Распределение PERT

ПЕРТ
	Функция плотности вероятности Примеры кривых плотности для распределения вероятностей PERT
	Кумулятивная функция распределения Пример кумулятивных кривых распределения для распределения вероятностей PERT
Параметры	(настоящий) ; (настоящий)
Поддерживать
PDF	где
CDF	(регуляризованная неполная бета-функция ) с
Иметь в виду
медиана
Режим
Дисперсия
асимметрия
Избыточный эксцесс

В теории вероятностей и статистике PERT определяемых распределения представляют собой семейство непрерывных распределений вероятностей, минимальным ( a ), наиболее вероятным ( b ) и максимальным ( c ) значениями, которые может принимать переменная. Это преобразование четырехпараметрического бета-распределения с дополнительным предположением, что его ожидаемое значение равно

\mu ={\frac {a+4b+c}{6}}.

Таким образом, среднее значение распределения определяется как средневзвешенное минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения, которые может принимать переменная, с четырехкратным весом, применяемым к наиболее вероятному значению.Это предположение о среднем было впервые предложено Кларком, 1962 г. ^[1] для оценки влияния неопределенности длительности задач на результат оцениваемого графика проекта с использованием метода оценки и анализа программы , отсюда и его название. Математика распределения возникла из-за желания авторов сделать стандартное отклонение равным примерно 1/6 диапазона. ^[2]^[3] Распределение PERT широко используется в анализе рисков. ^[4] для представления неопределенности значения некоторой величины, когда кто-то полагается на субъективные оценки, поскольку три параметра, определяющие распределение, интуитивно понятны оценщику. Распределение PERT присутствует в большинстве программных инструментов для моделирования.

Сравнение с треугольным распределением

Дистрибутив PERT предлагает альтернативу. ^[5] к использованию треугольного распределения , которое принимает те же три параметра. Распределение PERT имеет более плавную форму, чем треугольное распределение . Треугольное распределение имеет среднее значение, равное среднему из трех параметров:

\mu ={\frac {a+b+c}{3}}

который (в отличие от PERT) уделяет равное внимание крайним значениям, которые обычно менее известны, чем наиболее вероятное значение, и поэтому менее надежны. Треугольное распределение также имеет угловатую форму, которая не соответствует более гладкой форме, характерной для субъективного знания.

Модифицированное распределение PERT

Распределение PERT присваивает очень малую вероятность экстремальным значениям, особенно экстремальным значениям, наиболее удаленным от наиболее вероятного значения, если распределение сильно искажено. ^[6]^[7] Модифицированный дистрибутив PERT ^[8] было предложено обеспечить больший контроль над тем, какая вероятность присваивается хвостовым значениям распределения. Модифицированный PERT вводит четвертый параметр. $\gamma ,$ который контролирует вес наиболее вероятного значения при определении среднего значения:

\mu ={\frac {a+\gamma b+c}{\gamma +2}}

Обычно для $\gamma ,$ и имеют эффект сглаживания кривой плотности; немодифицированный PERT будет использовать $\gamma =4$ . Это полезно для сильно асимметричных распределений, где расстояния $(b-a),$ и $(c-b),$ имеют очень разные размеры.

Дистрибутив модифицированного PERT был реализован в нескольких пакетах моделирования и языках программирования:

МодельРиск ^[9] – надстройка анализа рисков для Excel .
Primavera – инструмент моделирования анализа рисков проекта. Анализ рисков
Тамара ^[10] – инструмент моделирования анализа рисков проекта.
Вольфрам Математика ^[11] – программа математических символьных вычислений.
R (язык программирования) : пакет mc2d . ^[12]
Python (язык программирования) : пакет pertdist . ^[13]

Ссылки

^ Кларк CE (1962) Модель PERT для распределения активности. Исследование операций 10, стр. 405406.
^ «Распределение PERT» . Программное обеспечение Восе. 2 мая 2017 г. Проверено 16 июля 2017 г.
^ Непрерывные одномерные распределения - 2-е изд (1995). Джонсон К., Коц С. и Балаккришнан Н. (раздел 25.4)
^ Свод знаний по управлению проектами: 5-е изд. (2013 г.). Институт управления проектами Глава 6
^ Имитационное моделирование и анализ (2000). Лоу А.М. и Келтон В.Д. Раздел 6.11
^ Бизнес-риски и имитационное моделирование на практике (2015). М Рис. Раздел 9.1.8
^ Анализ рисков – Количественное руководство: 3-е изд. (2008) Восе Д
^ Пауло Бухсбаум (9 июня 2012 г.). «Модифицированное моделирование Pert» (PDF) . Greatsolutions.com.br . Архивировано из оригинала 23 декабря 2018 года . Проверено 14 июля 2017 г.
^ «Модифицированное распространение PERT» . Программное обеспечение Восе. 2 мая 2017 г. Проверено 16 июля 2017 г.
^ «Распределения вероятностей, используемые в Тамаре» . Программное обеспечение Восе. 2 мая 2017 г. Проверено 16 июля 2017 г.
^ «PERTDistribution — Документация на языке Wolfram» . Ссылка.wolfram.com . Проверено 16 июля 2017 г.
^ «Пакет mc2d» ( PDF) . 6 марта 2017 г. Проверено 16 декабря 2020 г.
^ «ПертДист» . 6 декабря 2020 г. Проверено 5 января 2021 г.

[1] Кларк CE (1962) Модель PERT для распределения активности. Исследование операций 10, стр. 405406.

[2] «Распределение PERT» . Программное обеспечение Восе. 2 мая 2017 г. Проверено 16 июля 2017 г.

[3] Непрерывные одномерные распределения - 2-е изд (1995). Джонсон К., Коц С. и Балаккришнан Н. (раздел 25.4)

[4] Свод знаний по управлению проектами: 5-е изд. (2013 г.). Институт управления проектами Глава 6

[5] Имитационное моделирование и анализ (2000). Лоу А.М. и Келтон В.Д. Раздел 6.11

[6] Бизнес-риски и имитационное моделирование на практике (2015). М Рис. Раздел 9.1.8

[7] Анализ рисков – Количественное руководство: 3-е изд. (2008) Восе Д

[8] Пауло Бухсбаум (9 июня 2012 г.). «Модифицированное моделирование Pert» (PDF) . Greatsolutions.com.br . Архивировано из оригинала 23 декабря 2018 года . Проверено 14 июля 2017 г.

[9] «Модифицированное распространение PERT» . Программное обеспечение Восе. 2 мая 2017 г. Проверено 16 июля 2017 г.

[10] «Распределения вероятностей, используемые в Тамаре» . Программное обеспечение Восе. 2 мая 2017 г. Проверено 16 июля 2017 г.

[11] «PERTDistribution — Документация на языке Wolfram» . Ссылка.wolfram.com . Проверено 16 июля 2017 г.

[12] «Пакет mc2d» ( PDF) . 6 марта 2017 г. Проверено 16 декабря 2020 г.

[13] «ПертДист» . 6 декабря 2020 г. Проверено 5 января 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

ПЕРТ
Функция плотности вероятности Примеры кривых плотности для распределения вероятностей PERT
Кумулятивная функция распределения Пример кумулятивных кривых распределения для распределения вероятностей PERT
Параметры	$b>a\,$ (настоящий) $c>b\,$ (настоящий)
Поддерживать	$x\in [a,c]\,$
PDF	${\frac {(x-a)^{\alpha -1}(c-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(c-a)^{\alpha +\beta -1}}}$ где $\alpha ={\frac {4b+c-5a}{c-a}}=1+4{\frac {b-a}{c-a}}$ $\beta ={\frac {5c-a-4b}{c-a}}=1+4{\frac {c-b}{c-a}}$
CDF	$I_{z}(\alpha ,\beta )$ (регуляризованная неполная бета-функция ) с $z=(x-a)/(c-a)$
Иметь в виду	$\operatorname {E} [X]={\frac {a+4b+c}{6}}=\mu$
медиана	$I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )(c-a)+a$ $\approx a+(c-a){\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}={\frac {a+6b+c}{8}}$
Режим	$b$
Дисперсия	$\operatorname {var} [X]={\frac {(\mu -a)(c-\mu )}{7}}$
асимметрия	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Избыточный эксцесс	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$