Jump to content

Распределение Бореля

Распределение Бореля
Параметры
Поддерживать
ПМФ
Иметь в виду
Дисперсия

Распределение Бореля представляет собой дискретное распределение вероятностей , возникающее в контексте ветвящихся процессов и теории массового обслуживания . Он назван в честь французского математика Эмиля Бореля .

Если число потомков организма распределено по Пуассону и если среднее число потомков каждого организма не превышает 1, то потомки каждой особи в конечном итоге вымрут. Число потомков, которое в конечном итоге будет иметь человек в этой ситуации, является случайной величиной, распределенной в соответствии с распределением Бореля.

Определение

[ редактировать ]

Говорят, что дискретная случайная величина X   имеет борелевское распределение. [1] [2] с параметром µ ∈ [0,1], если массы вероятности X функция определяется выражением

для n = 1, 2, 3....

Интерпретация процесса вывода и ветвления

[ редактировать ]

Если ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона имеет общее распределение потомков Пуассона со средним значением µ , то общее число особей в ветвящемся процессе имеет борелевское распределение с параметром µ .

Пусть X   — общее число индивидуумов в ветвящемся процессе Гальтона–Ватсона. Тогда соответствие между общим размером ветвящегося процесса и временем достижения соответствующего случайного блуждания [3] [4] [5] дает

где S n = Y 1 + … + Y n и Y 1 Y n независимые одинаково распределенные случайные величины , общее распределение которых является потомковым распределением ветвящегося процесса. В случае, когда это общее распределение является пуассоновским со средним значением µ , случайная величина Sn значением имеет распределение Пуассона со средним µn ,что приводит к функции масс борелевского распределения, приведенной выше.

Поскольку m- е поколение ветвящегося процесса имеет средний размер µ м - 1 ,среднее значение X   равно

Интерпретация теории массового обслуживания

[ редактировать ]

В очереди M/D/1 со скоростью поступления µ и общим временем обслуживания 1, распределение типичного периода занятости очереди является борелевским с параметром µ . [6]

Характеристики

[ редактировать ]

Если P µ ( n ) — функция массы вероятности Борелевская случайная величина( µ ), то функция масс П
мкм
( п )выборки со смещением по размеру из распределения (т.е. функция масс, пропорциональная nP μ ( n ))дается

Олдос и Питман [7] покажи это

На словах это говорит о том, что борелевская случайная величина ( µ ) имеет такое же распределение ), смещенная по размеру как случайная величина Бореля ( µU , где U имеет равномерное распределение на [0,1].

Это соотношение приводит к различным полезным формулам, в том числе

Распределение Бореля – Таннера

[ редактировать ]

Распределение Бореля – Таннера обобщает распределение Бореля.Пусть k — целое положительное число. Если X 1 , X 2 , … X k независимы и каждый имеетРаспределение Бореля с параметром µ , то их сумма Говорят, что W = X 1 + X 2 + … + X k имеет распределение Бореля – Таннера с параметрами µ и k . [2] [6] [8] Это дает распределение общего числа особейв процессе Пуассона-Гальтона-Ватсона, начиная с k особей в первом поколении,или время, необходимое для опустошения очереди M/D/1, начиная с k заданий в очереди. Случай k = 1 — это просто распределение Бореля, приведенное выше.

Обобщая приведенное выше соответствие случайного блуждания для k = 1, [4] [5]

где Sn имеет распределение Пуассона со средним значением .В результате функция массы вероятности имеет вид

для n = k , k + 1, ... .

  1. ^ Борель, Эмиль (1942). «Об использовании теоремы Бернулли для облегчения расчета бесконечного числа коэффициентов. Приложение к задаче ожидания у прилавка». ЧР акад. наук. 214 : 452–456.
  2. ^ Перейти обратно: а б Таннер, Дж. К. (1961). «Вывод распределения Бореля». Биометрика . 48 (1–2): 222–224. дои : 10.1093/biomet/48.1-2.222 . JSTOR   2333154 .
  3. ^ Выдра, Р. (1949). «Мультипликативный процесс» . Анналы математической статистики . 20 (2): 206–224. дои : 10.1214/aoms/1177730031 .
  4. ^ Перейти обратно: а б Двасс, Мейер (1969). «Общее потомство в ветвящемся процессе и связанное с ним случайное блуждание». Журнал прикладной вероятности . 6 (3): 682–686. дои : 10.2307/3212112 . JSTOR   3212112 .
  5. ^ Перейти обратно: а б Питман, Джим (1997). «Перечисления деревьев и лесов, связанные с ветвящимися процессами и случайными блужданиями» (PDF) . Микрообследования в области дискретной вероятности: семинар DIMACS (41).
  6. ^ Перейти обратно: а б Хейт, ФА; Брейер, Массачусетс (1960). «Распределение Бореля-Таннера». Биометрика . 47 (1–2): 143–150. дои : 10.1093/biomet/47.1-2.143 . JSTOR   2332966 .
  7. ^ Олдос, Д.; Питман, Дж. (1998). «Древовидные цепи Маркова, полученные из процессов Гальтона-Ватсона» (PDF) . Анналы Института Анри Пуанкаре Б. 34 (5): 637. Бибкод : 1998AIHPB..34..637A . CiteSeerX   10.1.1.30.9545 . дои : 10.1016/S0246-0203(98)80003-4 .
  8. ^ Таннер, Дж. К. (1953). «Проблема помех между двумя очередями». Биометрика . 40 (1–2): 58–69. дои : 10.1093/biomet/40.1-2.58 . JSTOR   2333097 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8bd51a144db31ed644f70a905b4adac7__1607260860
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8b/c7/8bd51a144db31ed644f70a905b4adac7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Borel distribution - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)