В физике распределение Максвелла -Юттнера , иногда называемое распределением Юттнера-Синга , представляет собой распределение скоростей частиц в гипотетическом газе релятивистских частиц. Подобно распределению Максвелла-Больцмана , распределение Максвелла-Юттнера рассматривает классический идеальный газ, частицы которого разбавлены и существенно не взаимодействуют друг с другом. Отличие от случая Максвелла – Больцмана состоит в том, что эффекты специальной теории относительности учитываются . В пределе низких температур гораздо меньше, чем (где - масса частицы, составляющей газ, это скорость света и – постоянная Больцмана ), это распределение становится идентичным распределению Максвелла–Больцмана.
Распределение можно приписать Ференцу Юттнеру , который вывел его в 1911 году. [ 1 ] Оно стало известно как распределение Максвелла-Юттнера по аналогии с названием распределения Максвелла-Больцмана, которое обычно используется для обозначения распределения Максвелла или Максвелла.
Распределение Максвелла-Юттнера по фактору Лоренца (релятивистское Максвелла-Больцмана) для газа при разных температурах. Скорость выражается через коэффициент Лоренца .
Поскольку газ становится более горячим и приближается или превосходит , распределение вероятностей для в этом релятивистском максвелловском газе определяется распределением Максвелла – Юттнера: [ 2 ]
Альтернативно это можно записать через импульс как
где . Уравнение Максвелла-Юттнера ковариантно, но не явно , и температура газа не зависит от общей скорости газа. [ 3 ]
Некоторые ограничения распределений Максвелла – Юттнера являются общими с классическим идеальным газом: пренебрежение взаимодействиями и пренебрежение квантовыми эффектами. Дополнительное ограничение (не важное для классического идеального газа) состоит в том, что распределение Максвелла – Юттнера не учитывает античастицы.
Если создание частицы-античастицы разрешено, то как только тепловая энергия представляет собой значительную часть , произойдет рождение частицы-античастицы, и количество частиц начнет увеличиваться при генерации античастиц (количество частиц не сохраняется, а вместо этого сохраняющееся количество представляет собой разницу между числом частиц и числом античастиц). Результирующее тепловое распределение будет зависеть от химического потенциала , связанного с сохраняющейся разностью чисел частиц и античастиц. Дальнейшим следствием этого является необходимость включения статистической механики для неразличимых частиц, поскольку вероятности заполнения состояний с низкой кинетической энергией становятся порядка единицы. Для фермионов необходимо использовать статистику Ферми-Дирака , и результат аналогичен термической генерации электронно- дырочных пар в полупроводниках . Для бозонных частиц необходимо использовать статистику Бозе-Эйнштейна . [ 5 ]
Возможно, наиболее важным является то, что основные У распределения есть две основные проблемы: оно не распространяется на частицы, движущиеся с релятивистскими скоростями, и предполагает анизотропную температуру (при которой каждая степень свободы не имеет одинаковой поступательной кинетической энергии). [ нужны разъяснения ] Хотя классическое распределение Максвелла – Юттнера обобщает случай специальной теории относительности, оно не учитывает анизотропное описание.
Максвелл-Больцман (англ. ) распределение описывает скорости или кинетическая энергия частиц, находящихся в тепловом равновесии, далеком от предела скорости света, т.е.:
( 1а )
Или, в терминах кинетической энергии:
( 1б )
где — это температура в измерениях скорости, называемая тепловой скоростью, а d обозначает кинетические степени свободы каждой частицы. (Обратите внимание, что температура определяется в системе покоя жидкости, где объемная скорость равен нулю. В нерелятивистском случае это можно показать, используя .
Релятивистское обобщение уравнения. (1а), т. е. Максвелла–Юттнера ( ) распределение, определяется как:
( 2 )
где и . (Обратите внимание, что обратная безразмерная температура это релятивистская холодность , Rezzola and Zanotti, 2013.) Это распределение (уравнение 2) можно получить следующим образом. Согласно релятивистскому формализму для импульса и энергии частицы, имеем
( 3 )
В то время как кинетическая энергия определяется выражением . Распределение Больцмана гамильтониана имеет вид При отсутствии потенциальной энергии просто задается энергией частицы , таким образом:
( 4а )
(Обратите внимание, что представляет собой сумму кинетических и инерционная энергия ). Затем, когда кто-то включает -мерная плотность состояний:
( 4б )
Так что:
Где обозначает -мерный телесный угол. Для изотропных распределений имеем
( 5а )
или
( 5б )
Затем, так что:
( 6 )
Или:
( 7 )
Теперь, потому что . Затем нормализуют распределение (уравнение). (7) . Один комплект
( 8 )
И угловая интеграция:
Где — поверхность единичной d -мерной сферы. Затем, используя тождество у одного есть:
Обратная константа нормализации дает статистическую сумму
( 14с )
Следовательно, нормализованное распределение имеет вид:
( 15а )
Или можно получить нормализованное распределение через:
( 15б )
Обратите внимание, что Можно показать, что оно совпадает с термодинамическим определением температуры.
Также полезно выражение распределения в пространстве скоростей. [ 6 ] При условии , у одного есть:
Следовательно
( 15с )
Брать («классический случай» в нашем мире):
( 16а )
И
( 16б )
( 16с )
Обратите внимание, что когда распределение явно отклоняется от распределения одной и той же температуры и размерности, можно неверно истолковать и вывести другое распределение, которое даст хорошее приближение к распределение. Этот новый распределение может быть любым:
конвекционный распространение, то есть распределение с одинаковой размерностью, но с разной температурой и объемная скорость (или объемная энергия )
а распределение с одинаковой объемной скоростью, но с разной температурой и степени свободы . Проиллюстрированы эти два типа приближений.
Чтобы найти среднюю скорость, , необходимо вычислить , где - скорость, выраженная в коэффициенте Лоренца.
Интеграл упрощается до выражения в замкнутой форме:
Эта закрытая формула для имеет расширение серии на :
Или подставив определение параметра :
Где первый член разложения, не зависящий от , соответствует средней скорости в распределении Максвелла – Больцмана, , а следующие — релятивистские поправки.
Эта закрытая формула для имеет расширение серии на :
Или подставив определение параметра :
Откуда следует, что — это верхний предел скорости частицы, присутствующий только в релятивистском контексте, а не в распределении Максвелла-Больцмана.
Arc.Ask3.Ru Номер скриншота №: ae3e506da152e163b8f3a7e43b51de59__1706195940 URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ae/59/ae3e506da152e163b8f3a7e43b51de59.html Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1: Maxwell–Jüttner distribution - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)