Обобщенное целочисленное гамма-распределение

В теории вероятности и статистике обобщенное целочисленное гамма-распределение (GIG) — это распределение суммы независимых гамма-распределенные случайные величины , все с целочисленными параметрами формы и различными параметрами скорости. Это частный случай обобщенного распределения хи-квадрат . Родственной концепцией является обобщенное почти целочисленное гамма-распределение (GNIG).

Определение

величина Случайная $X\!$ имеет гамма-распределение с параметром формы $r$ и параметр скорости $\lambda$ если его функция плотности вероятности равна

$f_{X}^{}(x)={\frac {\lambda ^{r}}{\Gamma (r)}}\,e^{-\lambda x}x^{r-1}~~~~~~(x>0;\,\lambda ,r>0)$

и этот факт обозначается $X\sim \Gamma (r,\lambda )\!.$

Позволять $X_{j}\sim \Gamma (r_{j},\lambda _{j})\!$, где $(j=1,\dots ,p),$ быть $p$ независимые случайные величины, причем все $r_{j}$ положительные целые числа и все $\lambda _{j}\!$ другой. Другими словами, каждая переменная имеет распределение Эрланга с разными параметрами формы. Уникальность каждого параметра формы достигается без потери общности, поскольку в любом случае, когда некоторые из $\lambda _{j}$ равны, будут обрабатываться путем предварительного добавления соответствующих переменных: эта сумма будет иметь гамма-распределение с тем же параметром скорости и параметром формы, который равен сумме параметров формы в исходных распределениях.

Тогда случайная величина Y, определенная формулой

$Y=\sum _{j=1}^{p}X_{j}$

имеет распределение глубины GIG (обобщенная целочисленная гамма) $p$ с параметрами формы $r_{j}\!$ и параметры тарифа $\lambda _{j}\!$ $(j=1,\dots ,p)$. Этот факт обозначается

$Y\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!.$

Это также частный случай обобщенного распределения хи-квадрат .

Характеристики

Функция плотности вероятности и функция распределения Y кумулятивная соответственно определяются выражением

$f_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,K\sum _{j=1}^{p}P_{j}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)$

и

$F_{Y}^{\text{GIG}}(y|r_{1},\dots ,r_{p};\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p})\,=\,1-K\sum _{j=1}^{p}P_{j}^{*}(y)\,e^{-\lambda _{j}\,y}\,,~~~~(y>0)$

где

$K=\prod _{j=1}^{p}\lambda _{j}^{r_{j}}~,~~~~~P_{j}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,y^{k-1}$

и

$P_{j}^{*}(y)=\sum _{k=1}^{r_{j}}c_{j,k}\,(k-1)!\sum _{i=0}^{k-1}{\frac {y^{i}}{i!\,\lambda _{j}^{k-i}}}$

с

$c_{j,r_{j}}={\frac {1}{(r_{j}-1)!}}\,\mathop {\prod _{i=1}^{p}} _{i\neq j}(\lambda _{i}-\lambda _{j})^{-r_{i}}~,~~~~~~j=1,\ldots ,p\,,$ ( 1 )

и

$c_{j,r_{j}-k}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {(r_{j}-k+i-1)!}{(r_{j}-k-1)!}}\,R(i,j,p)\,c_{j,r_{j}-(k-i)}\,,~~~~~~(k=1,\ldots ,r_{j}-1;\,j=1,\ldots ,p)$ ( 2 )

где

$R(i,j,p)=\mathop {\sum _{k=1}^{p}} _{k\neq j}r_{k}\left(\lambda _{j}-\lambda _{k}\right)^{-i}~~~(i=1,\ldots ,r_{j}-1)\,.$ ( 3 )

Альтернативные выражения доступны в литературе по обобщенному распределению хи-квадрат — области, в которой компьютерные алгоритмы доступны уже несколько лет.

Обобщение

Распределение глубины GNIG (обобщенная почти целая гамма) $p+1$ это распределение случайной величины

$Z=Y_{1}+Y_{2}\!,$

где $Y_{1}\sim GIG(r_{j},\lambda _{j};p)\!$ и $Y_{2}\sim \Gamma (r,\lambda )\!$ две независимые случайные величины, где $r$ является положительным нецелым числом, и где $\lambda \neq \lambda _{j}$ $(j=1,\dots ,p)$.

Характеристики

Функция плотности вероятности $Z\!$ дается

${\begin{array}{l}\displaystyle f_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\dots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\dots ,\lambda _{p},\lambda )=\\[5pt]\displaystyle \quad \quad \quad K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{\left\{{c_{j,k}{\frac {\Gamma (k)}{\Gamma (k+r)}}z^{k+r-1}{}_{1}F_{1}(r,k+r,-(\lambda -\lambda _{j})z)}\right\}}{\rm {,}}~~~~(z>0)\end{array}}$

а кумулятивная функция распределения определяется выражением

${\begin{array}{l}\displaystyle F_{Z}^{\text{GNIG}}(z|r_{1},\ldots ,r_{p},r;\,\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{p},\lambda )={\frac {\lambda ^{r}\,{z^{r}}}{\Gamma (r+1)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1,-\lambda z)\\[12pt]\quad \quad \displaystyle -K\lambda ^{r}\sum \limits _{j=1}^{p}{e^{-\lambda _{j}z}}\sum \limits _{k=1}^{r_{j}}{c_{j,k}^{*}}\sum \limits _{i=0}^{k-1}{\frac {z^{r+i}\lambda _{j}^{i}}{\Gamma (r+1+i)}}{}_{1}F_{1}(r,r+1+i,-(\lambda -\lambda _{j})z)~~~~(z>0)\end{array}}$

где

$c_{j,k}^{*}={\frac {c_{j,k}}{\lambda _{j}^{k}}}\Gamma (k)$

с $c_{j,k}$ задано ( 1 )-( 3 ) выше. В приведенных выше выражениях $_{1}F_{1}(a,b;z)$ – вырожденная по Куммеру гипергеометрическая функция. Эта функция обычно имеет очень хорошие свойства сходимости и в настоящее время легко обрабатывается рядом программных пакетов.

Приложения

Распределения GIG и GNIG являются основой для точных и почти точных распределений большого количества статистических данных теста отношения правдоподобия и связанных с ними статистических данных, используемых в многомерном анализе . Точнее, это приложение обычно предназначено для точного и почти точного распределения отрицательного логарифма такой статистики. При необходимости можно легко с помощью простого преобразования получить соответствующие точные или почти точные распределения для соответствующих статистических данных теста отношения правдоподобия.

Дистрибутив GIG также является основой для ряда завернутых дистрибутивов семейства упакованных гамма-версий.

Поскольку это частный случай обобщенного распределения хи-квадрат , существует множество других приложений; например, в теории обновления и в беспроводной связи с несколькими антеннами.