Гамма-распределение Кианадакиса

κ - Гамма-распределение

Функция плотности вероятности
Параметры	$0\leq \kappa <1$ $\alpha >0$ форма ( настоящая ) $\beta >0$ ставка ( реальная ) $0<\nu <1/\kappa$
Поддерживать	$x\in [0,+\infty )$
PDF	$(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$
CDF	$(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha })dz$
Режим	$\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha }}}$
Метод моментов	$\beta ^{-m/\alpha }{\frac {(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}$

( Обобщенное гамма-распределение Каниадакиса или κ-обобщенное гамма-распределение ) представляет собой четырехпараметрическое семейство непрерывных статистических распределений , поддерживаемых на полубесконечном интервале [0,∞), которое возникает из статистики Каниадакиса . Это один из примеров распределения Каниадакиса . κ-Гамма — это деформация обобщенного гамма-распределения .

Определения

Функция плотности вероятности

Распределение Каниадакиса κ -Gamma имеет следующую функцию плотности вероятности :

$f_{_{\kappa }}(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$

действителен для $x\geq 0$, где $0\leq |\kappa |<1$ — индекс энтропии, связанный с энтропией Каниадакиса , $0<\nu <1/\kappa$, $\beta >0$ - параметр масштаба, а $\alpha >0$ является параметром формы.

Обычное обобщенное гамма-распределение восстанавливается как $\kappa \rightarrow 0$: $f_{_{0}}(x)={\frac {|\alpha |\beta ^{\nu }}{\Gamma \left(\nu \right)}}x^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta x^{\alpha })$.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная распределения функция κ -Гамма-распределения принимает вид:

$F_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}\int _{0}^{x}z^{\alpha \nu -1}\exp _{\kappa }(-\beta z^{\alpha })dz$

действителен для $x\geq 0$, где $0\leq |\kappa |<1$. Кумулятивное обобщенное гамма- распределение восстанавливается в классическом пределе $\kappa \rightarrow 0$.

Характеристики

Моменты и режим

Распределение κ -Gamma имеет момент порядка $m$ данный

$\operatorname {E} [X^{m}]=\beta ^{-m/\alpha }{\frac {(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{-m/\alpha }}{1+\kappa {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}}{\frac {\Gamma {\big (}\nu +{\frac {m}{\alpha }}{\big )}}{\Gamma (\nu )}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\Big )}}}{\frac {\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}-{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}{\Gamma {\Big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {m}{2\alpha }}{\Big )}}}$

Момент заказа $m$ распределения κ -Gamma конечно для $0<\nu +m/\alpha <1/\kappa$.

Режим задается:

$x_{\textrm {mode}}=\beta ^{-1/\alpha }{\Bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg )}^{\frac {1}{\alpha }}{\Bigg [}1-\kappa ^{2}{\bigg (}\nu -{\frac {1}{\alpha }}{\bigg )}^{2}{\Bigg ]}^{-{\frac {1}{2\alpha }}}$

Асимптотическое поведение

Распределение κ -Gamma асимптотически ведет себя следующим образом:

$\lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim (2\kappa \beta )^{-1/\kappa }(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1-\alpha /\kappa }$

$\lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=(1+\kappa \nu )(2\kappa )^{\nu }{\frac {\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}+{\frac {\nu }{2}}{\big )}}{\Gamma {\big (}{\frac {1}{2\kappa }}-{\frac {\nu }{2}}{\big )}}}{\frac {\alpha \beta ^{\nu }}{\Gamma {\big (}\nu {\big )}}}x^{\alpha \nu -1}$

Связанные дистрибутивы

• Распределения κ -гамма являются обобщением:
  • κ — Экспоненциальное распределение I типа , когда $\alpha =\nu =1$;
  • Распределение Каниадакиса κ -Эрланга , когда $\alpha =1$ и $\nu =n=$ положительное целое число.
  • κ -Полунормальное распределение , когда $\alpha =2$ и $\nu =1/2$;
• Распределение κ -Gamma соответствует нескольким распределениям вероятностей, когда $\kappa =0$, такой как:
  • Гамма-распределение , когда $\alpha =1$;
  • Экспоненциальное распределение , когда $\alpha =\nu =1$;
  • Распределение Эрланга , когда $\alpha =1$ и $\nu =n=$ положительное целое число;
  • Распределение хи-квадрат , когда $\alpha =1$ и $\nu =$ полуцелое число;
  • Распределение Накагами , когда $\alpha =2$ и $\nu >0$;
  • Распределение Рэлея , когда $\alpha =2$ и $\nu =1$;
  • Распределение Ци , когда $\alpha =2$ и $\nu =$ полуцелое число;
  • Распределение Максвелла, когда $\alpha =2$ и $\nu =3/2$;
  • Полунормальное распределение , когда $\alpha =2$ и $\nu =1/2$;
  • Распределение Вейбулла , когда $\alpha >0$ и $\nu =1$;
  • Растянутое экспоненциальное распределение , когда $\alpha >0$ и $\nu =1/\alpha$;

См. также

• Джорджио Каниадакис
• Текущая статистика
• Распространение Каниадакиса
• κ-Экспоненциальное распределение Каниадакиса
• κ-гауссово распределение Каниадакиса
• Распределение Каниадакиса κ-Вейбулла
• Каниадакис κ-Логистическое распределение
• Распределение Кианадакиса κ-Эрланга

Внешние ссылки

• Статистика Каниадакиса на arXiv.org