Распределение Бенини

Бенини

Параметры	$\alpha >0$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ форма ( настоящая ) $\sigma >0$ масштаб ( реальный )
Поддерживать	$x>\sigma$
PDF	$e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta \left[\log {\frac {x}{\sigma }}\right]^{2}}\left({\frac {\alpha }{x}}+{\frac {2\beta \log {\frac {x}{\sigma }}}{x}}\right)$
CDF	$1-e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta [\log {\frac {x}{\sigma }}]^{2}}$
Иметь в виду	$\sigma +{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-1+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)$ где $H_{n}(x)$ это "вероятностные полиномы Эрмита "
медиана	$\sigma \left(e^{\frac {-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta \log {16}}}}{2\beta }}\right)$
Дисперсия	$\left(\sigma ^{2}+{\tfrac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-2+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)\right)-\mu ^{2}$

В теории вероятности , статистике , экономике и актуарной науке распределение Бенини представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое представляет собой статистическое распределение размеров, часто применяемое для моделирования доходов, серьезности претензий или убытков в актуарных приложениях и других экономических данных. Его хвостовое поведение затухает быстрее, чем степенной закон, но не так быстро, как экспоненциальный. Это распределение было введено Родольфо Бенини в 1905 году. Несколько позже, чем оригинальная работа Бенини, это распределение было независимо обнаружено или обсуждено рядом авторов.

Распределение

Распределение Бенини $\operatorname {Benini} (\alpha ,\beta ,\sigma )$ представляет собой трехпараметрическое распределение, имеющее кумулятивную функцию распределения (CDF).

$F(x)=1-\exp {\big \{}-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}},$

где $x\geq \sigma$, параметры формы α , β > 0 и σ > 0 являются параметром масштаба.

За бережливость, Бенини рассматривалась только двухпараметрическая модель (с α = 0), с CDF

$F(x)=1-\exp {\big \{}-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.$

Плотность двухпараметрической модели Бенини равна

$f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\quad x\geq \sigma >0.$

Моделирование

Двухпараметрическая переменная Бенини может быть сгенерирована методом обратного преобразования вероятности . Для двухпараметрической модели функция квантиля (обратная CDF) равна

$F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.$

Связанные дистрибутивы

• Если $X\sim \operatorname {Benini} (\alpha ,0,\sigma )$, то X имеет распределение Парето с $x_{\text{m}}=\sigma .$
• Если $X\sim \operatorname {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}},1)$, затем $X\sim e^{U}$, где $U\sim \operatorname {Rayleigh} (\sigma ).$

Программное обеспечение

Двухпараметрическая плотность распределения Бенини, распределение вероятностей, функция квантиля и генератор случайных чисел реализованы в пакете VGAM для R , который также обеспечивает оценку максимального правдоподобия параметра формы.

См. также

• Условное распределение вероятностей
• Совместное распределение вероятностей
• Распределение квазивероятностей
• Эмпирическое распределение вероятностей
• Гистограмма
• Приложение интеграла Римана–Стилтьеса к теории вероятностей

Внешние ссылки

• Распределение Бенини в Wolfram Mathematica (определение и графики в формате pdf)