Тест Жарка-Бера

В статистике критерий Харка-Бера представляет собой критерий согласия, определяющий, имеют ли выборочные данные асимметрию и эксцесс, соответствующие нормальному распределению . Тест назван в честь Карлоса Харке и Анила К. Бера . Статистика теста всегда неотрицательна. Если оно далеко от нуля, это означает, что данные не имеют нормального распределения.

Тестовая статистика JB определяется как

{\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)

где n — количество наблюдений (или степеней свободы вообще); S выборки — асимметрия , K — эксцесс выборки :

S={\frac {{\hat {\mu }}_{3}}{{\hat {\sigma }}^{3}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{3/2}}},

K={\frac {{\hat {\mu }}_{4}}{{\hat {\sigma }}^{4}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}\right)^{2}}},

где ${\hat {\mu }}_{3}$ и ${\hat {\mu }}_{4}$ – оценки третьего и четвертого центральных моментов соответственно ${\bar {x}}$ — выборочное среднее , и ${\hat {\sigma }}^{2}$ — оценка второго центрального момента, дисперсии .

Если данные поступают из нормального распределения, JB статистика асимптотически имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы , поэтому статистику можно использовать для проверки гипотезы о том, что данные взяты из нормального распределения . Нулевая гипотеза представляет собой совместную гипотезу о том, что асимметрия равна нулю, а избыточный эксцесс равен нулю. Выборки из нормального распределения имеют ожидаемую асимметрию 0 и ожидаемый избыточный эксцесс, равный 0 (что соответствует эксцессу, равному 3). Как показывает определение JB , любое отклонение от этого значения увеличивает статистику JB.

Для небольших выборок приближение хи-квадрат слишком чувствительно и часто отвергает нулевую гипотезу, когда она верна. Более того, распределение p значений отклоняется от равномерного распределения и становится с перекосом вправо унимодальным распределением , особенно для малых значений p . Это приводит к большой частоте ошибок первого рода . В таблице ниже показаны некоторые значения p , аппроксимированные распределением хи-квадрат, которые отличаются от их истинных альфа-уровней для небольших выборок.

Рассчитанные *значения p* , эквивалентные истинным альфа-уровням при заданных размерах выборки
Истинный уровень α	20	30	50	70	100
0.1	0.307	0.252	0.201	0.183	0.1560
0.05	0.1461	0.109	0.079	0.067	0.062
0.025	0.051	0.0303	0.020	0.016	0.0168
0.01	0.0064	0.0033	0.0015	0.0012	0.002

(Эти значения были аппроксимированы с использованием моделирования Монте-Карло в Matlab )

В реализации MATLAB аппроксимация хи-квадрат для распределения статистики JB используется только для больших размеров выборки (> 2000). Для меньших выборок используется таблица, полученная на основе моделирования Монте-Карло, для интерполяции значений p . ^{[ 1 ]}

История

Статистические данные были получены Карлосом М. Харком и Анилом К. Бера во время работы над докторской диссертацией. Диссертация в Австралийском национальном университете.

Тест Жара – Бера в регрессионном анализе

По мнению Роберта Холла, Дэвида Лилиена и др. (1995) при использовании этого теста вместе с множественным регрессионным анализом правильная оценка будет следующей:

{\mathit {JB}}={\frac {n-k}{6}}\left(S^{2}+{\frac {1}{4}}(K-3)^{2}\right)

где n — количество наблюдений, а k — количество регрессоров при исследовании остатков уравнения.

Реализации

ALGLIB включает реализацию теста Жарка-Бера на C++, C#, Delphi, Visual Basic и т. д.
gretl включает реализацию теста Жарка – Бера.
Джулия включает реализацию теста Жарке-Бера JarqueBeraTest в пакет HypothesisTests . ^{[ 2 ]}
MATLAB включает реализацию теста Жарка – Бера, функцию «jbtest».
Statsmodels Python включает реализацию теста Жарка-Бера «statsmodels.stats.stattools.py».
R включает реализации теста Жарка-Бера: jarque.bera.test в пакете tseries , ^{[ 3 ]} например, и jarque.test пакета в моментах . ^{[ 4 ]}
Wolfram включает встроенную функцию JarqueBeraALMTest. ^{[ 5 ]} и не ограничивается тестированием распределения Гаусса.

См. также

Критерий К-квадрата Д'Агостино , еще один тест, основанный на эксцессе и асимметрии.

Ссылки

^ «Анализ JB-Test в MATLAB» . Матворкс . Проверено 24 мая 2009 г.
^ «Тесты временных рядов» . Сайт juliastats.org . Проверено 4 февраля 2020 г.
^ «tseries: анализ временных рядов и вычислительные финансы» . Р-проект .
^ «моменты: моменты, кумулянты, асимметрия, эксцесс и связанные с ними тесты» . Р-проект .
^ «JarqueBeraALMTest — документация по языку Wolfram» . ссылка.wolfram.com . Проверено 26 октября 2017 г.

Дальнейшее чтение

Харке, Карлос М .; Бера, Анил К. (1980). «Эффективные тесты на нормальность, гомоскедастичность и серийную независимость остатков регрессии». Письма по экономике . 6 (3): 255–259. дои : 10.1016/0165-1765(80)90024-5 .
Харке, Карлос М .; Бера, Анил К. (1981). «Эффективные тесты на нормальность, гомоскедастичность и серийную независимость остатков регрессии: данные Монте-Карло». Письма по экономике . 7 (4): 313–318. дои : 10.1016/0165-1765(81)90035-5 .
Харке, Карлос М .; Бера, Анил К. (1987). «Тест на нормальность наблюдений и остатков регрессии». Международный статистический обзор . 55 (2): 163–172. дои : 10.2307/1403192 . JSTOR 1403192 .
Судить; и др. (1988). Введение, теория и практика эконометрики (3-е изд.). стр. 890–892.
Холл, Роберт Э.; Лилиен, Дэвид М.; и др. (1995). Руководство пользователя EViews . стр. 141.

[MathWorks-1] «Анализ JB-Test в MATLAB» . Матворкс . Проверено 24 мая 2009 г.

[2] «Тесты временных рядов» . Сайт juliastats.org . Проверено 4 февраля 2020 г.

[3] «tseries: анализ временных рядов и вычислительные финансы» . Р-проект .

[4] «моменты: моменты, кумулянты, асимметрия, эксцесс и связанные с ними тесты» . Р-проект .

[5] «JarqueBeraALMTest — документация по языку Wolfram» . ссылка.wolfram.com . Проверено 26 октября 2017 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]