распределение Пуассона

Распределение Пуассона

Функция массы вероятности Горизонтальная ось — это индекс k , количество вхождений. λ — ожидаемая частота возникновения. Вертикальная ось — это вероятность k вхождений при заданном λ . Функция определяется только при целочисленных значениях k ; соединительные линии являются лишь ориентирами для глаза.
Кумулятивная функция распределения Горизонтальная ось — это индекс k , количество вхождений. CDF является разрывным в целых числах k и плоским везде, поскольку переменная, распределенная по Пуассону, принимает только целочисленные значения.
Обозначения	$\operatorname {Pois} (\lambda )$
Параметры	$\lambda \in (0,\infty )$ (ставка)
Поддерживать	$k\in \mathbb {N}$ ( Натуральные числа, начиная с 0)
ПМФ	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
CDF	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},$ или $e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},$ или $Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (для $k\geq 0,$ где $\Gamma (x,y)$ — верхняя неполная гамма-функция , $\lfloor k\rfloor$ — функция пола , и $Q$ — регуляризованная гамма-функция )
Иметь в виду	$\lambda$
медиана	$\approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor$
Режим	$\left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor$
Дисперсия	$\lambda$
асимметрия	${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {1}{\lambda }}$
Энтропия	$\lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$ или для большого $\lambda$   ${\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}$
МГФ	$\exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]$
CF	$\exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]$
ПГФ	$\exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]$
Информация о Фишере	${\frac {1}{\lambda }}$

В теории вероятностей и статистике — распределение Пуассона дискретное распределение вероятностей , выражающее вероятность того, что заданное количество событий произойдет за фиксированный интервал времени, если эти события происходят с известной постоянной средней скоростью и независимо от времени, прошедшего с момента последнего события. . Его также можно использовать для количества событий в других типах интервалов, кроме времени, и в размерности больше 1 (например, количество событий в данной области или объеме).

Распределение Пуассона названо в честь французского математика Симеона Дени Пуассона ( / ˈ p w ɑː s ɒ n / ; Французское произношение: [pwasɔ̃] ). Это играет важную роль для дискретно-устойчивых распределений .

При распределении Пуассона с ожиданием λ k вероятность событий в данном интервале событий в том же интервале равна:

${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.$

Например, рассмотрим колл-центр, который случайным образом принимает в среднем λ = 3 звонка в минуту в любое время суток. Если вызовы независимы, прием одного не меняет вероятность того, когда поступит следующий. При этих предположениях количество k звонков, полученных в течение любой минуты, имеет распределение вероятностей Пуассона. Получение от k = 1 до 4 вызовов имеет вероятность около 0,77, а получение 0 или хотя бы 5 вызовов имеет вероятность около 0,23.

Другой пример, для которого распределение Пуассона является полезной моделью, — это количество событий радиоактивного распада за фиксированный период наблюдения.

История

Распределение было впервые введено Симеоном Дени Пуассоном (1781–1840) и опубликовано вместе с его теорией вероятности в его работе «Исследования вероятности судебных решений по уголовным и гражданским делам» (1837). В работе были выдвинуты теории о количестве неправомерных приговоров в данной стране, сосредоточив внимание на определенных случайных величинах N , которые подсчитывают, среди прочего, количество дискретных событий (иногда называемых «событиями» или «прибытиями»), которые происходят в течение времени - интервал заданной длины. Результат уже был дан в 1711 году Авраамом де Муавром в De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus . Это делает его примером закона Стиглера и побудило некоторых авторов утверждать, что распределение Пуассона должно носить имя де Муавра.

В 1860 году Саймон Ньюкомб подогнал распределение Пуассона к числу звезд, находящихся в единице пространства. Дальнейшее практическое применение было сделано Ладиславом Борткевичем в 1898 году. Борткевич показал, что частота, с которой солдаты прусской армии случайно погибали от ударов лошадью, можно хорошо смоделировать с помощью распределения Пуассона. .

Определения

Функция массы вероятности

Говорят, что дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda >0,$ если он имеет функцию массы вероятности, определяемую следующим образом:

$f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$

где

• k — количество вхождений ( $k=0,1,2,\ldots$)
• e — число Эйлера ( $e=2.71828\ldots$)
• к ! = k ( k– 1) ··· (3)(2)(1) – факториал .

Положительное действительное число λ равно ожидаемому значению X , а также его дисперсии .

$\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).$

Распределение Пуассона можно применять к системам с большим количеством возможных событий, каждое из которых является редким . Число таких событий, происходящих в течение фиксированного интервала времени, при определенных обстоятельствах является случайным числом с распределением Пуассона.

Уравнение можно адаптировать, если вместо среднего числа событий $\lambda ,$ нам дана средняя ставка $r$в котором происходят события. Затем $\lambda =rt,$ и:

$P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.$

Примеры

Жевательная резинка на тротуаре. Количество фигур на одной плитке примерно распределено по Пуассону.

Распределение Пуассона может быть полезно для моделирования таких событий, как:

• количество метеоритов диаметром более 1 метра, падающих на Землю за год;
• количество лазерных фотонов, попадающих в детектор за определенный интервал времени;
• количество студентов, получивших низкую и высокую оценку на экзамене; и
• места дефектов и дислокаций в материалах.

Примерами появления случайных точек в космосе являются: места столкновений астероидов с Землей (2-мерные), места дефектов материала (3-мерные) и места деревьев в лесу (2-мерные). .

Предположения и обоснованность

Распределение Пуассона является подходящей моделью, если верны следующие предположения:

• k — это количество раз, когда событие происходит в интервале, и k может принимать значения 0, 1, 2,... .
• Возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения второго события. То есть события происходят независимо.
• Средняя скорость, с которой происходят события, не зависит от каких-либо событий. Для простоты обычно предполагается, что оно постоянно, но на практике может меняться со временем.
• Два события не могут произойти в один и тот же момент; вместо этого в каждом очень маленьком подинтервале либо происходит ровно одно событие, либо не происходит ни одного события.

Если эти условия верны, то k — случайная величина Пуассона, а распределение k — распределение Пуассона.

Распределение Пуассона также является пределом биномиального распределения , для которого вероятность успеха каждого испытания равна λ, деленной на количество испытаний, поскольку количество испытаний приближается к бесконечности (см. Связанные распределения ).

Примеры вероятностей для распределений Пуассона

На конкретной реке паводки случаются в среднем раз в 100 лет. Рассчитайте вероятность k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 паводков за 100-летний интервал, предполагая, что модель Пуассона подходит.

Поскольку средняя частота событий составляет одно наводнение за 100 лет, λ = 1.

$P(k{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}={\frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}$

$P(k=0{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368$

$P(k=1{\text{ overflow flood in 100 years}})={\frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368$

$P(k=2{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={\frac {e^{-1}}{2}}\approx 0.184$

к	P ( k паводков за 100 лет)
0	0.368
1	0.368
2	0.184
3	0.061
4	0.015
5	0.003
6	0.0005

Вероятность от 0 до 6 паводков за 100-летний период.

Сообщалось, что среднее количество голов в футбольном матче чемпионата мира составляет примерно 2,5, и модель Пуассона подходит. Поскольку средний показатель результативности составляет 2,5 гола за матч, λ = 2,5.

$P(k{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}}$

$P(k=0{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}}={\frac {e^{-2.5}}{1}}\approx 0.082$

$P(k=1{\text{ goal in a match}})={\frac {2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}}={\frac {2.5e^{-2.5}}{1}}\approx 0.205$

$P(k=2{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}}={\frac {6.25e^{-2.5}}{2}}\approx 0.257$

к	P ( k голов в матче чемпионата мира по футболу)
0	0.082
1	0.205
2	0.257
3	0.213
4	0.133
5	0.067
6	0.028
7	0.010

Вероятность забить от 0 до 7 голов в матче.

События раз в интервале: частный случай λ = 1 и k = 0

Предположим, что астрономы подсчитали, что крупные метеориты (больше определенного размера) падают на Землю в среднем раз в 100 лет ( λ = 1 событие за 100 лет), и что число попаданий метеоритов подчиняется распределению Пуассона. Какова вероятность падения k = 0 метеоритов в ближайшие 100 лет?

$P(k={\text{0 meteorites hit in next 100 years}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {1}{e}}\approx 0.37.$

При этих предположениях вероятность того, что в ближайшие 100 лет на Землю не упадут крупные метеориты, составляет примерно 0,37. Оставшиеся 1–0,37 = 0,63 — это вероятность падения 1, 2, 3 или более крупных метеоритов в ближайшие 100 лет. В приведенном выше примере наводнение происходило раз в 100 лет ( λ = 1). По тем же расчетам вероятность отсутствия паводков через 100 лет составила примерно 0,37.

В общем, если событие происходит в среднем один раз за интервал ( λ = 1) и события подчиняются распределению Пуассона, то P (0 событий в следующем интервале) = 0,37. Кроме того, P (ровно одно событие в следующем интервале) = 0,37, как показано в таблице для наводнений.

Примеры, нарушающие предположения Пуассона

Число студентов, прибывающих в студенческий союз в минуту, скорее всего, не будет подчиняться распределению Пуассона, поскольку этот показатель не является постоянным (низкий показатель во время занятий, высокий показатель между занятиями), а прибытие отдельных учащихся не является независимым (студенты обычно приходят группами). Непостоянная скорость прибытия может быть смоделирована как смешанное распределение Пуассона , а прибытие групп, а не отдельных студентов, как составной процесс Пуассона .

Число землетрясений магнитудой 5 баллов в год в стране может не соответствовать распределению Пуассона, если одно сильное землетрясение увеличивает вероятность афтершоков аналогичной магнитуды.

Примеры, в которых гарантировано хотя бы одно событие, не являются распределенными по Пуассону; но может быть смоделировано с использованием распределения Пуассона, усеченного до нуля .

Распределения подсчета, в которых количество интервалов с нулевыми событиями выше, чем предсказано моделью Пуассона, можно смоделировать с использованием модели с нулевым расширением .

Характеристики

Описательная статистика

• Ожидаемое значение и дисперсия случайной величины с распределением Пуассона равны λ .
• Коэффициент вариации ​ ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$ а индекс дисперсии равен 1.
• Среднее абсолютное отклонение от среднего составляет
  $$\operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.$$
• Мода распределенной по Пуассону случайной величины с нецелым λ равна $\lfloor \lambda \rfloor ,$которое является наибольшим целым числом, меньшим или равным λ . Это также записывается как пол ( λ ). Когда λ — целое положительное число, режимами являются λ и λ - 1.
• Все кумулянты распределения Пуассона равны ожидаемому значению λ . факториальный n-й момент распределения Пуассона равен λ ^н  .
• Ожидаемое значение процесса Пуассона иногда разлагается на произведение интенсивности и воздействия (или, в более общем смысле, выражается как интеграл «функции интенсивности» во времени или пространстве, иногда описываемой как «воздействие»).

медиана

Границы медианы ( $\nu$) распределения известны и точны :

$$\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.$$

Высшие моменты

Высшие нецентрированные моменты полиномы m _k распределения Пуассона представляют собой Тушара от λ :

$$m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},$$

где фигурные скобки { } обозначают числа Стирлинга второго рода . Другими словами,

$$E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots$$

Когда ожидаемое значение установлено равным λ = 1, формула Добински подразумевает, что n -й момент равен количеству разделов набора размера n .

Простая верхняя граница:

$$m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).$$

Суммы случайных величин, распределенных по Пуассону

Если $X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})$ для $i=1,\dotsc ,n$ независимы , то ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$ Обратной является теорема Райкова , которая гласит, что если сумма двух независимых случайных величин распределена по Пуассону, то так же распределена и каждая из этих двух независимых случайных величин.

Максимальная энтропия

Это распределение максимальной энтропии среди множества обобщенных биномиальных распределений. $B_{n}(\lambda )$ со средним $\lambda$ и $n\rightarrow \infty$, где обобщенное биномиальное распределение определяется как распределение суммы N независимых, но не одинаково распределенных переменных Бернулли.

Другие объекты недвижимости

• Распределения Пуассона представляют собой бесконечно делимые распределения вероятностей.
• Направленная Кульбака–Лейблера расходимость $P=\operatorname {Pois} (\lambda )$ от $P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})$ дан кем-то
  $$\operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.$$
• Если $\lambda \geq 1$ является целым числом, то $Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ удовлетворяет $\Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}$ и $\Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.$
• Границы хвостовых вероятностей пуассоновской случайной величины $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ может быть получен с использованием аргумента границы Чернова .
  $$P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x>\lambda ,$$
  $$P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ for }}x<\lambda .$$
• Верхнюю вероятность хвоста можно увеличить (как минимум в два раза) следующим образом:

$$P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,$$

где $\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)$ – это расхождение Кульбака–Лейблера $Q=\operatorname {Pois} (x)$ от $P=\operatorname {Pois} (\lambda )$.

• Неравенства, связывающие функцию распределения случайной величины Пуассона $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ к нормального распределения стандартной функции $\Phi (x)$ следующие:
  $$\Phi \left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)<P(X\leq k)<\Phi \left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right),{\text{ for }}k>0,$$
  где $\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)$ – это расхождение Кульбака–Лейблера $Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)$ от $P=\operatorname {Pois} (\lambda )$ и $\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)$ – это расхождение Кульбака–Лейблера $Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)$ от $P$.

Пуассоновые гонки

Позволять $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ и $Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )$ быть независимыми случайными величинами, причем $\lambda <\mu ,$ тогда у нас есть это

$${\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}$$

Верхняя оценка доказывается с использованием стандартной оценки Чернова.

Нижнюю оценку можно доказать, заметив, что $P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)$ это вероятность того, что ${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$ где ${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$ который ограничен снизу ${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$ где $D$— относительная энтропия см. в статье об границах хвостов биномиальных распределений ( подробнее ). Далее отмечая, что $X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),$и вычисление нижней границы безусловной вероятности дает результат. Более подробную информацию можно найти в приложении Kamath et al.

Связанные дистрибутивы

Как биномиальное распределение с бесконечно малыми временными шагами

Распределение Пуассона можно получить как предельный случай биномиального распределения, поскольку количество испытаний стремится к бесконечности, а ожидаемое количество успехов остается фиксированным — см. Закон редких событий ниже. Следовательно, его можно использовать как аппроксимацию биномиального распределения, если n достаточно велико, а p достаточно мало. Распределение Пуассона является хорошим приближением биномиального распределения, если n равно 20, а p меньше или равно 0,05, и отличным приближением, если n ≥ 100 и np ≤ 10. Сдача в аренду $F_{\mathrm {B} }$ и $F_{\mathrm {P} }$ — соответствующие кумулятивные функции плотности биномиального и пуассоновского распределений, имеем:

$$F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).$$

Один из выводов этого метода использует функции, генерирующие вероятность . Рассмотрим испытание Бернулли (подбрасывание монеты), вероятность одного успеха которого (или ожидаемое количество успехов) равна $\lambda \leq 1$в пределах заданного интервала. Разделите интервал на n частей и выполните испытание в каждом подинтервале с вероятностью ${\tfrac {\lambda }{n}}$. Тогда вероятность k успехов из n испытаний на всем интервале определяется биномиальным распределением

$p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k}$,

производящая функция которого:

$P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.$

Взяв предел при увеличении n до бесконечности (при фиксированном x ) и применив определение предела произведения экспоненциальной функции , это сводится к производящей функции распределения Пуассона:

$\lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.$

Общий

• Если $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ и $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ независимы, то разница $Y=X_{1}-X_{2}$ следует распределению Скеллама .
• Если $X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,$ и $X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,$ независимы, то распределение $X_{1}$ при условии $X_{1}+X_{2}$ является биномиальным распределением .
  В частности, если $X_{1}+X_{2}=k,$ затем $X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).$
  В более общем смысле, если X ₁ , X ₂ , ..., X _n являются независимыми случайными величинами Пуассона с параметрами λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n , то

  данный $\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,$ следует, что $X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).$ Фактически, $\{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).$

• Если $X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,$ и распределение $Y$ при условии X = k является биномиальным распределением , $Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),$ тогда распределение Y следует распределению Пуассона $Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).$ Действительно, если при условии $\{X=k\},$ $\{Y_{i}\}$ следует полиномиальному распределению , $\{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),$ затем каждый $Y_{i}$ следует независимому распределению Пуассона $Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.$
• Распределение Пуассона является частным случаем дискретного составного распределения Пуассона (или распределения Пуассона заикания) только с параметром. Дискретное составное распределение Пуассона можно вывести из предельного распределения одномерного полиномиального распределения. Это также частный случай составного распределения Пуассона .
• Для достаточно больших значений λ (скажем, λ > 1000) нормальное распределение со средним значением λ и дисперсией λ (стандартное отклонение ${\sqrt {\lambda }}$) является отличным приближением к распределению Пуассона. Если λ больше примерно 10, то нормальное распределение является хорошим приближением, если соответствующая коррекция непрерывности выполняется , т. е. если P( X ≤ x ) , где x - неотрицательное целое число, заменяется на P ( X ≤ x ). х + 0,5) .
  $$F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )$$
• Преобразование, стабилизирующее дисперсию : Если $X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),$ затем
  $$Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),$$
  и
  $$Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).$$
  При этом преобразовании достигается сходимость к нормальности (т. $\lambda$ увеличивается) намного быстрее, чем непреобразованная переменная. Доступны и другие, немного более сложные преобразования, стабилизирующие дисперсию: одним из которых является преобразование Анскомба . См. Преобразование данных (статистика) для более общего использования преобразований.
• Если для каждого t > 0 количество поступлений во временном интервале [0, t ] соответствует распределению Пуассона со средним значением λt , то последовательность времен между поступлениями представляет собой независимые и одинаково распределенные экспоненциальные случайные величины со средним значением 1/ λ .
• Кумулятивные функции распределения распределений Пуассона и хи-квадрат связаны следующим образом:
  $$F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,$$
  и
  $$P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).$$

Пуассоновское приближение

Предполагать $X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})$ где $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,$ затем $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ имеет полиномиальное распределение $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ обусловлено $N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.$

Это означает , среди прочего, что для любой неотрицательной функции $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ если $(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )$ распределено полиномиально, то

$$\operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]$$

где $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).$

Фактор $e{\sqrt {m}}$ можно заменить на 2, если $f$ далее предполагается, что она монотонно возрастает или убывает.

Двумерное распределение Пуассона

Это распределение было распространено на двумерный случай. Производящая функция для этого распределения равна

$$g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]$$

с

$$\theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0$$

Маргинальными распределениями являются Пуассон ( θ ₁ ) и Пуассон ( θ ₂ ), а коэффициент корреляции ограничен диапазоном

$$0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}$$

Простой способ создания двумерного распределения Пуассона $X_{1},X_{2}$ состоит в том, чтобы взять три независимых распределения Пуассона $Y_{1},Y_{2},Y_{3}$ со средствами $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ а затем установить $X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.$ Функция вероятности двумерного распределения Пуассона равна

$$\Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}$$

Бесплатное распределение Пуассона

Бесплатное распределение Пуассона с размером прыжка $\alpha$ и оцените $\lambda$ возникает в теории свободных вероятностей как предел повторяющейся свободной свертки

$$\left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}$$

при N → ∞ .

Другими словами, пусть $X_{N}$ быть случайными величинами, так что $X_{N}$ имеет ценность $\alpha$ с вероятностью ${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$и значение 0 с остаточной вероятностью. Предположим также, что семья $X_{1},X_{2},\ldots$являются свободно независимыми . Тогда предел как $N\to \infty$ закона $X_{1}+\cdots +X_{N}$ задается законом Свободного Пуассона с параметрами $\lambda ,\alpha .$

Это определение аналогично одному из способов получения классического распределения Пуассона из (классического) пуассоновского процесса.

Мера, связанная со свободным законом Пуассона, определяется выражением

$$\mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}$$

где

$$\nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt$$

и имеет поддержку $[\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].$

Этот закон также возникает в теории случайных матриц как закон Марченко-Пастура . Его свободные кумулянты равны $\kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.$

Некоторые преобразования этого закона

Мы приводим значения некоторых важных преобразований свободного закона Пуассона; вычисление можно найти, например, в книге «Лекции по комбинаторике свободной вероятности» А. Ники и Р. Спайхера.

R-преобразование свободного закона Пуассона имеет вид

$$R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.$$

Преобразование Коши (которое является отрицательным преобразованием Стилтьеса ) определяется выражением

$$G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}$$

S-преобразование определяется выражением

$$S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}$$

в случае, если $\alpha =1.$

Количество Вейбулла и Стабиля

Функция вероятности Пуассона $f(k;\lambda )$может быть выражено в форме, аналогичной распределению продуктов распределения Вейбулла и вариантной форме распределения стабильного количества . Переменная $(k+1)$ можно рассматривать как обратную величину параметра устойчивости Леви в стабильном распределении количества:

$$f(k;\lambda )=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{u}}\,W_{k+1}({\frac {\lambda }{u}})\left[\left(k+1\right)u^{k}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{k+1}}\left(u^{k+1}\right)\right]\,du,$$

где ${\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )$ представляет собой стандартное стабильное распределение чисел формы $\alpha =1/\left(k+1\right),$ и $W_{k+1}(x)$ представляет собой стандартное распределение Вейбулла формы $k+1.$

Статистические выводы

Смотрите также: регрессия Пуассона

Оценка параметров

Учитывая выборку из n измеренных значений $k_{i}\in \{0,1,\dots \},$для i = 1, ..., n мы хотим оценить значение параметра λ пуассоновской популяции, из которой была взята выборка. Оценка максимального правдоподобия равна

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .$

Поскольку каждое наблюдение имеет математическое ожидание λ, то же самое имеет и среднее значение выборки. Следовательно, оценка максимального правдоподобия является несмещенной оценкой λ . Это также эффективный инструмент оценки, поскольку его дисперсия достигает нижней границы Крамера – Рао (CRLB). Следовательно, он является несмещенным с минимальной дисперсией . Также можно доказать, что сумма (и, следовательно, выборочное среднее, поскольку оно является взаимно однозначной функцией суммы) является полной и достаточной статистикой для λ .

Для доказательства достаточности можно воспользоваться теоремой факторизации . Рассмотрим разделение функции массы вероятности совместного распределения Пуассона для выборки на две части: одна, которая зависит исключительно от выборки. $\mathbf {x}$, называется $h(\mathbf {x} )$и тот, который зависит от параметра $\lambda$ и образец $\mathbf {x}$ только через функцию $T(\mathbf {x} ).$ Затем $T(\mathbf {x} )$ является достаточной статистикой для $\lambda .$

$P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }$

Первый срок $h(\mathbf {x} )$ зависит только от $\mathbf {x}$. Второй срок $g(T(\mathbf {x} )|\lambda )$ зависит от выборки только через ${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$ Таким образом, $T(\mathbf {x} )$ достаточно.

Чтобы найти параметр λ , который максимизирует функцию вероятности для популяции Пуассона, мы можем использовать логарифм функции правдоподобия:

${\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}$

Берем производную от $\ell$ по λ и сравниваем его с нулем:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!$

Решение для λ дает стационарную точку.

$\lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}$

Таким образом, λ — это среднее значение k _i . Получение знака второй производной L в стационарной точке определит, какое экстремальное значение представляет собой λ .

${\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}$

Оценка второй производной в стационарной точке дает:

${\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}$

что является отрицательным значением, умноженным на обратную величину среднего значения k _i . Это выражение является отрицательным, когда среднее значение положительное. Если это выполняется, то стационарная точка максимизирует функцию вероятности.

Для полноты семейство распределений называется полным тогда и только тогда, когда $E(g(T))=0$ подразумевает, что $P_{\lambda }(g(T)=0)=1$ для всех $\lambda .$ Если человек $X_{i}$ являются идентификаторами $\mathrm {Po} (\lambda ),$ затем ${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$ Зная распределение, которое мы хотим исследовать, легко увидеть, что статистика полная.

$E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0$

Чтобы это равенство соблюдалось, $g(t)$ должно быть равно 0. Это следует из того, что ни одно из других слагаемых не будет равно 0 для всех $t$ в сумме и для всех возможных значений $\lambda .$ Следовательно, $E(g(T))=0$ для всех $\lambda$ подразумевает, что $P_{\lambda }(g(T)=0)=1,$ и статистика оказалась полной.

Доверительный интервал

Доверительный интервал для среднего значения распределения Пуассона можно выразить с помощью соотношения между кумулятивными функциями распределения распределения Пуассона и распределения хи-квадрат . Распределение хи-квадрат само по себе тесно связано с гамма-распределением , и это приводит к альтернативному выражению. Учитывая наблюдение k из распределения Пуассона со средним значением µ , доверительный интервал для µ с уровнем достоверности 1 – α равен

${\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),$

или эквивалентно,

$F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),$

где $\chi ^{2}(p;n)$ - функция квантиля (соответствующая нижней области хвоста p ) распределения хи-квадрат с n степенями свободы и $F^{-1}(p;n,1)$ — это функция квантиля гамма-распределения с параметром формы n и параметром масштаба 1. Этот интервал является « точным » в том смысле, что вероятность его покрытия никогда не меньше номинального 1 – α .

Когда квантили гамма-распределения недоступны, была предложена точная аппроксимация этого точного интервала (на основе преобразования Вильсона-Хилферти ):

$k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},$

где $z_{\alpha /2}$ обозначает стандартное нормальное отклонение с верхней областью хвоста α/2 .

Для применения этих формул в том же контексте, что и выше (с учетом выборки из n измеренных значений k _i, каждое из которых взято из распределения Пуассона со средним значением λ ), можно было бы установить

$k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},$

вычислите интервал для µ = n λ , а затем выведите интервал для λ .

Байесовский вывод

В байесовском выводе априорным параметром скорости λ распределения Пуассона является гамма-распределение . Позволять

$\lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )$

обозначаем, что λ распределяется в соответствии с плотностью гамма-излучения g , параметризованной параметром формы α и обратным параметром масштаба β :

$g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.$

Затем, учитывая ту же выборку из n измеренных значений k _i, что и раньше , и априорное значение Gamma( α , β ), апостериорное распределение будет

$\lambda \sim \mathrm {Gamma} \left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right).$

Обратите внимание, что апостериорное среднее линейное и определяется выражением

$E[\lambda |k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.$

Можно показать, что гамма-распределение является единственным априором, который вызывает линейность условного среднего. Более того, существует обратный результат, который гласит, что если условное среднее близко к линейной функции в $L_{2}$ расстояние, чем априорное распределение λ, должно быть близко к гамма-распределению на расстоянии Леви .

Апостериорное среднее E[ λ ] приближается к оценке максимального правдоподобия ${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }$ в пределе как $\alpha \to 0,\beta \to 0,$ что непосредственно следует из общего выражения среднего гамма -распределения .

Апостериорное прогнозирующее распределение для одного дополнительного наблюдения представляет собой отрицательное биномиальное распределение , иногда называемое распределением гамма-Пуассона.

Одновременная оценка нескольких средних Пуассона

Предполагать $X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}$ представляет собой набор независимых случайных величин из множества $p$ Распределения Пуассона, каждое с параметром $\lambda _{i},$ $i=1,\dots ,p,$и мы хотели бы оценить эти параметры. Затем Клевенсон и Зидек показывают, что при нормализованных квадратах ошибок потери ${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$ когда $p>1,$ затем, как и в примере Штейна для нормальных средних, оценщик MLE ${\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}$ недопустимо ​ .

В этом случае семейство минимаксных оценок задано для любого $0<c\leq 2(p-1)$ и $b\geq (p-2+p^{-1})$ как

${\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.$

Возникновение и применение

Некоторые применения распределения Пуассона для подсчета данных (количества событий):

• телекоммуникации : телефонные звонки, поступающие в систему,
• астрономия : фотоны, попадающие в телескоп,
• химия : распределение молярной массы живой полимеризации ,
• биология : количество мутаций в цепи ДНК на единицу длины,
• управление : клиенты, приходящие к стойке или колл-центру,
• финансы и страхование : количество убытков или претензий, произошедших за определенный период времени,
• сейсмология : асимптотическая модель Пуассона риска сильных землетрясений,
• радиоактивность : распадается за заданный интервал времени в радиоактивном образце,
• оптика : количество фотонов, испускаемых за один лазерный импульс (основная уязвимость протоколов распределения квантовых ключей , известная как расщепление числа фотонов).

Дополнительные примеры подсчета событий, которые можно смоделировать как процессы Пуассона, включают:

• кавалерии погибают солдаты от ударов лошадьми каждый год в каждом корпусе прусской . Этот пример был использован в книге Ладислава Борткевича (1868–1931).
• дрожжевые клетки, используемые при варке пива Guinness . Этот пример использовал Уильям Сили Госсет (1876–1937),
• телефонные звонки поступают в колл-центр в течение минуты. Этот пример описал А. К. Эрланг (1878–1929),
• цели в спорте с участием двух конкурирующих команд,
• смертей в год в данной возрастной группе,
• скачки цены акций в заданном интервале времени,
• количество обращений к веб-серверу в минуту (при условии однородности ),
• мутации на данном участке ДНК после определенного количества радиации,
• клетки, инфицированные при заданной множественности заражения ,
• бактерии в определенном количестве жидкости,
• фотоны , поступающие в схему пикселя при заданном освещении в течение заданного периода времени,
• посадка летающих бомб Фау-1 на Лондон во время Второй мировой войны, исследованная Р.Д. Кларком в 1946 году.

В вероятностной теории чисел Галлахер показал определенная версия недоказанной гипотезы о простых r-кортежах , в 1976 году, что, если верна тогда подсчет простых чисел на коротких интервалах будет подчиняться распределению Пуассона.

Закон редких событий

Основная статья: предельная теорема Пуассона

Сравнение распределения Пуассона (черные линии) и биномиального распределения с n = 10 (красные кружки), n = 20 (синие кружки), n = 1000 (зеленые кружки). Все распределения имеют среднее значение 5. Горизонтальная ось показывает количество событий k . По мере увеличения n распределение Пуассона становится все более лучшим приближением биномиального распределения с тем же средним значением.

Скорость события связана с вероятностью того, что событие произойдет в каком-то небольшом подинтервале (времени, пространстве или иным образом). В случае распределения Пуассона предполагается, что существует достаточно малый подинтервал, для которого вероятность того, что событие произойдет дважды, «незначительна». С этим предположением можно получить распределение Пуассона из биномиального, учитывая только информацию об ожидаемом количестве общих событий во всем интервале.

Обозначим общее количество событий на всем интервале через $\lambda .$ Разобьем весь интервал на $n$ подинтервалы $I_{1},\dots ,I_{n}$ одинакового размера, такого, что $n>\lambda$(поскольку нас интересуют лишь очень малые части интервала, это предположение имеет смысл). Это означает, что ожидаемое количество событий в каждом из n подинтервалов равно $\lambda /n.$

Теперь предположим, что возникновение события на всем интервале можно рассматривать как последовательность n испытаний Бернулли , где $i$-е испытание Бернулли соответствует проверке того, происходит ли событие на подинтервале. $I_{i}$ с вероятностью $\lambda /n.$ Ожидаемое общее количество событий в $n$ такие испытания были бы $\lambda ,$ожидаемое количество общих событий за весь интервал. Следовательно, для каждого подразделения интервала мы аппроксимировали возникновение события как процесс Бернулли вида ${\textrm {B}}(n,\lambda /n).$Как мы уже отмечали ранее, мы хотим рассматривать только очень маленькие подинтервалы. Поэтому мы принимаем предел как $n$ уходит в бесконечность.

В этом случае биномиальное распределение сходится к так называемому распределению Пуассона по предельной теореме Пуассона .

В некоторых из приведенных выше примеров, таких как количество мутаций в данной последовательности ДНК, подсчитываемые события на самом деле являются результатами дискретных испытаний и более точно могут быть смоделированы с использованием биномиального распределения , то есть

$$X\sim {\textrm {B}}(n,p).$$

В таких случаях n очень велико, а p очень мало (поэтому математическое ожидание np имеет промежуточную величину). Тогда распределение можно аппроксимировать менее громоздким распределением Пуассона

$$X\sim {\textrm {Pois}}(np).$$

Это приближение иногда называют законом редких событий . поскольку каждое из n отдельных событий Бернулли происходит редко.

Название «закон редких событий» может ввести в заблуждение, поскольку общее количество успешных событий в пуассоновском процессе не обязательно должно быть редким, если параметр np не мал. Например, количество телефонных звонков на занятой коммутатор за один час подчиняется распределению Пуассона, при этом оператору события кажутся частыми, но они редки с точки зрения среднего члена населения, который вряд ли что-то сделает. звонок на этот коммутатор в этот час.

Дисперсия биномиального распределения в 1 - p раз больше, чем у распределения Пуассона, поэтому почти равна, когда p очень мало.

Слово закон иногда используется как синоним распределения вероятностей , а конвергенция в законе означает конвергенцию в распределении . Соответственно, распределение Пуассона иногда называют «законом малых чисел», поскольку оно представляет собой распределение вероятностей числа появлений события, которое случается редко, но имеет очень много возможностей произойти. «Закон малых чисел» — книга Ладислава Борткевича о распределении Пуассона, опубликованная в 1898 году.

Точный процесс Пуассона

Основная статья: точечный процесс Пуассона

Распределение Пуассона возникает как количество точек точечного процесса Пуассона , расположенных в некоторой конечной области. Точнее, если D — некоторое региональное пространство, например евклидово пространство R. ^д , для чего | D |, площадь, объём или, в более общем плане, мера Лебега области конечна, и если N ( D ) обозначает количество точек в D , то

$P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.$

Регрессия Пуассона и отрицательная биномиальная регрессия

Регрессия Пуассона и отрицательная биномиальная регрессия полезны для анализа, где зависимой переменной (откликом) является количество (0, 1, 2,...) количества событий или вхождений в интервале.

Другие применения в науке

В процессе Пуассона количество наблюдаемых событий колеблется вокруг среднего значения λ со стандартным отклонением . $\sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.$ Эти колебания обозначаются как шум Пуассона или (особенно в электронике) как дробовой шум .

Корреляция среднего и стандартного отклонения при подсчете независимых дискретных событий полезна с научной точки зрения. Отслеживая, как колебания изменяются в зависимости от среднего сигнала, можно оценить вклад одного события, даже если этот вклад слишком мал, чтобы его можно было обнаружить напрямую . Например, заряд e электрона можно оценить, сопоставив величину электрического тока с его дробовым шумом . Если N электронов проходят точку в среднем за заданное время t , средний ток равен $I=eN/t$; поскольку колебания тока должны быть порядка $\sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t$ (т. е. стандартное отклонение процесса Пуассона ), заряд $e$ можно оценить из соотношения $t\sigma _{I}^{2}/I.$

Повседневный пример — зернистость, появляющаяся при увеличении фотографий; зернистость обусловлена ​​пуассоновскими колебаниями количества восстановленных зерен серебра , а не самими отдельными зернами. Сопоставляя . зернистость со степенью увеличения, можно оценить вклад отдельного зерна (которое в противном случае слишком мало, чтобы его можно было увидеть без посторонней помощи) Были разработаны многие другие молекулярные применения шума Пуассона, например, оценка плотности числа рецепторных молекул в клеточной мембране .

$\Pr(N_{t}=k)=f(k;\lambda t)={\frac {(\lambda t)^{k}e^{-\lambda t}}{k!}}.$

В теории причинных множеств дискретные элементы пространства-времени подчиняются распределению Пуассона в объеме.

Распределение Пуассона появляется также в квантовой механике , особенно в квантовой оптике . А именно, для системы квантовых гармонических осцилляторов в когерентном состоянии вероятность измерения определенного уровня энергии имеет распределение Пуассона.

Вычислительные методы

Распределение Пуассона ставит перед специализированными программными библиотеками две разные задачи: оценка распределения $P(k;\lambda )$и рисуем случайные числа в соответствии с этим распределением.

Оценка распределения Пуассона

Вычисление $P(k;\lambda )$ для данного $k$ и $\lambda$ — это тривиальная задача, которую можно решить, используя стандартное определение $P(k;\lambda )$в терминах экспоненциальной, степенной и факториальной функций. Однако традиционное определение распределения Пуассона содержит два термина, которые легко переполниться на компьютерах: λ ^к и к ! . Доля λ ^к к к ! также может привести к очень большой ошибке округления по сравнению с e ^{− л} , и поэтому дают ошибочный результат. Поэтому для численной стабильности функцию массы вероятности Пуассона следует оценивать как

$\!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],$

что математически эквивалентно, но численно стабильно. Натуральный логарифм гамма -функции можно получить с помощью lgamma функция в стандартной библиотеке C (версия C99) или R , gammaln функция в MATLAB или SciPy или log_gamma функция в Fortran 2008 и более поздних версиях.

Некоторые компьютерные языки предоставляют встроенные функции для оценки распределения Пуассона, а именно:

• Р : функция dpois(x, lambda);
• Эксель : функция POISSON( x, mean, cumulative), с флагом, указывающим совокупное распределение;
• Mathematica : одномерное распределение Пуассона как PoissonDistribution[$\lambda$], двумерное распределение Пуассона как MultivariatePoissonDistribution[$\theta _{12},${ $\theta _{1}-\theta _{12},$ $\theta _{2}-\theta _{12}$}],.

Генерация случайной переменной

Дополнительная информация: Генерация неоднородных случайных величин.

Менее тривиальная задача — извлечь целочисленную случайную величину из распределения Пуассона с заданными $\lambda .$

Решения предоставляют:

• Р : функция rpois(n, lambda);
• Научная библиотека GNU (GSL): функция gsl_ran_poisson

Простой алгоритм генерации случайных чисел с распределением Пуассона ( выборка псевдослучайных чисел ) был предложен Кнутом :

Алгоритм   случайного числа Пуассона (Кнут)  : 
      в этом  : 
          Пусть  L ←  e -л , k ← 0 и p ← 1. 
      делать  : 
          к ← к + 1. 
          Сгенерируйте равномерное случайное число u в [0,1] и  пусть  p ← p × u. 
      в то время как  р > L. 
      вернуть  k - 1. 
 

Сложность линейна по возвращаемому значению k , которое в среднем равно λ . Есть много других алгоритмов для улучшения этого. Некоторые из них приведены у Аренса и Дитера, см. § Ссылки ниже.

Для больших значений λ значение L = e ^{− л} может быть настолько мал, что его трудно представить. Эту проблему можно решить, изменив алгоритм, который использует дополнительный параметр STEP, такой что e ^−ШАГ не выливается:

Алгоритм   случайного числа Пуассона (Цзюньхао, на основе Кнута)  : 
      в этом  : 
          Пусть   λ  Left ←  λ  , k ← 0 и p ← 1. 
      делать  : 
          к ← к + 1. 
          Сгенерируйте равномерное случайное число u в (0,1) и  пусть  p ← p × u. 
          в то время как  p < 1 и  λ  Left > 0: 
              если   λ  влево > ШАГ: 
                  р ← р ×  е ШАГ 
                λ  влево ←  λ  влево — ШАГ 
              еще  : 
                  р ← р ×  е λ  слева 
                λ  слева ← 0 
      в то время как  р > 1. 
      вернуть  k - 1. 
 

Выбор STEP зависит от порога переполнения. Для формата с плавающей запятой двойной точности порог близок к e. ⁷⁰⁰ , поэтому 500 должно быть безопасным ШАГОМ .

Другие решения для больших значений λ включают браковочную выборку и использование гауссовой аппроксимации.

Выборка с обратным преобразованием проста и эффективна для малых значений λ и требует только одного равномерного случайного числа u на выборку. Кумулятивные вероятности проверяются по очереди, пока одна из них не превысит u .

Алгоритм   генератора Пуассона, основанный на инверсии методом последовательного поиска  : 
    в этом  : 
          Пусть  x ← 0, p ←  e -л , с ← с. 
          Сгенерируйте равномерное случайное число u в [0,1]. 
      пока  ты >  делаешь  : 
          х ← х + 1. 
          р ← р ×  λ  / х. 
          с ← с + р. 
      вернуть  х. 
 

Смотрите также

• Биномиальное распределение
• Составное распределение Пуассона
• Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона
• Распределение Эрланга
• Экспоненциальное распределение
• Гамма-распределение
• Распространение отшельника
• Индекс дисперсии
• Отрицательное биномиальное распределение
• Пуассоновое слипание
• Точный процесс Пуассона
• Регрессия Пуассона
• Выборка по Пуассону
• Пуассоновский вейвлет
• Теория массового обслуживания
• Теория обновления
• Лемма Роббинса
• Распространение Скеллама
• Раздача твиди
• Модель с нулевым завышением
• Распределение Пуассона с нулевым усечением

Рекомендации

Источники

• Аренс, Иоахим Х.; Дитер, Ульрих (1974). «Компьютерные методы выборки из гамма-, бета-, пуассоновского и биномиального распределений». Вычисление . 12 (3): 223–246. дои : 10.1007/BF02293108 . S2CID   37484126 .
• Аренс, Иоахим Х.; Дитер, Ульрих (1982). «Компьютерная генерация отклонений Пуассона» . Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 8 (2): 163–179. дои : 10.1145/355993.355997 . S2CID   12410131 .
• Эванс, Рональд Дж.; Боерсма, Дж.; Блахман, Нью-Мексико; Ягерс, А.А. (1988). «Энтропия распределения Пуассона: задача 87-6» . Обзор СИАМ . 30 (2): 314–317. дои : 10.1137/1030059 .