Распределение Бореля
Параметры | |||
---|---|---|---|
Поддерживать | |||
ПМФ | |||
Иметь в виду | |||
Дисперсия |
Распределение Бореля представляет собой дискретное распределение вероятностей , возникающее в контексте ветвящихся процессов и теории массового обслуживания . Он назван в честь французского математика Эмиля Бореля .
Если число потомков организма распределено по Пуассону и если среднее число потомков каждого организма не превышает 1, то потомки каждой особи в конечном итоге вымрут. Число потомков, которое в конечном итоге будет иметь человек в этой ситуации, является случайной величиной, распределенной в соответствии с распределением Бореля.
Определение
[ редактировать ]Говорят, что дискретная случайная величина X имеет борелевское распределение. [1] [2] с параметром µ ∈ [0,1], если массы вероятности X функция определяется выражением
для n = 1, 2, 3....
Интерпретация процесса вывода и ветвления
[ редактировать ]Если ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона имеет общее распределение потомков Пуассона со средним значением µ , то общее число особей в ветвящемся процессе имеет борелевское распределение с параметром µ .
Пусть X — общее число индивидуумов в ветвящемся процессе Гальтона–Ватсона. Тогда соответствие между общим размером ветвящегося процесса и временем достижения соответствующего случайного блуждания [3] [4] [5] дает
где S n = Y 1 + … + Y n и Y 1 … Y n – независимые одинаково распределенные случайные величины , общее распределение которых является потомковым распределением ветвящегося процесса. В случае, когда это общее распределение является пуассоновским со средним значением µ , случайная величина Sn значением имеет распределение Пуассона со средним µn ,что приводит к функции масс борелевского распределения, приведенной выше.
Поскольку m- е поколение ветвящегося процесса имеет средний размер µ м - 1 ,среднее значение X равно
Интерпретация теории массового обслуживания
[ редактировать ]В очереди M/D/1 со скоростью поступления µ и общим временем обслуживания 1, распределение типичного периода занятости очереди является борелевским с параметром µ . [6]
Характеристики
[ редактировать ]Если P µ ( n ) — функция массы вероятности Борелевская случайная величина( µ ), то функция масс П ∗
мкм ( п )выборки со смещением по размеру из распределения (т.е. функция масс, пропорциональная nP μ ( n ))дается
Олдос и Питман [7] покажи это
На словах это говорит о том, что борелевская случайная величина ( µ ) имеет такое же распределение ), смещенная по размеру как случайная величина Бореля ( µU , где U имеет равномерное распределение на [0,1].
Это соотношение приводит к различным полезным формулам, в том числе
Распределение Бореля – Таннера
[ редактировать ]Распределение Бореля – Таннера обобщает распределение Бореля.Пусть k — целое положительное число. Если X 1 , X 2 , … X k независимы и каждый имеетРаспределение Бореля с параметром µ , то их сумма Говорят, что W = X 1 + X 2 + … + X k имеет распределение Бореля – Таннера с параметрами µ и k . [2] [6] [8] Это дает распределение общего числа особейв процессе Пуассона-Гальтона-Ватсона, начиная с k особей в первом поколении,или время, необходимое для опустошения очереди M/D/1, начиная с k заданий в очереди. Случай k = 1 — это просто распределение Бореля, приведенное выше.
Обобщая приведенное выше соответствие случайного блуждания для k = 1, [4] [5]
где Sn имеет распределение Пуассона со средним значением nμ .В результате функция массы вероятности имеет вид
для n = k , k + 1, ... .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Борель, Эмиль (1942). «Об использовании теоремы Бернулли для облегчения расчета бесконечного числа коэффициентов. Приложение к задаче ожидания у прилавка». ЧР акад. наук. 214 : 452–456.
- ^ Перейти обратно: а б Таннер, Дж. К. (1961). «Вывод распределения Бореля». Биометрика . 48 (1–2): 222–224. дои : 10.1093/biomet/48.1-2.222 . JSTOR 2333154 .
- ^ Выдра, Р. (1949). «Мультипликативный процесс» . Анналы математической статистики . 20 (2): 206–224. дои : 10.1214/aoms/1177730031 .
- ^ Перейти обратно: а б Двасс, Мейер (1969). «Общее потомство в ветвящемся процессе и связанное с ним случайное блуждание». Журнал прикладной вероятности . 6 (3): 682–686. дои : 10.2307/3212112 . JSTOR 3212112 .
- ^ Перейти обратно: а б Питман, Джим (1997). «Перечисления деревьев и лесов, связанные с ветвящимися процессами и случайными блужданиями» (PDF) . Микрообследования в области дискретной вероятности: семинар DIMACS (41).
- ^ Перейти обратно: а б Хейт, ФА; Брейер, Массачусетс (1960). «Распределение Бореля-Таннера». Биометрика . 47 (1–2): 143–150. дои : 10.1093/biomet/47.1-2.143 . JSTOR 2332966 .
- ^ Олдос, Д.; Питман, Дж. (1998). «Древовидные цепи Маркова, полученные из процессов Гальтона-Ватсона» (PDF) . Анналы Института Анри Пуанкаре Б. 34 (5): 637. Бибкод : 1998AIHPB..34..637A . CiteSeerX 10.1.1.30.9545 . дои : 10.1016/S0246-0203(98)80003-4 .
- ^ Таннер, Дж. К. (1953). «Проблема помех между двумя очередями». Биометрика . 40 (1–2): 58–69. дои : 10.1093/biomet/40.1-2.58 . JSTOR 2333097 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Распределение Бореля-Таннера в системе Mathematica.