Взаимное распределение

Взаимный

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$0<a<b,a,b\in \mathbb {R}$
Поддерживать	$[a,b]$
PDF	${\frac {1}{x\ln {\frac {b}{a}}}}$
CDF	${\frac {\ln {\frac {x}{a}}}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
Иметь в виду	${\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}$
медиана	${\sqrt {ab}}$
Дисперсия	${\frac {b^{2}-a^{2}}{2\ln {\frac {b}{a}}}}-\left({\frac {b-a}{\ln {\frac {b}{a}}}}\right)^{2}$

В теории вероятности и статистике обратное распределение , также известное как логарифмически-равномерное распределение , представляет собой непрерывное распределение вероятностей . Он характеризуется своей функцией плотности вероятности в пределах распределения, которая пропорциональна обратной величине переменной.

Взаимное распределение является примером обратного распределения , а обратная (обратная) величина случайной величины с обратным распределением сама по себе имеет обратное распределение.

Определение

Функция плотности вероятности (pdf) обратного распределения равна

$f(x;a,b)={\frac {1}{x[\ln(b)-\ln(a)]}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b{\text{ and }}a>0.$

Здесь, $a$ и $b$ – параметры распределения, являющиеся нижней и верхней границей опоры , $\ln$ это натуральный бревно . Кумулятивная функция распределения равна

$F(x;a,b)={\frac {\ln(x)-\ln(a)}{\ln(b)-\ln(a)}}\quad {\text{ for }}a\leq x\leq b.$

Характеристика

Связь между логарифмическим и равномерным распределением

Гистограмма и лог-гистограмма случайных отклонений от обратного распределения

Положительная случайная величина X распределена логарифмически равномерно, если логарифм X распределен равномерно,

$\ln(X)\sim {\mathcal {U}}(\ln(a),\ln(b)).$

Это соотношение верно независимо от основания логарифмической или показательной функции. Если $\log _{a}(Y)$ распределено равномерно, то и $\log _{b}(Y)$, для любых двух положительных чисел $a,b\neq 1$. Аналогично, если $e^{X}$ распределено логарифмически равномерно, то и $a^{X}$, где $0<a\neq 1$.

Приложения

Обратное распределение имеет большое значение в численном анализе , поскольку мантиссы арифметические операции компьютера преобразуют с начальными произвольными распределениями в обратное распределение как предельное распределение.