Распределение Бореля

Распределение Бореля

Параметры	$\mu \in [0,1]$
Поддерживать	$n\in \{1,2,3,\ldots \}$
ПМФ	${\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}$
Иметь в виду	${\frac {1}{1-\mu }}$
Дисперсия	${\frac {\mu }{(1-\mu )^{3}}}$

Распределение Бореля представляет собой дискретное распределение вероятностей , возникающее в контексте ветвящихся процессов и теории массового обслуживания . Он назван в честь французского математика Эмиля Бореля .

Если число потомков организма распределено по Пуассону и если среднее число потомков каждого организма не превышает 1, то потомки каждой особи в конечном итоге вымрут. Число потомков, которое в конечном итоге будет иметь человек в этой ситуации, является случайной величиной, распределенной в соответствии с распределением Бореля.

Определение

Говорят, что дискретная случайная величина X   имеет борелевское распределение. с параметром µ ∈ [0,1], если массы вероятности X функция определяется выражением

$P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}$

для n = 1, 2, 3....

Интерпретация процесса вывода и ветвления

Если ветвящийся процесс Гальтона-Ватсона имеет общее распределение потомков Пуассона со средним значением µ , то общее число особей в ветвящемся процессе имеет борелевское распределение с параметром µ .

Пусть X   — общее число индивидуумов в ветвящемся процессе Гальтона–Ватсона. Тогда соответствие между общим размером ветвящегося процесса и временем достижения соответствующего случайного блуждания дает

$\Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)$

где S _n = Y ₁ + … + Y _n и Y ₁ … Y _n – независимые одинаково распределенные случайные величины , общее распределение которых является потомковым распределением ветвящегося процесса. В случае, когда это общее распределение является пуассоновским со средним значением µ , случайная величина Sn _{значением} имеет распределение Пуассона со средним µn ,что приводит к функции масс борелевского распределения, приведенной выше.

Поскольку m- е поколение ветвящегося процесса имеет средний размер µ ^{м - 1} ,среднее значение X   равно

$1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.$

Интерпретация теории массового обслуживания

В очереди M/D/1 со скоростью поступления µ и общим временем обслуживания 1, распределение типичного периода занятости очереди является борелевским с параметром µ .

Характеристики

Если P _µ ( n ) — функция массы вероятности Борелевская случайная величина( µ ), то функция масс П ^∗
_мкм ( п )выборки со смещением по размеру из распределения (т.е. функция масс, пропорциональная nP _μ ( n ))дается

$P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n-1)!}}.$

Олдос и Питман покажи это

$P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\lambda .$

На словах это говорит о том, что борелевская случайная величина ( µ ) имеет такое же распределение ), смещенная по размеру как случайная величина Бореля ( µU , где U имеет равномерное распределение на [0,1].

Это соотношение приводит к различным полезным формулам, в том числе

$\operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.$

Распределение Бореля – Таннера

Распределение Бореля – Таннера обобщает распределение Бореля.Пусть k — целое положительное число. Если X ₁ , X ₂ , … X _k независимы и каждый имеетРаспределение Бореля с параметром µ , то их сумма Говорят, что W = X ₁ + X ₂ + … + X _k имеет распределение Бореля – Таннера с параметрами µ и k . Это дает распределение общего числа особейв процессе Пуассона-Гальтона-Ватсона, начиная с k особей в первом поколении,или время, необходимое для опустошения очереди M/D/1, начиная с k заданий в очереди. Случай k = 1 — это просто распределение Бореля, приведенное выше.

Обобщая приведенное выше соответствие случайного блуждания для k = 1,

$\Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=n-k)$

где Sn _{имеет распределение Пуассона} со средним значением nμ .В результате функция массы вероятности имеет вид

$\Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-k}}{(n-k)!}}$

для n = k , k + 1, ... .

Внешние ссылки

• Распределение Бореля-Таннера в системе Mathematica.