Распределение Каниадакиса Вейбулла

κ - Распределение Вейбулла

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$0<\kappa <1$ $\alpha >0$ ставки форма ( реальная ) $\beta >0$ ставка ( реальная )
Поддерживать	$x\in [0,+\infty )$
PDF	${\frac {\alpha \beta x^{\alpha -1}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2\alpha }}}}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$
CDF	$1-\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$
Квантиль	$\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg [}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )}{\Bigg ]}^{1/\alpha }$
медиана	$\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\ln _{\kappa }(2){\Bigg )}^{1/\alpha }$
Режим	$\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}{\frac {\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}(\alpha -1)}{2\kappa ^{2}(\alpha ^{2}-\kappa ^{2})}}{\sqrt {1+{\frac {4\kappa ^{2}(\alpha ^{2}-\kappa ^{2})(\alpha -1)^{2}}{[\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}(\alpha -1)]^{2}}}}}-1{\Bigg )}^{1/2\alpha }$
Метод моментов	${\frac {(2\kappa \beta )^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\frac {m}{\alpha }}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}\Gamma {\Big (}1+{\frac {m}{\alpha }}{\Big )}$

Распределение Каниадакиса Вейбулла (или κ -распределение Вейбулла) — распределение вероятностей , возникающее как обобщение распределения Вейбулла . Это один из примеров Каниадакиса κ -распределения . Распределение κ-Вейбулла успешно применяется для описания широкого спектра сложных систем в сейсмологии, экономике, эпидемиологии и многих других.

Определения

Функция плотности вероятности

Распределение Каниадакиса κ -Вейбулла демонстрирует степенной правый хвост и имеет следующую функцию плотности вероятности :

$f_{_{\kappa }}(x)={\frac {\alpha \beta x^{\alpha -1}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2\alpha }}}}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$

действителен для $x\geq 0$, где $|\kappa |<1$ — индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса , $\beta >0$ - параметр масштаба, а $\alpha >0$ — параметр формы или модуль Вейбулла .

Распределение Вейбулла восстанавливается как $\kappa \rightarrow 0.$

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения -распределения Вейбулла κ определяется выражением

$F_{\kappa }(x)=1-\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$

действителен для $x\geq 0$. Кумулятивное распределение Вейбулла восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Распределение выживания и функции опасности

Функция распределения выживания κ -распределения Вейбулла определяется выражением

$S_{\kappa }(x)=\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$

действителен для $x\geq 0$. выживания Распределение Вейбулла восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Сравнение функции вероятности κ-Вейбулла Каниадакиса и ее кумулятивной функции.

Функция риска κ -распределения Вейбулла получается путем решения κ -скоростного уравнения:

${\frac {S_{\kappa }(x)}{dx}}=-h_{\kappa }S_{\kappa }(x)$

с $S_{\kappa }(0)=1$, где $h_{\kappa }$ – функция опасности:

$h_{\kappa }={\frac {\alpha \beta x^{\alpha -1}}{\sqrt {1+\kappa ^{2}\beta ^{2}x^{2\alpha }}}}$

Кумулятивное κ -распределение Вейбулла связано с κ -функцией риска следующим выражением:

$S_{\kappa }=e^{-H_{\kappa }(x)}$

где

$H_{\kappa }(x)=\int _{0}^{x}h_{\kappa }(z)dz$

$H_{\kappa }(x)={\frac {1}{\kappa }}{\textrm {arcsinh}}\left(\kappa \beta x^{\alpha }\right)$

– кумулятивная κ -функция риска. Кумулятивная функция риска распределения Вейбулла восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$: $H(x)=\beta x^{\alpha }$ .

Характеристики

Моменты, медиана и мода

Распределение κ -Вейбулла имеет момент порядка $m\in \mathbb {N}$ данный

$\operatorname {E} [X^{m}]={\frac {|2\kappa \beta |^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\frac {m}{\alpha }}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}\Gamma {\Big (}1+{\frac {m}{\alpha }}{\Big )}$

Медиана и мода:

$x_{\textrm {median}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\ln _{\kappa }(2){\Bigg )}^{1/\alpha }$

$x_{\textrm {mode}}=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}{\frac {\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}(\alpha -1)}{2\kappa ^{2}(\alpha ^{2}-\kappa ^{2})}}{\Bigg )}^{1/2\alpha }{\Bigg (}{\sqrt {1+{\frac {4\kappa ^{2}(\alpha ^{2}-\kappa ^{2})(\alpha -1)^{2}}{[\alpha ^{2}+2\kappa ^{2}(\alpha -1)]^{2}}}}}-1{\Bigg )}^{1/2\alpha }\quad (\alpha >1)$

Квантили

Квантили выражением задаются следующим

$x_{\textrm {quantile}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg [}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )}{\Bigg ]}^{1/\alpha }$

с $0\leq F_{\kappa }\leq 1$.

Коэффициент Джини

Коэффициент Джини составляет:

$\operatorname {G} _{\kappa }=1-{\frac {\alpha +\kappa }{\alpha +{\frac {1}{2}}\kappa }}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{\kappa }}-{\frac {1}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{\kappa }}+{\frac {1}{2\alpha }}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {1}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {1}{2\alpha }}{\Big )}}}$

Асимптотическое поведение

κ -Распределение Вейбулла II асимптотически ведет себя следующим образом:

$\lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim {\frac {\alpha }{\kappa }}(2\kappa \beta )^{-1/\kappa }x^{-1-\alpha /\kappa }$

$\lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=\alpha \beta x^{\alpha -1}$

Связанные дистрибутивы

• Распределение κ -Вейбулла является обобщением:
  • κ – Экспоненциальное распределение II типа , когда $\alpha =1$;
  • Экспоненциальное распределение, когда $\kappa =0$ и $\alpha =1$.
• κ когда -Распределение Вейбулла соответствует κ -деформированному распределению Рэлея, $\alpha =2$ и распределение Рэлея, когда $\kappa =0$ и $\alpha =2$.

Приложения

Распределение κ -Вейбулла применялось в нескольких областях, таких как:

• В экономике для анализа моделей личных доходов , чтобы точно описать одновременно распределение доходов среди самой богатой части и подавляющего большинства населения.
• В сейсмологии κ-Вейбулла представляет собой статистическое распределение магнитуды землетрясений, распределенных по Земле, обобщая закон Гутенберга-Рихтера . и интервальное распределение сейсмических данных, моделирующее интервалы повторения экстремальных событий.
• В эпидемиологии распределение κ-Вейбулла представляет собой универсальную функцию для эпидемиологического анализа.

См. также

• Джорджио Каниадакис
• Текущая статистика
• Распространение Каниадакиса
• κ-Экспоненциальное распределение Каниадакиса
• κ-гауссово распределение Каниадакиса
• κ-гамма-распределение Каниадакиса
• Каниадакис κ-Логистическое распределение
• Распределение Кианадакиса κ-Эрланга

Внешние ссылки

• Статистика Каниадакиса на arXiv.org