( a , b ,0) класс распределений

В теории вероятностей членом ( a , b класса распределений , 0) является любое распределение дискретной случайной величины N , значения которого являются неотрицательными целыми числами, чья массовая функция вероятности удовлетворяет рекуррентной формуле

{\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=a+{\frac {b}{k}},\qquad k=1,2,3,\dots

для некоторых действительных чисел a и b , где $p_{k}=P(N=k)$ .

Класс распределений (a,b,0) также известен как Панджер. ^[1]^[2] или распределения типа Пуассона семейства Каца, ^[3]^[4] и может быть получен с помощью распределения Конвея-Максвелла-Пуассона .

Только распределения Пуассона , биномиальное и отрицательное биномиальное распределения удовлетворяют полной форме этого соотношения. Это также три дискретных распределения среди шести членов натурального экспоненциального семейства с квадратичными функциями дисперсии (NEF – QVF).

Более общие распределения можно определить, зафиксировав некоторые начальные значения p _j и применив рекурсию для определения последующих значений. Это может быть полезно при подгонке распределений к эмпирическим данным. Однако доступны некоторые другие хорошо известные распределения, если приведенная выше рекурсия должна выполняться только для ограниченного диапазона значений k : ^[5] например, логарифмическое распределение и дискретное равномерное распределение .

( a , b Класс распределений , 0) имеет важные применения в актуарной науке в контексте моделей потерь. ^[6]

Характеристики

Здоровый ^[7] доказал, что к этому классу распределений принадлежат только биномиальное распределение , распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение , причем каждое распределение представлено различным знаком a . Кроме того, это было показано Факлером. ^[2] что существует универсальная формула для всех трех распределений, называемая (объединенным) распределением Панджера .

Более обычные параметры этих распределений определяются как a, так и b . Свойства этих распределений по отношению к нынешнему классу распределений суммированы в следующей таблице. Обратите внимание, что $W_{N}(x)\,$ обозначает функцию, производящую вероятность .

Распределение	$P[N=k]\,$	$a\,$	$b\,$	$p_{0}\,$	$W_{N}(x)\,$	$\operatorname {E} [N]\,$	$\operatorname {Var} (N)\,$
Биномиальный	${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$	${\frac {-p}{1-p}}$	${\frac {p(n+1)}{1-p}}$	$(1-p)^{n}\,$	$(px+(1-p))^{n}\,$	$np\,$	$np(1-p)\,$
Пуассон	$e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,$	$0\,$	$\lambda \,$	$e^{-\lambda }\,$	$e^{\lambda (x-1)}\,$	$\lambda \,$	$\lambda \,$
Отрицательный бином	${\frac {\Gamma (r+k)}{k!\,\Gamma (r)}}\,p^{r}\,(1-p)^{k}\,$	$1-p\,$	$(1-p)(r-1)\,$	$p^{r}\,$	$\left({\frac {p}{1-x(1-p)}}\right)^{r}\,$	${\frac {r(1-p)}{p}}\,$	${\frac {r(1-p)}{p^{2}}}\,$
Распределение Панджера	$\left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\prod _{i=0}^{k-1}{\frac {\alpha +i}{\alpha +\lambda }}\,$	${\frac {\lambda }{\alpha +\lambda }}\,$	${\frac {(\alpha -1)\lambda }{\alpha +\lambda }}\,$	$\left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)^{-\alpha }\,$	$\left(1-{\frac {\lambda }{\alpha }}(x-1)\right)^{-\alpha }\,$	$\lambda \,$	$\lambda \left(1+{\frac {\lambda }{\alpha }}\right)\,$

Заметим, что в предельном случае распределение Панжера сводится к распределению Пуассона $\alpha \rightarrow \pm \infty$ ; оно совпадает с отрицательным биномиальным распределением для положительных конечных действительных чисел $\alpha \in \mathbb {R} _{>0}$ , и оно соответствует биномиальному распределению для отрицательных целых чисел $-\alpha \in \mathbb {Z}$ .

Построение графика

Простой способ быстро определить, была ли данная выборка взята из распределения класса ( a , b ,0), — это построить график отношения двух последовательных наблюдаемых данных (умноженных на константу) по оси x .

Умножив обе части рекурсивной формулы на $k$ , ты получишь

k\,{\frac {p_{k}}{p_{k-1}}}=ak+b,

что показывает, что левая часть, очевидно, является линейной функцией от $k$ . При использовании образца $n$ данные, приближение $p_{k}$ это нужно сделать. Если $n_{k}$ представляет количество наблюдений, имеющих значение $k$ , затем ${\hat {p}}_{k}={\frac {n_{k}}{n}}$ является беспристрастным оценщиком истинного $p_{k}$ .

Следовательно, если виден линейный тренд, то можно предположить, что данные взяты из распределения ( a , b ,0). Более того, наклон функции будет параметром $a$ , а ордината в начале координат будет $b$ .

См. также

Ссылки

^ Панджер, Гарри Х. (1981). «Рекурсивная оценка семейства сложных распределений» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 12 (1): 22–26.
^ Jump up to: ^а ^б Факлер, Майкл (2009). «Объединенный класс Панджера — одна формула для распределения Пуассона, биномиального и отрицательного биномиального распределения» (PDF) . Коллоквиум АСТИН . Международная актуарная ассоциация .
^ Кац, Лео (1965). Ганапати Патил (ред.). Унифицированное рассмотрение широкого класса дискретных распределений вероятностей . Классические и заразные дискретные распределения. Пергамон Пресс, Оксфорд. стр. 175–182.
^ Гэти, Мод; Лефевр, Клод (2010). «О лагранжевом семействе распределений Каца как модели частоты утверждений» . Страхование: Математика и Экономика . 47 (1): 78–83. doi : 10.1016/j.insmatheco.2010.03.010 .
^ Гесс, Клаус Т.; Лиевальд, Анетт; Шмидт, Клаус Д. (2002). «Расширение рекурсии Панджера» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 32 (2): 283–297. дои : 10.2143/AST.32.2.1030 . Архивировано (PDF) из оригинала 11 июля 2009 г. Проверено 18 июня 2009 г.
^ Клагман, Стюарт; Панджер, Гарри ; Гордон, Уиллмот (2004). Модели потерь: от данных к решениям . Серия по вероятности и статистике (2-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-21577-6 .
^ Сундт, Бьёрн; Джуэлл, Уильям С. (1981). «Дальнейшие результаты по рекурсивной оценке составных распределений» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 12 (1): 27–39. дои : 10.1017/S0515036100006802 .

[Panjer-1] Панджер, Гарри Х. (1981). «Рекурсивная оценка семейства сложных распределений» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 12 (1): 22–26.

[Fackler-2] Jump up to: ^а ^б Факлер, Майкл (2009). «Объединенный класс Панджера — одна формула для распределения Пуассона, биномиального и отрицательного биномиального распределения» (PDF) . Коллоквиум АСТИН . Международная актуарная ассоциация .

[Katz-3] Кац, Лео (1965). Ганапати Патил (ред.). Унифицированное рассмотрение широкого класса дискретных распределений вероятностей . Классические и заразные дискретные распределения. Пергамон Пресс, Оксфорд. стр. 175–182.

[Gathy-4] Гэти, Мод; Лефевр, Клод (2010). «О лагранжевом семействе распределений Каца как модели частоты утверждений» . Страхование: Математика и Экономика . 47 (1): 78–83. doi : 10.1016/j.insmatheco.2010.03.010 .

[Schmidt-5] Гесс, Клаус Т.; Лиевальд, Анетт; Шмидт, Клаус Д. (2002). «Расширение рекурсии Панджера» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 32 (2): 283–297. дои : 10.2143/AST.32.2.1030 . Архивировано (PDF) из оригинала 11 июля 2009 г. Проверено 18 июня 2009 г.

[Klugman-6] Клагман, Стюарт; Панджер, Гарри ; Гордон, Уиллмот (2004). Модели потерь: от данных к решениям . Серия по вероятности и статистике (2-е изд.). Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-21577-6 .

[Sundt-7] Сундт, Бьёрн; Джуэлл, Уильям С. (1981). «Дальнейшие результаты по рекурсивной оценке составных распределений» (PDF) . Бюллетень АСТИН . 12 (1): 27–39. дои : 10.1017/S0515036100006802 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]