Тест Ван дер Вардена

Названный в честь голландского математика Бартеля Леендерта ван дер Вардена , тест Ван дер Вардена представляет собой статистический тест , подтверждающий k равенство функций распределения населения. Критерий Ван дер Вардена преобразует ранги стандартного критерия Крускала-Уоллиса в квантили стандартного нормального распределения (подробности приведены ниже). Они называются нормальными баллами, и тест рассчитывается на основе этих нормальных баллов.

Версия теста для k -популяций является расширением теста для двух популяций, опубликованного Ван дер Варденом (1952, 1953).

Предыстория [ править ]

Дисперсионный анализ (ANOVA) — это метод анализа данных для изучения значимости факторов ( независимых переменных ) в многофакторной модели. Однофакторную модель можно рассматривать как обобщение двухвыборочного t-критерия . То есть двухвыборочный t-критерий представляет собой проверку гипотезы о том, что два средних значения совокупности равны. Однофакторный дисперсионный анализ проверяет гипотезу о том, что средние значения популяции k равны. Стандартный дисперсионный анализ предполагает, что ошибки (т. е. остатки) имеют нормальное распределение . Если это предположение о нормальности неверно, альтернативой является использование непараметрического теста .

Определение теста [ править ]

Пусть n _j ( j = 1, 2, ..., k ) представляет размеры выборки для каждой из k групп (т. е. выборок) в данных. Пусть N обозначает размер выборки для всех групп. Пусть X _ij представляет i ^й значение в j ^й группа. Нормальные баллы рассчитываются как

A_{ij}=\Phi ^{-1}\left({\frac {R(X_{ij})}{N+1}}\right)

где R ( X _ij ) обозначает ранг наблюдения X _ij и где Φ ⁻¹ обозначает нормальную функцию квантиля . Затем среднее значение нормальных баллов для каждого образца можно вычислить как

{\bar {A}}_{j}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{i=1}^{n_{j}}A_{ij}\quad j=1,2,\ldots ,k

Дисперсия нормальных показателей может быть рассчитана как

s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n_{j}}A_{ij}^{2}

Тогда тест Ван дер Вардена можно определить следующим образом:

H ₀ : Все функции распределения населения k имеют тенденцию давать одно и то же наблюдение.

H _a : По крайней мере одна из популяций имеет тенденцию давать более крупные наблюдения, чем по крайней мере одна из других популяций.

Статистика теста

T_{1}={\frac {1}{s^{2}}}\sum _{j=1}^{k}n_{j}{\bar {A}}_{j}^{2}

Для уровня значимости α критическая область равна

T_{1}>\chi _{\alpha ,k-1}^{2}

где Χ _{α,k − 1}² представляет собой α- квантиль распределения хи-квадрат с k − 1 степенями свободы. Нулевая гипотеза отклоняется, если тестовая статистика находится в критической области. Если гипотеза об идентичном распределении отвергается, можно выполнить процедуру множественного сравнения , чтобы определить, какие пары популяций имеют тенденцию различаться. Популяции j ₁ и j ₂ кажутся разными, если выполняется следующее неравенство:

\left\vert {\bar {A}}_{j_{1}}-{\bar {A}}_{j_{2}}\right\vert >s\,t_{1-\alpha /2}{\sqrt {\frac {N-1-T_{1}}{N-k}}}{\sqrt {{\frac {1}{n_{j_{1}}}}+{\frac {1}{n_{j_{2}}}}}}

с t _{1 − α/2} (1 − α/2)-квантиль t - распределения .

Сравнение с тестом Крускала-Уоллиса [ править ]

Наиболее распространенным непараметрическим тестом однофакторной модели является тест Крускала-Уоллиса . Критерий Краскала-Уоллиса основан на ранжировании данных. Преимущество теста Ван дер Вардена заключается в том, что он обеспечивает высокую эффективность стандартного анализа ANOVA, когда предположения о нормальности фактически выполняются, но также обеспечивает надежность теста Крускала-Уоллиса, когда предположения о нормальности не выполняются.

Ссылки [ править ]

Коновер, WJ (1999). Практическая непараметрическая статистика (Третье изд.). Уайли. стр. 396–406.

ван дер Варден, БЛ (1952). «Порядок тестов для задачи двух выборок и их мощность», Indagationes Mathematicae , 14, 453–458.
ван дер Варден, BL (1953). «Тесты порядка для задачи двух выборок. II, III», Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук, серия A , 564, 303–310, 311–316.

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.