Распределение Гомпертца

Распределение Гомпертца

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	форма $\eta >0\,\!$, шкала $b>0\,\!$
Поддерживать	$x\in [0,\infty )\!$
PDF	$b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right)$
CDF	$1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right)$
Квантиль	${\frac {1}{b}}\ln \left(1-{\frac {1}{\eta }}\ln(1-u)\right)$
Иметь в виду	$(1/b)e^{\eta }{\text{Ei}}\left(-\eta \right)$ ${\text{where Ei}}\left(z\right)=\int \limits _{-z}^{\infty }\left(e^{-v}/v\right)dv$
медиана	$\left(1/b\right)\ln \left[\left(1/\eta \right)\ln \left(1/2\right)+1\right]$
Режим	$=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right)\$ ${\text{with }}0<{\text{F}}\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121,0<\eta <1$ $=0,\quad \eta \geq 1$
Дисперсия	$\left(1/b\right)^{2}e^{\eta }\{-2\eta {\ }_{3}{\text{F}}_{3}\left(1,1,1;2,2,2;\eta \right)+\gamma ^{2}$$+\left(\pi ^{2}/6\right)+2\gamma \ln \left(\eta \right)+[\ln \left(\eta \right)]^{2}-e^{\eta }[{\text{Ei}}\left(-\eta \right)]^{2}\}$ ${\begin{aligned}{\text{ where }}&\gamma {\text{ is the Euler constant: }}\,\!\\&\gamma =-\psi \left(1\right)={\text{0.577215... }}\end{aligned}}$${\begin{aligned}{\text{ and }}{}_{3}{\text{F}}_{3}&\left(1,1,1;2,2,2;-z\right)=\\&\sum _{k=0}^{\infty }\left[1/\left(k+1\right)^{3}\right]\left(-1\right)^{k}\left(z^{k}/k!\right)\end{aligned}}$
МГФ	${\text{E}}\left(e^{-tx}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)$ ${\text{with E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0$

В теории вероятности и статистике распределение Гомпертца представляет собой непрерывное распределение вероятностей , названное в честь Бенджамина Гомпертца . для описания распределения продолжительности жизни взрослого населения. Распределение Гомпертца часто применяется демографами и актуарии . Смежные области науки, такие как биология и геронтология также рассмотрел распределение Гомпертца для анализа выживаемости. Совсем недавно ученые-компьютерщики также начали моделировать частоту отказов компьютерного кода с помощью распределения Гомпертца. В маркетинговой науке он использовался в качестве моделирования индивидуального уровня для моделирования пожизненной ценности клиента . В теории сетей , особенно в модели Эрдеша-Реньи , длина случайного самоизбегающего блуждания (SAW) распределяется в соответствии с распределением Гомпертца.

Спецификация

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения Гомпертца:

$f\left(x;\eta ,b\right)=b\eta \exp \left(\eta +bx-\eta e^{bx}\right){\text{for }}x\geq 0,\,$

где $b>0\,\!$ является параметром масштаба и $\eta >0\,\!$ – параметр формы распределения Гомпертца. В актуарных и биологических науках, а также в демографии распределение Гомпертца параметризуется несколько иначе ( закон смертности Гомпертца-Мейкхема ).

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения распределения Гомпертца:

$F\left(x;\eta ,b\right)=1-\exp \left(-\eta \left(e^{bx}-1\right)\right),$

где $\eta ,b>0,$ и $x\geq 0\,.$

Функция генерации момента

Производящая функция момента:

${\text{E}}\left(e^{-tX}\right)=\eta e^{\eta }{\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)$

где

${\text{E}}_{t/b}\left(\eta \right)=\int _{1}^{\infty }e^{-\eta v}v^{-t/b}dv,\ t>0.$

Характеристики

Распределение Гомпертца — это гибкое распределение, которое можно наклонять вправо и влево. Его функция опасности $h(x)=\eta be^{bx}$ является выпуклой функцией $F\left(x;\eta ,b\right)$. Модель может быть вписана в парадигму инноваций-имитации с $p=\eta b$ как коэффициент инновационности и $b$ как коэффициент имитации. Когда $t$ становится большим, $z(t)$ подходы $\infty$. Модель также может принадлежать к парадигме склонности к принятию с $\eta$ как склонность к принятию и $b$ как общая привлекательность нового предложения.

Формы

Функция плотности Гомпертца может принимать различную форму в зависимости от значений параметра формы. $\eta \,\!$:

• Когда $\eta \geq 1,\,$ функция плотности вероятности имеет моду, равную 0.
• Когда $0<\eta <1,\,$ функция плотности вероятности имеет свой режим при

$x^{*}=\left(1/b\right)\ln \left(1/\eta \right){\text{with }}0<F\left(x^{*}\right)<1-e^{-1}=0.632121$

Расхождение Кульбака-Лейблера

Если $f_{1}$ и $f_{2}$ являются функциями плотности вероятности двух распределений Гомпертца, то их расхождение Кульбака-Лейблера определяется выражением

${\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;b_{1},\eta _{1})}{f_{2}(x;b_{2},\eta _{2})}}dx\\&=\ln {\frac {e^{\eta _{1}}\,b_{1}\,\eta _{1}}{e^{\eta _{2}}\,b_{2}\,\eta _{2}}}+e^{\eta _{1}}\left[\left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}-1\right)\,\operatorname {Ei} (-\eta _{1})+{\frac {\eta _{2}}{\eta _{1}^{\frac {b_{2}}{b_{1}}}}}\,\Gamma \left({\frac {b_{2}}{b_{1}}}+1,\eta _{1}\right)\right]-(\eta _{1}+1)\end{aligned}}$

где $\operatorname {Ei} (\cdot )$ обозначает экспоненциальный интеграл и $\Gamma (\cdot ,\cdot )$ – верхняя неполная гамма-функция .

Связанные дистрибутивы

• Если X определяется как результат выборки из распределения Гамбеля отрицательное значение Y до тех пор, пока не будет получено , и установлено X =− Y , тогда X имеет распределение Гомпертца.
• Гамма -распределение является естественным сопряжением до вероятности Гомпертца с известным параметром масштаба. $b\,\!.$
• Когда $\eta \,\!$ варьируется в зависимости от гамма-распределения с параметром формы $\alpha \,\!$ и параметр масштабирования $\beta \,\!$ (среднее = $\alpha /\beta \,\!$), распределение $x$ это Гамма/Гомпертц.

Распределение Гомпертца соответствует максимальному месячному количеству осадков за 1 день.

• Если $Y\sim \mathrm {Gompertz}$, затем $X=\exp(Y)\sim \mathrm {Weibull} ^{-1}$, и, следовательно, $\exp(-Y)\sim \mathrm {Weibull}$.

Приложения

• В гидрологии распределение Гомпертца применяется к экстремальным явлениям, таким как годовое максимальное количество осадков за один день и речной сток. На синем рисунке показан пример подбора распределения Гомпертца к ранжированному максимальному годовому количеству осадков за один день, а также 90% доверительный интервал, основанный на биномиальном распределении . Данные об осадках представлены в виде координат на графике в рамках кумулятивного частотного анализа .

См. также

• Закон смертности Гомпертца-Мейкхема
• Функция Гомпертца
• Пожизненная ценность клиента
• Гамма-распределение Гомпертца

Ссылки

• Беммаор, Альберт К.; Глэди, Николас (2011). «Реализация модели Gamma/Gompertz/NBD в MATLAB» (PDF) . Сержи-Понтуаз: Бизнес-школа ESSEC.
• Гомпертц, Б. (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизни при непредвиденных обстоятельствах» . Философские труды Лондонского королевского общества . 115 : 513–583. дои : 10.1098/rstl.1825.0026 . JSTOR   107756 . S2CID   145157003 .
• Джонсон, Норман Л.; Коц, Сэмюэл; Балакришнан, Н. (1995). Непрерывные одномерные распределения . Том. 2 (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 25–26. ISBN  0-471-58494-0 .
• Шейх, АК; Боа, Дж. К.; Юнас, М. (1989). «Усеченная модель экстремальных значений надежности трубопроводов». Инженерия надежности и системная безопасность . 25 (1): 1–14. дои : 10.1016/0951-8320(89)90020-3 .