Обобщенное гамма-распределение

Обобщенная гамма

Функция плотности вероятности
Параметры	$a>0$ (шкала), $d,p>0$
Поддерживать	$x\;\in \;(0,\,\infty )$
PDF	${\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}$
CDF	${\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}$
Иметь в виду	$a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}$
Режим	$a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0$
Дисперсия	$a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)$
Энтропия	$\ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)$

Обобщенное гамма-распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей с двумя параметрами формы (и параметром масштаба ). Это обобщение гамма-распределения , которое имеет один параметр формы (и параметр масштаба). Поскольку многие распределения, обычно используемые для параметрических моделей в анализе выживаемости (такие как экспоненциальное распределение , распределение Вейбулла и гамма-распределение ), являются частными случаями обобщенного гамма-распределения, его иногда используют для определения того, какая параметрическая модель подходит для данного набора данные. Другой пример — полунормальное распределение .

Характеристики

Обобщенное гамма-распределение имеет два параметра формы : $d>0$ и $p>0$и параметр масштаба , $a>0$. Для неотрицательного x из обобщенного гамма-распределения функция плотности вероятности равна

$f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}},$

где $\Gamma (\cdot )$ обозначает гамма-функцию .

Кумулятивная функция распределения равна

$F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}},{\text{or}}\,P\left({\frac {d}{p}},\left({\frac {x}{a}}\right)^{p}\right);$

где $\gamma (\cdot )$ обозначает нижнюю неполную гамма-функцию , и $P(\cdot ,\cdot )$ обозначает регуляризованную нижнюю неполную гамма-функцию .

Функцию квантиля можно найти, заметив, что $F(x;a,d,p)=G((x/a)^{p})$ где $G$ – кумулятивная функция распределения гамма-распределения с параметрами $\alpha =d/p$ и $\beta =1$. Функция квантиля затем определяется путем инвертирования $F$ используя известные соотношения об обратных составных функциях , получаем:

$F^{-1}(q;a,d,p)=a\cdot {\big [}G^{-1}(q){\big ]}^{1/p},$

с $G^{-1}(q)$ является функцией квантиля для гамма-распределения с $\alpha =d/p,\,\beta =1$.

Связанные дистрибутивы

• Если $d=p$ тогда обобщенное гамма-распределение становится распределением Вейбулла .
• Если $p=1$ обобщенная гамма становится гамма-распределением .
• Если $p=d=1$ тогда оно становится экспоненциальным распределением .
• Если $p=d=2$ тогда оно становится распределением Рэлея .
• Если $p=2$ и $d=2m$ тогда оно становится распределением Накагами .
• Если $p=2$ и $d=1$ тогда оно становится полунормальным распределением .

Иногда используются альтернативные параметризации этого распределения; например, с заменой α = d/p . Кроме того, можно добавить параметр сдвига, чтобы область определения x начиналась с некоторого значения, отличного от нуля. ограничения на знаки a , d и p Если также снять (но α = d / p остается положительным), это дает распределение, названное распределением Аморосо , в честь итальянского математика и экономиста Луиджи Аморосо, описавшего его в 1925 году.

Моменты

Если X имеет обобщенное гамма-распределение, как указано выше, то

$\operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}.$

Характеристики

Обозначим GG(a,d,p) как обобщенное гамма-распределение параметров a , d , p .Тогда, учитывая $c$ и $\alpha$ два положительных действительных числа, если $f\sim GG(a,d,p)$, затем $cf\sim GG(ca,d,p)$ и $f^{\alpha }\sim GG\left(a^{\alpha },{\frac {d}{\alpha }},{\frac {p}{\alpha }}\right)$.

Расхождение Кульбака-Лейблера

Если $f_{1}$ и $f_{2}$ являются функциями плотности вероятности двух обобщенных гамма-распределений, то их расхождение Кульбака-Лейблера определяется выражением

${\begin{aligned}D_{KL}(f_{1}\parallel f_{2})&=\int _{0}^{\infty }f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})\,\ln {\frac {f_{1}(x;a_{1},d_{1},p_{1})}{f_{2}(x;a_{2},d_{2},p_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p_{1}\,a_{2}^{d_{2}}\,\Gamma \left(d_{2}/p_{2}\right)}{p_{2}\,a_{1}^{d_{1}}\,\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d_{1}/p_{1}\right)}{p_{1}}}+\ln a_{1}\right](d_{1}-d_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d_{1}+p_{2})/p_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d_{1}/p_{1}\right)}}\left({\frac {a_{1}}{a_{2}}}\right)^{p_{2}}-{\frac {d_{1}}{p_{1}}}\end{aligned}}$

где $\psi (\cdot )$ это дигамма-функция .

Программная реализация

В языке программирования R есть несколько пакетов, включающих функции для подбора и генерации обобщенных гамма-распределений. Пакет gamlss в R позволяет подбирать и генерировать множество различных семейств распределений, включая обобщенную гамму (семейство = GG). Другие опции в R, реализованные в пакете flexsurv , включают функцию dgengamma с параметризацией: $\mu =\ln a+{\frac {\ln d-\ln p}{p}}$, $\sigma ={\frac {1}{\sqrt {pd}}}$, $Q={\sqrt {\frac {p}{d}}}$, а в пакете γ с параметризацией: $a=a$, $b=p$, $k=d/p$.

На Python языке программирования это реализовано в пакете SciPy с параметризацией: $c=p$, $a=d/p$и масштаб 1.

См. также

• половинного t Распределение
• Усеченное нормальное распределение
• Свернутое нормальное распределение
• Выпрямленное распределение Гаусса
• Модифицированное полунормальное распределение
• Обобщенное целочисленное гамма-распределение