Арксинусное распределение

Арксинус

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	никто
Поддерживать	$x\in [0,1]$
PDF	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$
CDF	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)$
Иметь в виду	${\frac {1}{2}}$
медиана	${\frac {1}{2}}$
Режим	$x\in \{0,1\}$
Дисперсия	${\tfrac {1}{8}}$
асимметрия	$0$
Избыточный эксцесс	$-{\tfrac {3}{2}}$
Энтропия	$\ln {\tfrac {\pi }{4}}$
МГФ	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {2r+1}{2r+2}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
CF	$e^{i{\frac {t}{2}}}J_{0}({\frac {t}{2}})$

В теории вероятностей арксинусное распределение — это распределение вероятностей которого , кумулятивная функция распределения включает в себя арксинус и квадратный корень :

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}$

для 0 ≤ x ≤ 1, и чья функция плотности вероятности равна

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}$

на (0, 1). Стандартное арксинусное распределение является частным случаем бета-распределения с α = β = 1/2. То есть, если $X$ — случайная величина, распределенная по арксинусу, тогда $X\sim {\rm {Beta}}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}$. В более широком смысле, арксинусное распределение является частным случаем распределения Пирсона типа I.

Распределение арксинуса появляется в законе арксинуса Леви , в законе арксинуса Эрдёша и в качестве априора Джеффриса для вероятности успеха испытания Бернулли .

Обобщение

Арксинус – ограниченная поддержка

Параметры	$-\infty <a<b<\infty \,$
Поддерживать	$x\in [a,b]$
PDF	$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$
CDF	$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$
Иметь в виду	${\frac {a+b}{2}}$
медиана	${\frac {a+b}{2}}$
Режим	$x\in {a,b}$
Дисперсия	${\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}$
асимметрия	$0$
Избыточный эксцесс	$-{\tfrac {3}{2}}$
CF	$e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)$

Произвольный ограниченный носитель

Распределение можно расширить, включив в него любую ограниченную поддержку из a ≤ x ≤ b, с помощью простого преобразования

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)$

для a ≤ x ≤ b , и чья функция плотности вероятности равна

$f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}$

на ( а , б ).

Фактор формы

Обобщенное стандартное арксинусное распределение на (0,1) с функцией плотности вероятности

$f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}$

также является частным случаем бета-распределения с параметрами ${\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )$.

Обратите внимание, что когда $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ общее распределение арксинуса сводится к стандартному распределению, указанному выше.

Характеристики

• Распределение арксинуса замкнуто при переносе и масштабировании с положительным коэффициентом.
  • Если $X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)$
• Квадрат арксинусного распределения по (-1, 1) имеет арксинусное распределение по (0, 1).
  • Если $X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)$
• Координаты точек, равномерно выделенных на окружности радиуса $r$ с центром в начале координат (0, 0), имеют ${\rm {Arcsine}}(-r,r)$ распределение
  • Например, если мы выберем точку равномерно на окружности, $U\sim {\rm {Uniform}}(0,2\pi r)$, мы имеем, что распределение координат x точки равно $r\cdot \cos(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)$, а его распределение по координате y равно ${\textstyle r\cdot \sin(U)\sim {\rm {Arcsine}}(-r,r)}$

Характеристическая функция

Характеристическая функция обобщенного арксинусного распределения представляет собой функцию Бесселя нулевого порядка первого рода, умноженную на комплексную экспоненту, определяемую выражением $e^{it{\frac {b+a}{2}}}J_{0}({\frac {b-a}{2}}t)$. Для частного случая $b=-a$, характеристическая функция принимает вид $J_{0}(bt)$.

Связанные дистрибутивы

• Если U и V — ( равномерные −π,π) случайные величины, то $\sin(U)$, $\sin(2U)$, $-\cos(2U)$, $\sin(U+V)$ и $\sin(U-V)$ у всех есть ${\rm {Arcsine}}(-1,1)$ распределение.
• Если $X$ - обобщенное арксинусное распределение с параметром формы $\alpha$ поддерживается на конечном интервале [a,b], тогда ${\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\$
• Если X ~ Коши(0, 1), то ${\tfrac {1}{1+X^{2}}}$ имеет стандартное арксинусное распределение

Дальнейшее чтение

• Рогозин, Б.А. (2001) [1994], «Арксинусное распределение» , Энциклопедия Математики , EMS Press