Лямбда-распределение Тьюки

Лямбда-распределение Тьюки

Функция плотности вероятности
Обозначения	Тьюки( λ )
Параметры	λ ∈ ℝ — параметр формы
Поддерживать	х € [ - 1 / л , 1 / λ ] если λ > 0 ,   Икс ∈ ℝ,   если λ ≤ 0 .
PDF	$\left(\ Q(\ p\ ;\lambda \ ),\ {\frac {1}{\ q(\ p\ ;\lambda \ )\ }}\ \right)\quad ~{\mathsf {for\ any}}~\quad p\;:\;0\leq \ p\ \leq \ 1$
CDF	${\Bigl (}\ Q(p;\lambda ),\ p\ {\Bigr )}~~{\mathsf {for\ any}}~~p\;:\;0\leq \ p\ \leq \ 1~$ (общий случай)   ${\frac {1}{\ e^{-x}+1\ }}\quad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda \ =\ 0\quad$ (частный случай точного решения)
Иметь в виду	$0\quad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda >-1\$
медиана	0
Режим	0
Дисперсия	${\frac {2}{\ \lambda ^{2}\ }}\left(\ {\frac {1}{\ 1+2\ \lambda \ }}-{\frac {\ \Gamma \,\!(\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma \,\!(\ 2\ \lambda +2\ )\ }}\right)\quad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda >-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\$   ${\frac {\ \pi ^{2}\ }{3}}\qquad \qquad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda \ =\ 0$
асимметрия	$0\qquad \qquad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda >-{\tfrac {\ 1\ }{3}}\$
Избыточный эксцесс	$~{\frac {\ (2\ \lambda +1)^{2}\cdot g_{2}^{2}\cdot {\big (}\ 3\ g_{2}^{2}-4\ g_{1}\ g_{3}+g_{4}\ {\big )}\ }{\ (\ 8\ \lambda +2\ )\cdot g_{4}\cdot {\big (}\ g_{1}^{2}-g_{2}\ {\big )}^{2}}}\ -\ 3\quad {\mathsf {if}}~~\lambda >0\ ,$   ${\frac {\ 6\ }{5}}\qquad \qquad ~{\mathsf {if}}~\quad \lambda \ =\ 0\ ;$   ${\mathsf {where}}\quad g_{k}\ \equiv \ \Gamma \,\!(\ k\,\lambda +1\ )\quad {\mathsf {and}}\quad \lambda \ >-{\tfrac {\ 1\ }{4}}~.$
Энтропия	$h(\lambda )=\int _{0}^{1}\ln {\bigl (}\ q(p;\lambda )\ {\bigr )}\ \operatorname {d} p~$
CF	$\phi (t;\lambda )=\int _{0}^{1}\exp {\bigl (}\ i\ t\ Q(p;\lambda )\ {\bigr )}\ \operatorname {d} p~$

Формализованное Джоном Тьюки , лямбда-распределение Тьюки представляет собой непрерывное симметричное распределение вероятностей, определенное через функцию квантиля . Обычно он используется для определения подходящего распределения (см. комментарии ниже) и не используется напрямую в статистических моделях .

Лямбда-распределение Тьюки имеет единственный формы параметр λ и, как и другие распределения вероятностей, его можно преобразовать с помощью местоположения параметра µ и масштаба параметра σ . Поскольку общий вид распределения вероятностей можно выразить через стандартное распределение, последующие формулы приводятся для стандартного вида функции.

Квантильная функция

Для стандартной формы лямбда-распределения Тьюки функция квантиля: $~Q(p)~,$ (т.е. функция, обратная кумулятивной функции распределения ) и функция плотности квантиля, $~q={\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}\ ,$ являются

$\ Q\left(\ p\ ;\lambda \ \right)~=~{\begin{cases}{\tfrac {1}{\ \lambda \ }}\left[\ p^{\lambda }-(1-p)^{\lambda }\ \right]\ ,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda \neq 0~,\\{}\\\ln \left({\frac {p}{\ 1-p\ }}\right)~,&\ {\mbox{ if }}\ \lambda =0~.\end{cases}}$

$q\left(\ p\ ;\lambda \ \right)~=~{\frac {\ \operatorname {d} Q\ }{\operatorname {d} p}}~=~p^{\lambda -1}+\left(\ 1-p\ \right)^{\lambda -1}~.$

Для большинства значений параметра формы λ функция плотности вероятности (PDF) и кумулятивная функция распределения (CDF) должны рассчитываться численно. Лямбда-распределение Тьюки имеет простую, замкнутую форму для CDF и/или PDF только для нескольких исключительных значений параметра формы, например: λ ∈ { 2, 1, 1/2 равномерное λ , 0 } (см. распределение [случай λ = 1 и ] = 2 ] и логистическое распределение [случай λ = 0 .

Однако для любого значения λ как CDF, так и PDF могут быть сведены в таблицу для любого количества кумулятивных вероятностей p с использованием функции квантиля Q для расчета значения x для каждой кумулятивной вероятности p с плотностью вероятности, определяемой выражением 1 / q — обратная функция плотности квантиля. Как это обычно бывает со статистическими распределениями, лямбда-распределение Тьюки можно легко использовать, найдя значения в подготовленной таблице.

Моменты

Лямбда-распределение Тьюки симметрично относительно нуля, поэтому ожидаемое значение этого распределения, если оно существует, равно нулю. Дисперсия существует при λ > − 1/2 за , , исключением случая, когда λ = 0 определяется по формуле

$\operatorname {Var} [\ X\ ]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}{\bigg (}\ {\frac {1}{\ 1+2\lambda \ }}~-~{\frac {\ \Gamma (\lambda +1)^{2}\ }{\ \Gamma (2\lambda +2)\ }}\ {\bigg )}~.$

В более общем смысле момент n -го порядка конечен, когда λ > −1 / n и выражается (кроме случаев, когда λ = 0 ) через бета-функцию Β ( x , y ) :

$\mu _{n}\equiv \operatorname {E} [\ X^{n}\ ]={\frac {1}{\lambda ^{n}}}\sum _{k=0}^{n}\ (-1)^{k}\ {n \choose k}\ \mathrm {B} (\ \lambda \ k+1\ ,\ (n-k)\ \lambda +1\ )~.$

Заметим, что в силу симметрии функции плотности все моменты нечетных порядков, если они существуют, равны нулю.

L-моменты

В отличие от центральных моментов, L-моменты могут быть выражены в замкнутой форме. Для $\lambda >-1\ ,$ тот $\ r$L-момент, $\ \ell _{r}\ ,$ дается

${\begin{aligned}\ell _{r}&={\frac {\ 1+(-1)^{r}\ }{\lambda }}\ \sum _{k=0}^{r-1}\ (-1)^{r-1-k}\ {\binom {r-1}{k}}\ {\binom {r+k-1}{k}}\ \left({\frac {1}{\ k+1+\lambda \ }}\right)\\{}\\&={\bigl (}1+(-1)^{r}{\bigr )}{\frac {\ \Gamma (1+\lambda )\ \Gamma (r-1-\lambda )\ }{\ \Gamma (1-\lambda )\ \Gamma (r+1+\lambda )\ }}~.\end{aligned}}$

Первые шесть L-моментов можно представить следующим образом:

$\ell _{1}=~~0\ ,$

$\ell _{2}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {2}{\ 2+\lambda \ }}\ \right]\ ,$

$\ell _{3}=~~0\ ,$

$\ell _{4}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[-{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {12}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {30}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {20}{\ 4+\lambda \ }}\ \right]\ ,$

$\ell _{5}=~~0\ ,$

$\ell _{6}={\frac {2}{\ \lambda \ }}\ \left[\ -{\frac {1}{\ 1+\lambda \ }}+{\frac {30}{\ 2+\lambda \ }}-{\frac {210}{\ 3+\lambda \ }}+{\frac {560}{\ 4+\lambda \ }}-{\frac {630}{\ 5+\lambda \ }}+{\frac {252}{\ 6+\lambda \ }}\ \right]~.$

Комментарии

Probability density plots of Tukey lambda distributions

Лямбда-распределение Тьюки на самом деле представляет собой семейство распределений, которые могут аппроксимировать ряд распространенных распределений. Например,

λ ≈ −1	ок. Коши С ( 0, π )
λ = 0	именно логистический
λ ≈ 0,14	ок. нормальный Н ( 0, 2,142 ± )
λ =  1  / 2	строго вогнутая ( $\cap$-образный)
λ = 1	точно равномерный U ( −1, +1 )
λ = 2	точно равномерный U ( −  1  / 2 , +  1  / 2 )

Чаще всего это распределение используется для создания лямбда- графика Тьюки PPCC для набора данных . На основе значения λ с наилучшей корреляцией, как показано на графике PPCC , предлагается соответствующая модель данных. Например, если наилучшее соответствие кривой данным происходит при значении λ, равном или близком к 0,14 , то эмпирически данные могут быть хорошо смоделированы с помощью нормального распределения. Значения λ менее 0,14 предполагают распределение с более тяжелым хвостом.

Веха при   λ = 0 ( логистический ) будет указывать на довольно толстые хвосты с крайним пределом при   λ = −1 , аппроксимируя Коши и небольшие выборочные версии Стьюдента t . То есть, поскольку наиболее подходящее значение λ варьируется от тонких хвостов 0,14 до толстых хвостов -1 , предлагается колоколообразная PDF со все более тяжелыми хвостами. Аналогичным образом, оптимальное значение аппроксимации кривой λ, превышающее 0,14, предполагает распределение с исключительно тонкими хвостами (исходя из точки зрения, что само нормальное распределение изначально имеет тонкий хвост; экспоненциальное распределение часто выбирается в качестве примера хвосты — промежуточные между толстыми и тонкими).

За исключением значений λ, приближающихся к 0 и значений ниже, все обсуждаемые PDF-функции имеют конечную поддержку между −1 / | λ | и +1 / | л | .

Поскольку лямбда-распределение Тьюки является симметричным распределением, использование лямбда-графика Тьюки PPCC для определения разумного распределения для моделирования данных применимо только к симметричным распределениям. Гистограмма . данных должна свидетельствовать о том, можно ли разумно смоделировать данные с помощью симметричного распределения

Внешние ссылки

• «Распределение Тьюки-Лямбды» . Галерея раздач. Справочник по инженерной статистике. NIST США Лаборатория информационных технологий . 1.3.6.6.15. ЭДА 366Ф.

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.