Распределение Максвелла – Юттнера

В физике распределение Максвелла -Юттнера , иногда называемое распределением Юттнера-Синга , представляет собой распределение скоростей частиц в гипотетическом газе релятивистских частиц. Подобно распределению Максвелла-Больцмана , распределение Максвелла-Юттнера рассматривает классический идеальный газ, частицы которого разбавлены и существенно не взаимодействуют друг с другом. Отличие от случая Максвелла – Больцмана состоит в том, что эффекты специальной теории относительности учитываются . В пределе низких температур $T$ гораздо меньше, чем $mc^{2}/k_{\text{B}}$ (где $m$ - масса частицы, составляющей газ, $c$ это скорость света и $k_{\text{B}}$ – постоянная Больцмана ), это распределение становится идентичным распределению Максвелла–Больцмана.

Распределение можно приписать Ференцу Юттнеру , который вывел его в 1911 году. Оно стало известно как распределение Максвелла-Юттнера по аналогии с названием распределения Максвелла-Больцмана, которое обычно используется для обозначения распределения Максвелла или Максвелла.

Определение

Распределение Максвелла-Юттнера по фактору Лоренца (релятивистское Максвелла-Больцмана) для газа при разных температурах. Скорость выражается через коэффициент Лоренца .

Поскольку газ становится более горячим и $k_{\text{B}}T$ приближается или превосходит $mc^{2}$, распределение вероятностей для ${\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ в этом релятивистском максвелловском газе определяется распределением Максвелла – Юттнера:

$$f(\gamma )={\frac {\gamma ^{2}\,\beta (\gamma )}{\theta \operatorname {K} _{2}\!\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}e^{-{\gamma }/{\theta }}$$

где ${\textstyle \beta ={\frac {v}{c}}={\sqrt {1-1/\gamma ^{2}}},}$ ${\textstyle \theta ={\frac {k_{\text{B}}T}{mc^{2}}},}$ и $\operatorname {K} _{2}$ – модифицированная функция Бесселя второго рода.

Альтернативно это можно записать через импульс как $$f(\mathbf {p} )={\frac {1}{4\pi m^{3}c^{3}\theta \operatorname {K} _{2}\!\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}e^{-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}}$$ где ${\textstyle \gamma (p)={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}}$. Уравнение Максвелла-Юттнера ковариантно, но не явно , и температура газа не зависит от общей скорости газа.

График распределения Юттнера

Визуальное представление распределения скоростей частиц для плазмы при четырех разных температурах:

Если тепловой параметр определен как ${\textstyle \mu ={\frac {mc^{2}}{k_{\text{B}}T}}={\frac {1}{\theta }}}$.

Четыре общих ограничения:

• ультрарелятивистские температуры $\mu \ll 1\iff \theta \gg 1$
• релятивистские температуры: $\mu <1\iff \theta >1$,
• слабо (или умеренно) релятивистские температуры: $\mu >1\iff \theta <1$,
• низкие температуры: $\mu \gg 1\iff \theta \ll 1$,

Ограничения

Некоторые ограничения распределений Максвелла – Юттнера являются общими с классическим идеальным газом: пренебрежение взаимодействиями и пренебрежение квантовыми эффектами. Дополнительное ограничение (не важное для классического идеального газа) состоит в том, что распределение Максвелла – Юттнера не учитывает античастицы.

Если создание частицы-античастицы разрешено, то как только тепловая энергия $k_{\text{B}}T$ представляет собой значительную часть $mc^{2}$, произойдет рождение частицы-античастицы, и количество частиц начнет увеличиваться при генерации античастиц (количество частиц не сохраняется, а вместо этого сохраняющееся количество представляет собой разницу между числом частиц и числом античастиц). Результирующее тепловое распределение будет зависеть от химического потенциала , связанного с сохраняющейся разностью чисел частиц и античастиц. Дальнейшим следствием этого является необходимость включения статистической механики для неразличимых частиц, поскольку вероятности заполнения состояний с низкой кинетической энергией становятся порядка единицы. Для фермионов необходимо использовать статистику Ферми-Дирака , и результат аналогичен термической генерации электронно- дырочных пар в полупроводниках . Для бозонных частиц необходимо использовать статистику Бозе-Эйнштейна .

Возможно, наиболее важным является то, что основные ${\text{MB}}$ У распределения есть две основные проблемы: оно не распространяется на частицы, движущиеся с релятивистскими скоростями, и предполагает анизотропную температуру (при которой каждая степень свободы не имеет одинаковой поступательной кинетической энергии). Хотя классическое распределение Максвелла – Юттнера обобщает случай специальной теории относительности, оно не учитывает анизотропное описание.

Вывод

Максвелл-Больцман (англ. ${\text{MB}}$) распределение $\operatorname {pdf} _{\text{MB}}$ описывает скорости $\mathbf {u}$ или кинетическая энергия ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}m\mathbf {u} ^{2}}$ частиц, находящихся в тепловом равновесии, далеком от предела скорости света, т.е.:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MB}}(\mathbf {p} ;\theta )=\left(\pi m^{2}\theta ^{2}\right)^{-d/2}e^{-{\frac {\mathbf {p} ^{2}/2m}{k_{\text{B}}T}}}$$ ( 1а )

${\textstyle \theta \equiv {\sqrt {2{k_{\text{B}}T}/{m}}},\ \ u\ll c}$

Или, в терминах кинетической энергии:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MB}}(\varepsilon ;T)={\frac {(k_{\text{B}}T)^{-d/2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}e^{-{\varepsilon }/{k_{\text{B}}T}}\varepsilon ^{{\frac {1}{2}}d-1}$$ ( 1б )

$\varepsilon \ll mc^{2}$

где $\theta$ — это температура в измерениях скорости, называемая тепловой скоростью, а d обозначает кинетические степени свободы каждой частицы. (Обратите внимание, что температура определяется в системе покоя жидкости, где объемная скорость $\mathbf {u} _{b}$ равен нулю. В нерелятивистском случае это можно показать, используя ${\textstyle \varepsilon ={\frac {1}{2}}m(\mathbf {u} -\mathbf {u} _{b})^{2}}$.

Релятивистское обобщение уравнения. (1а), т. е. Максвелла–Юттнера ( ${\text{MJ}}$) распределение, определяется как:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\propto \gamma ^{2}\beta (\gamma )\,e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}},\theta \equiv {\frac {k_{\text{B}}T}{E_{0}}},\ E_{0}=mc^{2}$$ ( 2 )

где $\beta \equiv {\mathbf {u} }/{c}$ и $\gamma (\beta )=(1-\beta ^{2})^{-{1}/{2}}$. (Обратите внимание, что обратная безразмерная температура $\theta$ это релятивистская холодность $\zeta$, Rezzola and Zanotti, 2013.) Это распределение (уравнение 2) можно получить следующим образом. Согласно релятивистскому формализму для импульса и энергии частицы, имеем

$$\mathbf {p=} mc\,\gamma \left(\beta \right)\,\mathbf {\beta } ,\ E\left(\beta \right)=\gamma (\beta )\,E_{0}$$ ( 3 )

В то время как кинетическая энергия определяется выражением $\varepsilon =E-E_{0}=(\gamma -1)\,E_{0}$. Распределение Больцмана гамильтониана имеет вид $\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(H)\propto e^{-{\frac {H}{k_{\text{B}}T}}}.$ При отсутствии потенциальной энергии $H$ просто задается энергией частицы $E$, таким образом:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}\left(E\right)\propto e^{-{\frac {E}{k_{\text{B}}T}}}\propto e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}$$ ( 4а )

(Обратите внимание, что $E$ представляет собой сумму кинетических $\varepsilon$ и инерционная энергия ${\textstyle E_{0},{\frac {\varepsilon }{k_{\text{B}}T}}={\frac {\gamma -\ 1}{\theta }}}$). Затем, когда кто-то включает $d$-мерная плотность состояний:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\propto p(\gamma )^{d-1}{\frac {\mathrm {d} p(\gamma )}{\mathrm {d} }}\gamma \,e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}$$ ( 4б )

Так что:

$${\begin{aligned}\int \operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\mathbf {p} )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}&\propto \int e^{-{\frac {E(\mathbf {p} )}{k_{\text{B}}T}}}\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}\\[1ex]&=\int e^{-{\frac {E(\gamma \Omega _{d})}{k_{\text{B}}T}}}\mathrm {d} \Omega _{d}p^{d-1}\mathrm {d} p\\[1ex]&=\int \limits _{\Omega _{d}}e^{-{\frac {E(\gamma \Omega _{d})}{k_{\text{B}}T}}}\,\left(p(\gamma )^{d-1}{\frac {\mathrm {d} p(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}\right)\mathrm {d} \Omega _{d}\mathrm {d} \gamma \end{aligned}}$$

Где $\mathrm {d} \Omega _{d}$ обозначает $d$-мерный телесный угол. Для изотропных распределений имеем

$$\int \operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(p)\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}\propto \int e^{-{\frac {E(p)}{k_{\text{B}}T}}}\left(p(\gamma )^{d-1}{\frac {\mathrm {d} p(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}\right)\mathrm {d} \Omega _{d}\mathrm {d} \gamma \equiv \int \limits _{\Omega _{d}}\mathrm {d} \Omega _{d}\,\int P_{MJ}(\gamma )\mathrm {d} \gamma$$ ( 5а )

или

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\propto e^{-{\frac {E(\gamma )}{k_{\text{B}}T}}}\,p(\gamma )^{d-1}{\frac {\mathrm {d} p(\gamma )}{\mathrm {d} \gamma }}$$ ( 5б )

Затем, $\mathrm {d} (\gamma \beta )=\gamma (\gamma ^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}\mathrm {d} \gamma =\beta ^{-1}\mathrm {d} \gamma$ так что:

$${\begin{aligned}p\left(\gamma \right)^{d-1}{\frac {\mathrm {d} p\left(\gamma \right)}{\mathrm {d} \gamma }}&=(mc)^{d}(\gamma \beta )^{d-1}{\frac {\mathrm {d} (\gamma \beta )}{\mathrm {d} \gamma }}\\&=(mc)^{d}\gamma ^{d-1}\beta ^{d-2},\end{aligned}}$$ ( 6 )

Или:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\propto \gamma ^{d-1}\beta ^{d-2}e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}\propto \gamma (\gamma ^{2}-1)^{{\frac {d}{2}}-1}\,e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}$$ ( 7 )

Теперь, потому что ${\frac {E}{k_{\text{B}}T}}={\frac {\gamma }{\theta }}$. Затем нормализуют распределение (уравнение). (7) . Один комплект

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(p,\theta )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=N\,e^{-{\gamma (p)}/{\theta }}\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}$$ ( 8 )

И угловая интеграция: $$\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=B_{d}p^{d-1}\mathrm {d} p={\frac {1}{2}}B_{d}\left(mc\right)^{d}\left(\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}\right)^{{\frac {d}{2}}-1}\mathrm {d} \left({\frac {p}{mc}}\right)^{2},$$

Где $B_{d}={\frac {2\pi ^{d}/{2}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}$ — поверхность единичной d -мерной сферы. Затем, используя тождество $\gamma ^{2}=\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}+1$ у одного есть:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\mathbf {p} ;\theta )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=N\,{\frac {1}{2}}B_{d}\left(mc\right)^{d}\,e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}(\gamma ^{2}-1)^{{\frac {d}{2}}-1}\mathrm {d} (\gamma ^{2}-1).$$ ( 9 )

и

$${\begin{aligned}1&=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\mathbf {p} ;\theta )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}\\[1ex]&=N\,{\frac {1}{2}}B_{d}(mc)^{d}\,\int _{1}^{\infty }e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}(\gamma ^{2}-1)^{{\frac {d}{2}}-1}\mathrm {d} (\gamma ^{2}-1)\\[1ex]&=N\,{\frac {1}{2}}B_{d}\left({\frac {d}{2}}\right)^{-1}(mc)^{d}\theta ^{-1}\,\int _{1}^{\infty }e^{\frac {\gamma }{\theta }}(\gamma ^{2}-1)^{\frac {d}{2}}\mathrm {d} \gamma \\[1ex]&=N\,{\frac {1}{2}}B_{d}\left({\frac {d}{2}}\right)^{-1}(mc)^{d}\theta ^{-1}\,I_{d},\end{aligned}}$$ ( 10 )

Если определен интеграл:

$$I_{d}\equiv \int _{1}^{\infty }e^{-{\gamma }/{\theta }}(\gamma ^{2}-1)^{{d}/{2}}\mathrm {d} \gamma .$$ ( 11 )

Функция Макдональда ( Модифицированная функция Бесселя II рода) ( Абрамовиц и Стегун, 1972, стр.376 ) определяется следующим образом:

$$\operatorname {K} _{n}(z)\equiv {\frac {\pi ^{\frac {1}{2}}({\frac {1}{2}}z)^{n}}{\Gamma (n+{\frac {1}{2}})}}\int _{1}^{\infty }e^{-z\gamma }(\gamma ^{2}-1)^{n-{\frac {1}{2}}}\mathrm {d} \gamma$$ ( 12 )

Так что, установив $n={\frac {d+1}{2}},\ z={\frac {1}{\theta }}$ получается:

$$I_{d}=\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right)(2\theta )^{\frac {d+1}{2}}$$ ( 13 )

Следовательно,

$$N^{-1}={\frac {\pi ^{\frac {d}{2}}}{\Gamma \left({\frac {d}{2}}\right)}}\left({\frac {d}{2}}\right)^{-1}\Gamma \left({\frac {d}{2}}+1\right)\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right)(mc)^{d}(2\theta )^{\frac {d+1}{2}}=\pi ^{\frac {d-1}{2}}2^{-{\frac {d+1}{2}}}(mc)^{d}\,\theta ^{\frac {d-1}{2}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right),$$ ( 14а )

Или

$$N=\ \pi ^{\frac {1-d}{2}}2^{-{\frac {d+1}{2}}}(mc)^{-d}\,\theta ^{\frac {1-d}{2}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1},$$ ( 14б )

Обратная константа нормализации дает статистическую сумму $Z\equiv {\frac {1}{N}}:$

$$Z=\pi ^{\frac {d-1}{2}}2^{-{\frac {d+1}{2}}}(mc)^{d}\,\theta ^{\frac {d-1}{2}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right),$$ ( 14с )

Следовательно, нормализованное распределение имеет вид:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(p;\theta )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=\pi ^{\frac {1-d}{2}}2^{-{\frac {d+1}{2}}}(mc)^{-d}\,\theta ^{\frac {1-d}{2}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1}e^{-{\frac {\gamma (p)}{\theta }}}\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}$$ ( 15а )

Или можно получить нормализованное распределение через:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma ;\theta )\mathrm {d} \gamma ={\frac {\pi ^{\frac {1}{2}}2^{\frac {1-d}{2}}}{\Gamma {\left({\frac {d}{2}}\right)}}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1}\theta ^{\frac {1-d}{2}}e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}(\gamma ^{2}-1)^{{\frac {d}{2}}-1}\gamma \mathrm {d} \gamma$$ ( 15б )

Обратите внимание, что $\theta$ Можно показать, что оно совпадает с термодинамическим определением температуры.

Также полезно выражение распределения в пространстве скоростей. При условии ${\frac {\mathrm {d} (\beta \gamma )}{\mathrm {d} \beta }}=\gamma ^{3}$, у одного есть:

$${\begin{aligned}\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}=p^{d-1}\mathrm {d} p\mathrm {d} \Omega _{d}&=(mc)^{d}\gamma ^{d-1}\beta ^{d-1}{\frac {\mathrm {d} (\beta \gamma )}{\mathrm {d} \beta }}\mathrm {d} \beta \mathrm {d} \Omega _{d}\\&=(mc)^{d}\gamma ^{d+2}\beta ^{d-1}{\text{dβd}}\Omega _{d}\\[1ex]&=(mc)^{d}\gamma ^{d+2}\mathrm {d} \beta _{1}\cdots \mathrm {d} \beta _{d}\end{aligned}}$$

Следовательно

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\mathbf {\beta } ;\theta )\mathrm {d} \beta _{1}\cdots \mathrm {d} \beta _{d}=\pi ^{\frac {1-d}{2}}2^{-{\frac {d+1}{2}}}\,\theta ^{\frac {1-d}{2}}\operatorname {K} _{\frac {d+1}{2}}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1}e^{-{\frac {\gamma (\beta )}{\theta }}}\gamma (\beta )^{d+2}\mathrm {d} \beta _{1}\cdots \mathrm {d} \beta _{d}$$ ( 15с )

Брать $d=3$ («классический случай» в нашем мире):

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(p;\theta )\mathrm {d} p_{1}\cdots \mathrm {d} p_{d}={\frac {1}{4\pi }}(mc)^{-3}\,{\frac {1}{\theta }}\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1}\,e^{-{\frac {\gamma (\mathbf {p)} \ }{\theta }}}\mathrm {d} p_{1}\mathrm {d} p_{2}\mathrm {d} p_{3}$$ ( 16а )

И

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma ;\theta )\mathrm {d} \gamma ={\frac {1}{\theta }}\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1}\,e^{-{\frac {\gamma }{\theta }}}(\gamma ^{2}-1)^{\frac {1}{2}}\gamma \mathrm {d} \gamma$$ ( 16б )

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\beta ;\theta )\mathrm {d} \beta _{1}\mathrm {d} \beta _{2}\mathrm {d} \beta _{3}={\frac {4}{\pi }}\,{\frac {1}{\theta }}\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)^{-1}\,e^{-{\frac {\gamma (\beta )}{\theta }}}\gamma (\beta )^{5}\mathrm {d} \beta _{1}\mathrm {d} \beta _{2}\mathrm {d} \beta _{3}$$ ( 16с )

Обратите внимание, что когда ${\text{MB}}$ распределение явно отклоняется от ${\text{MJ}}$ распределения одной и той же температуры и размерности, можно неверно истолковать и вывести другое ${\text{MB}}$распределение, которое даст хорошее приближение к ${\text{MJ}}$ распределение. Этот новый ${\text{MB}}$распределение может быть любым:

• конвекционный ${\text{MB}}$ распространение, то есть ${\text{MB}}$ распределение с одинаковой размерностью, но с разной температурой $T_{\text{MB}}$ и объемная скорость $\mathbf {u} _{b}$ (или объемная энергия ${\textstyle E_{b}\equiv {\frac {1}{2}}m\left(\mathbf {u} +\mathbf {u} _{b}\right)^{2}}$)
• а ${\text{MB}}$ распределение с одинаковой объемной скоростью, но с разной температурой $T_{\text{MB}}$ и степени свободы $d_{\text{MB}}$. Проиллюстрированы эти два типа приближений.

Другие объекты недвижимости

The ${\text{MJ}}$ Функция плотности вероятности определяется следующим образом:

$$\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )={\frac {1}{\theta \operatorname {K} _{2}\!\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}\gamma ^{2}\,\beta (\gamma )e^{-{\gamma }/{\theta }}$$

Это означает, что релятивистская неквантовая частица с параметром $\theta$ имеет вероятность $\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\mathrm {d} \gamma$ наличия фактора Лоренца в интервале $[\gamma ,\gamma +\mathrm {d} \gamma ]$.

The ${\text{MJ}}$ кумулятивная функция распределения определяется выражением:

$$\operatorname {cdf} _{\text{MJ}}(\gamma )={\frac {1}{\theta \operatorname {K} _{2}\left({\dfrac {1}{\theta }}\right)}}\int _{1}^{\gamma }{\gamma ^{\prime }}^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{{\gamma ^{\prime }}^{2}}}}}\,e^{-\gamma '/\theta }\mathrm {d} \gamma '$$

Это имеет расширение серии в $\gamma =1$:

$$\operatorname {cdf} _{\text{MJ}}(\gamma )={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}{\frac {e^{-{1}/{\theta }}}{\theta \operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}{\sqrt {\gamma -1}}^{3}+{\frac {1}{5{\sqrt {2}}}}{\frac {(5\theta -4)e^{-{1}/{\theta }}}{\theta ^{2}\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}{\sqrt {\gamma -1}}^{5}+{\mathcal {O}}\left({\sqrt {\gamma -1}}^{7}\right)$$

По определению $\lim _{\gamma \to \infty }\operatorname {cdf} _{\text{MJ}}(\gamma )=1$, независимо от параметра $\theta$ .

Чтобы найти среднюю скорость, $\langle v\rangle _{\text{MJ}}$ , необходимо вычислить ${\textstyle \int _{1}^{\infty }\operatorname {pdf} _{\text{MJ}}(\gamma )\,v(\gamma )\,\mathrm {d} \gamma }$ , где ${\textstyle v(\gamma )=c{\sqrt {1-{1}/{\gamma ^{2}}}}}$ - скорость, выраженная в коэффициенте Лоренца. Интеграл упрощается до выражения в замкнутой форме:

$$\langle v\rangle _{\text{MJ}}=2c{\frac {\theta (\theta +1)e^{-{1}/{\theta }}}{\operatorname {K} _{2}\left({\frac {1}{\theta }}\right)}}$$

Эта закрытая формула для $\langle v\rangle _{\text{MJ}}$ имеет расширение серии на $\theta =0$:

$${\frac {1}{c}}\langle v\rangle _{\text{MJ}}={\sqrt {\frac {8}{\pi }}}{\sqrt {\theta }}-{\frac {7}{2{\sqrt {2\pi }}}}{\sqrt {\theta }}^{3}+{\mathcal {O}}\left({\sqrt {\theta }}^{5}\right)$$

Или подставив определение параметра $\theta$ : $$\langle v\rangle _{\text{MJ}}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}{\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\;}}-{\frac {7}{2{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {1}{c^{2}}}{\sqrt {{\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\;}}^{3}+\cdots$$

Где первый член разложения, не зависящий от $c$ , соответствует средней скорости в распределении Максвелла – Больцмана, $\langle v\rangle _{\text{MB}}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}{\frac {k_{\text{B}}T}{m}}\;}}$, а следующие — релятивистские поправки.

Эта закрытая формула для $\langle v\rangle _{\text{MJ}}$ имеет расширение серии на $\theta =\infty$:

$${\frac {1}{c}}\langle v\rangle _{\text{MJ}}=1-{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\theta ^{2}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\theta ^{3}}}\right)$$

Или подставив определение параметра $\theta$:

$$\langle v\rangle _{\text{MJ}}=c-{\frac {1}{4}}c^{5}{\frac {m^{2}}{{k_{\text{B}}}^{2}T^{2}}}+\cdots$$

Откуда следует, что $c$ — это верхний предел скорости частицы, присутствующий только в релятивистском контексте, а не в распределении Максвелла-Больцмана.

Ссылки

В эту статью включен текст Джорджа Ливадиотиса, доступный по лицензии CC BY 3.0 .