Распределение Лога-Коши

Лог-Коши

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\mu$ ( настоящий ) $\displaystyle \sigma >0\!$ (настоящий)
Поддерживать	$\displaystyle x\in (0,+\infty )\!$
PDF	${1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0$
CDF	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)+{\frac {1}{2}},\ \ x>0$
Иметь в виду	бесконечный
медиана	$e^{\mu }\,$
Дисперсия	бесконечный
асимметрия	не существует
Избыточный эксцесс	не существует
МГФ	не существует

В теории вероятностей лог-распределение Коши — это распределение вероятностей , случайной величины которой логарифм распределен в соответствии с распределением Коши . Если X — случайная величина с распределением Коши, то Y = exp( X ) имеет логарифмическое распределение Коши; аналогично, если Y имеет логарифмическое распределение Коши, то X = log( Y ) имеет распределение Коши.

Характеристика

Распределение log-Коши является частным случаем распределения log-t, где параметр степеней свободы равен 1.

Функция плотности вероятности

Распределение логарифма Коши имеет функцию плотности вероятности :

${\begin{aligned}f(x;\mu ,\sigma )&={\frac {1}{x\pi \sigma \left[1+\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right]}},\ \ x>0\\&={1 \over x\pi }\left[{\sigma \over (\ln x-\mu )^{2}+\sigma ^{2}}\right],\ \ x>0\end{aligned}}$

где $\mu$ действительное число и $\sigma >0$. Если $\sigma$ известен, параметр масштаба равен $e^{\mu }$. $\mu$ и $\sigma$ соответствуют параметру местоположения и параметру масштаба соответствующего распределения Коши. Некоторые авторы определяют $\mu$ и $\sigma$ как параметры местоположения и масштаба соответственно распределения логарифма Коши.

Для $\mu =0$ и $\sigma =1$, что соответствует стандартному распределению Коши, функция плотности вероятности сводится к:

$f(x;0,1)={\frac {1}{x\pi [1+(\ln x)^{2}]}},\ \ x>0$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения ( cdf ), когда $\mu =0$ и $\sigma =1$ является:

$F(x;0,1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0$

Функция выживания

Функция выживания, когда $\mu =0$ и $\sigma =1$ является:

$S(x;0,1)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x),\ \ x>0$

Уровень опасности

Степень опасности , когда $\mu =0$ и $\sigma =1$ является:

$\lambda (x;0,1)=\left\{{\frac {1}{x\pi \left[1+\left(\ln x\right)^{2}\right]}}\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan(\ln x)\right]\right\}^{-1},\ \ x>0$

Уровень опасности снижается в начале и в конце распределения, но может существовать интервал, в течение которого уровень опасности увеличивается.

Характеристики

Логарифмическое распределение Коши является примером распределения с тяжелым хвостом . Некоторые авторы считают его распределением со «сверхтяжелым хвостом», поскольку оно имеет более тяжелый хвост, чем тяжелый хвост типа распределения Парето , т.е. оно имеет логарифмически затухающий хвост. Как и в случае с распределением Коши, ни один из нетривиальных моментов лог-распределения Коши не конечен. Среднее значение — это момент, поэтому распределение логарифма Коши не имеет определенного среднего значения или стандартного отклонения .

Логарифмическое распределение Коши бесконечно делимо для некоторых параметров, но не для других. Подобно логнормальному распределению , лог-т или лог-распределению Стьюдента и распределению Вейбулла , лог-распределение Коши является частным случаем обобщенного бета-распределения второго рода . Лог-Коши на самом деле является частным случаем распределения log-t, аналогично распределению Коши, являющемуся частным случаем распределения Стьюдента с 1 степенью свободы.

Поскольку распределение Коши является стабильным распределением , логарифмическое распределение Коши является логстабильным распределением. Логстабильные распределения имеют полюса при x=0.

Оценка параметров

Медиана ​ натуральных логарифмов выборки ​ является надежной оценкой $\mu$. Медианное абсолютное отклонение натуральных логарифмов выборки является надежной оценкой $\sigma$.

Использование

В байесовской статистике логарифмическое распределение Коши можно использовать для аппроксимации неправильной плотности Джеффриса -Холдейна 1/k, которую иногда предлагают в качестве априорного распределения для k, где k — оцениваемый положительный параметр. Логарифмическое распределение Коши можно использовать для моделирования определенных процессов выживания, при которых могут возникать значительные выбросы или экстремальные результаты. Примером процесса, для которого логарифмическое распределение Коши может быть подходящей моделью, является время между заражением человека ВИЧ и проявлением симптомов заболевания, которое у некоторых людей может быть очень длительным. Он также был предложен в качестве модели структуры численности видов .