сторонам подложки, пока они не будут перехвачены существующими линиями. Это приводит к разделению площади на все более мелкие взаимоисключающие прямоугольные блоки. Обратите внимание: чем больше площадь блока, тем выше вероятность того, что в нем зародится семя, которое разделит его на четыре меньших блока, поскольку семена высеваются на субстрат в случайном порядке. Он также может описывать кинетику фрагментации двумерных объектов.

Функция распределения площади по размерам C(a,t) для трех разных размеров WPSL. На вставке те же данные нанесены в самоподобных координатах, а схлопывание всех данных, взятых в разное время, схлопывается в одну универсальную кривую. Это показывает, что функция распределения площади по размерам подчиняется динамическому масштабированию.

Распределение степеней двойника WPSL и распределение координационных чисел самого WPSL.

Свойства WPSL

• Динамика роста этой решетки определяется бесконечным множеством законов сохранения, одним из которых является тривиальное сохранение полной площади.
• Каждый из нетривиальных законов сохранения можно использовать как мультифрактальную меру и, следовательно, он также является мультимультифракталом ( мультифрактальной системой ).
• Функция распределения ее блоков по размерам подчиняется динамическому масштабированию .
• Его можно отобразить как сеть, если рассматривать центр каждого блока как узел, а общую границу между блоками как связь между центрами соответствующих узлов. Распределение степеней полученной сети имеет степенной закон ( безмасштабная сеть ). В 1999 году Барабаси и Альберт утверждали, что правило роста и преференциальной привязанности (PA) является двумя основными ингредиентами степенного распределения степеней. В случае WPSL присутствие одного из ингредиентов очевидно. А как насчет правила ПА. Более пристальный взгляд на процесс роста WPSL позволяет предположить, что блок получает нового соседа только в том случае, если один из его соседей выбран и разделен. Таким образом, чем больше соседей у ​​блока, тем выше вероятность того, что он получит больше соседей. Фактически, ( Модель привязанности, основанная на посредничестве ) воплощает именно эту идею. В этой модели правило PA также присутствует, но замаскировано!
• Он демонстрирует мультимасштабирование.

Например, до 2000 года модели эпидемии изучались, применяя их к регулярным решеткам, таким как квадратная решетка, предполагая, что каждый может заразить всех остальных одинаковым образом.Появление сетевой структуры привело к фундаментальным изменениям, предложив гораздо лучший прагматичный скелет, чем когда-либо прежде. Сегодня эпидемические модели являются одним из наиболее активных применений сетевой науки и используются для прогнозирования распространения гриппа или сдерживания Эболы. WPSL может быть хорошим кандидатом для применения эпидемических моделей, поскольку он обладает свойствами графа или сети, а также свойства традиционной решетки.