Распределение игл

Распределение игл

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$p>0$ форма $a>0$ форма $b>0$ шкала
Поддерживать	$x>0$
PDF	${\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right)$
CDF	${\left(1+{\left({\frac {x}{b}}\right)}^{-a}\right)}^{-p}$
Иметь в виду	${\begin{cases}b{\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left(p+{\tfrac {1}{a}}\right)}{\Gamma (p)}}&{\text{if}}\ a>1\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}$
медиана	$b{\left(-1+2^{\tfrac {1}{p}}\right)}^{-{\tfrac {1}{a}}}$
Режим	$b{\left({\frac {ap-1}{a+1}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}$
Дисперсия	${\begin{cases}{b^{2}}\left({\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {2}{a}}\right)\,\Gamma \left(p+{\tfrac {2}{a}}\right)}{\Gamma \left(p\right)}}-\left({\frac {\Gamma \left(1-{\tfrac {1}{a}}\right)\Gamma \left(p+{\tfrac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(p\right)}}\right)^{2}\right)&{\text{if}}\ a>2\\{\text{Indeterminate}}&{\text{otherwise}}\ \end{cases}}$

Распределение Дагума (или распределение Бета-Каппа Мильке) представляет собой непрерывное распределение вероятностей, определенное над положительными действительными числами . Он назван в честь Камило Дагума, который предложил его в серии статей в 1970-х годах. Распределение Дагума возникло из нескольких вариантов новой модели распределения личных доходов по размерам и в основном связано с изучением распределения доходов . Существует как трехпараметрическая спецификация (Тип I), так и четырехпараметрическая спецификация (Тип II) распределения Дагума; Краткое описание происхождения этого дистрибутива можно найти в «Руководстве по дистрибутивам Дагума». Общим источником статистических распределений размеров, часто цитируемых в работах с использованием распределения Дагума, является « Статистические распределения размеров в экономике и актуарных науках» .

Определение

Кумулятивная функция распределения распределения Дагума (тип I) определяется выражением

$F(x;a,b,p)=\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}{\text{ for }}x>0{\text{ where }}a,b,p>0.$

Соответствующая функция плотности вероятности определяется выражением

$f(x;a,b,p)={\frac {ap}{x}}\left({\frac {({\tfrac {x}{b}})^{ap}}{\left(({\tfrac {x}{b}})^{a}+1\right)^{p+1}}}\right).$

Функция квантиля определяется выражением

$Q(u;a,b,p)=b(u^{-1/p}-1)^{-1/a}$

Распределение Дагума можно вывести как частный случай обобщенного распределения Бета II (GB2) (обобщение простого бета-распределения ):

$X\sim D(a,b,p)\iff X\sim GB2(a,b,p,1)$

Существует также тесная связь между распределением Дагума и Сингха-Маддалы/Берра .

$X\sim D(a,b,p)\iff {\frac {1}{X}}\sim SM(a,{\tfrac {1}{b}},p)$

Кумулятивная функция распределения распределения Дагума (Тип II) добавляет точечную массу в начале координат, а затем следует за распределением Дагума (Тип I) по остальной части опоры (т. е. по положительной полулинии).

$F(x;a,b,p,\delta )=\delta +(1-\delta )\left(1+\left({\frac {x}{b}}\right)^{-a}\right)^{-p}.$

Использование в экономике

Распределение Дагума часто используется для моделирования распределения доходов и богатства. Связь между типом Дагум I и коэффициентом Джини резюмируется в формуле ниже:

$G={\frac {\Gamma (p)\Gamma (2p+1/a)}{\Gamma (2p)\Gamma (p+1/a)}}-1,$

где $\Gamma (\cdot )$ это гамма-функция . Обратите внимание, что это значение не зависит от параметра масштаба, $b$.

Хотя распределение Дагума — не единственное трехпараметрическое распределение, используемое для моделирования распределения доходов, одно исследование показало, что оно обычно лучше подходит, чем другие трехпараметрические модели.

Распределение Дагума было расширено для моделирования распределения чистого богатства с учетом наблюдаемых частот отрицательного и нулевого чистого богатства. Эта обобщенная модель, известная как Общая модель распределения чистого богатства Дагума, представляет собой смешанную модель, состоящую из атомарного распределения на нуле (представляющего экономические единицы, не имеющие богатства) с двумя непрерывными распределениями для отрицательного и положительного чистого богатства.

Внешние ссылки

• Камило Дагум (1925–2005). Архивировано 15 августа 2017 г. в Wayback Machine : некролог.