Искажение нормального распределения

Перекос нормальный

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	$\xi \,$ местоположение ( реальное ) $\omega \,$ масштаб (положительный, реальный ) $\alpha \,$ форма ( настоящая )
Поддерживать	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
PDF	${\frac {2}{\omega {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ \mathrm {d} t$
CDF	$\Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)$ $T(h,a)$ это Т-функция Оуэна
Иметь в виду	$\xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ где $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$
Режим	$\xi +\omega m_{o}(\alpha )$
Дисперсия	$\omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)$
асимметрия	$\gamma _{1}={\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}$
Избыточный эксцесс	$2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}$
МГФ	$M_{X}\left(t\right)=2\exp \left(\xi t+{\frac {\omega ^{2}t^{2}}{2}}\right)\Phi \left(\omega \delta t\right)$
CF	$e^{it\xi -t^{2}\omega ^{2}/2}\left(1+i\,{\textrm {Erfi}}\left({\frac {\delta \omega t}{\sqrt {2}}}\right)\right)$

В теории вероятностей и статистике асимметричное нормальное распределение — это непрерывное распределение вероятностей , которое обобщает нормальное распределение , допуская ненулевую асимметрию .

Определение

Позволять $\phi (x)$ обозначаем стандартную нормальную функцию плотности вероятности

$\phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

с кумулятивной функцией распределения, определяемой выражением

$\Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ \mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right],$

где «erf» — функция ошибки . Тогда функция плотности вероятности (pdf) косонормального распределения с параметром $\alpha$ дается

$f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,$

Это распределение было впервые введено О'Хаганом и Леонардом (1976). Альтернативные формы этого распределения с соответствующей функцией квантиля были предложены Ашуром и Абдель-Хамидом. и Мудхолкар и Хатсон.

Случайный процесс, лежащий в основе распределения, был описан Анделом, Нетукой и Зварой (1984). И распределение, и его основа стохастического процесса были следствием аргумента симметрии, развитого Чаном и Тонгом (1986): что применимо к многомерным случаям, выходящим за рамки нормальности, например, асимметрическому многомерному t-распределению и другим. Распределение является частным случаем общего класса распределений с функциями плотности вероятности вида $f(x)=2\phi (x)\Phi (x)$ где $\phi (\cdot )$ является ли любой PDF-файл симметричным относительно нуля и $\Phi (\cdot )$ — это любой CDF , PDF которого симметричен относительно нуля.

Чтобы добавить к этому параметры местоположения и масштаба , делается обычное преобразование $x\rightarrow {\frac {x-\xi }{\omega }}$. Можно проверить, что нормальное распределение восстанавливается, если $\alpha =0$, и что абсолютное значение асимметрии увеличивается с увеличением абсолютного значения $\alpha$ увеличивается. Распределение искажено вправо, если $\alpha >0$ и остается перекошенным, если $\alpha <0$. Функция плотности вероятности с местоположением $\xi$, шкала $\omega$и параметр $\alpha$ становится

$f(x)={\frac {2}{\omega }}\phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\Phi \left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right).\,$

Неровность ( $\gamma _{1}$) распределения ограничено чуть меньшим интервала $(-1,1)$ ( см . Оценка ).

Как было показано, режим (максимум) $m_{o}$ дистрибутива уникальна. Для общего $\alpha$ нет аналитического выражения для $m_{o}$, но вполне точная (численная) аппроксимация:

$${\begin{aligned}\delta &={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}\\m_{o}(\alpha )&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta -\left(1-{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\left({\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\delta \right)^{3}}{1-{\frac {2}{\pi }}\delta ^{2}}}-{\frac {\mathrm {sgn} (\alpha )}{2}}e^{\left(-{\frac {2\pi }{|\alpha |}}\right)}\\\end{aligned}}$$

Оценка

максимального правдоподобия для Оценки $\xi$, $\omega$, и $\alpha$ могут быть вычислены численно, но выражение для оценок в закрытой форме недоступно, если только $\alpha =0$. Напротив, метод моментов имеет выражение в замкнутой форме, поскольку уравнение асимметрии можно обратить с помощью

$|\delta |={\sqrt {{\frac {\pi }{2}}{\frac {|\gamma _{1}|^{\frac {2}{3}}}{|\gamma _{1}|^{\frac {2}{3}}+((4-\pi )/2)^{\frac {2}{3}}}}}}$

где $\delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$ и знак $\delta$ то же самое, что и знак $\gamma _{1}$. Следовательно, $\alpha ={\frac {\delta }{\sqrt {1-\delta ^{2}}}}$, $\omega ={\frac {\sigma }{\sqrt {1-2\delta ^{2}/\pi }}}$, и $\xi =\mu -\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ где $\mu$ и $\sigma$ среднее и стандартное отклонение. Пока асимметрия выборки ${\hat {\gamma }}_{1}$ не слишком велика, эти формулы обеспечивают метод оценки моментов ${\hat {\alpha }}$, ${\hat {\omega }}$, и ${\hat {\xi }}$ на основе образца ${\hat {\mu }}$, ${\hat {\sigma }}$, и ${\hat {\gamma }}_{1}$.

Максимальная (теоретическая) асимметрия получается установкой ${\delta =1}$ в уравнении асимметрии, что дает $\gamma _{1}\approx 0.9952717$. Однако возможно, что асимметрия выборки больше, и тогда $\alpha$ не может быть определена из этих уравнений. Поэтому при автоматическом использовании метода моментов, например, для получения начальных значений для итерации максимального правдоподобия, следует, например, позволить (например) $|{\hat {\gamma }}_{1}|=\min(0.99,|(1/n)\sum {((x_{i}-{\hat {\mu }})/{\hat {\sigma }})^{3}}|)$.

Была выражена обеспокоенность по поводу влияния асимметричных нормальных методов на надежность выводов, основанных на них.

Связанные дистрибутивы

Экспоненциально модифицированное нормальное распределение — это еще одно трехпараметрическое распределение, которое является обобщением нормального распределения на асимметричные случаи. Нормаль перекоса по-прежнему имеет хвост, похожий на нормальный, в направлении перекоса и более короткий хвост в другом направлении; то есть его плотность асимптотически пропорциональна $e^{-kx^{2}}$ для позитива $k$. Таким образом, с точки зрения семи состояний случайности это показывает «правильную мягкую случайность». Напротив, экспоненциально модифицированная нормаль имеет экспоненциальный хвост в направлении перекоса; его плотность асимптотически пропорциональна $e^{-k|x|}$. В тех же терминах это демонстрирует «пограничную легкую случайность».

Таким образом, асимметричная нормаль полезна для моделирования асимметричных распределений, которые, тем не менее, не имеют больше выбросов, чем нормальное, в то время как экспоненциально модифицированная нормаль полезна для случаев с увеличением частоты выбросов (только) в одном направлении.

См. также

• Обобщенное нормальное распределение
• Логнормальное распределение

Внешние ссылки

• Многомерное асимметрично-нормальное распределение с применением к массе тела, росту и индексу массы тела.
• Очень краткое введение в асимметричное нормальное распределение.
• Асимметрично-нормальное распределение вероятностей (и связанные с ним распределения, такие как асимметрия-t)
• ОУЭНС: T-функция Оуэна , заархивировано 14 июня 2010 г. в Wayback Machine.
• Распределения с закрытой асимметрией — моделирование, инверсия и оценка параметров