Авторегрессионная условная гетероскедастичность

В эконометрике статистическую модель для данных модель авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) представляет собой временных рядов , которая описывает дисперсию текущего члена ошибки или инновации как функцию фактических размеров членов ошибки предыдущих периодов времени; ^[1] часто дисперсия связана с квадратами предыдущих нововведений. Модель ARCH подходит, когда дисперсия ошибок во временном ряду соответствует модели авторегрессии (AR); если авторегрессионного скользящего среднего для дисперсии ошибок предполагается модель (ARMA), модель представляет собой модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности ( GARCH ). ^[2]

Модели ARCH обычно используются при моделировании финансовых временных рядов , которые демонстрируют изменяющуюся во времени волатильность и кластеризацию волатильности , то есть периоды колебаний, чередующиеся с периодами относительного спокойствия. Модели типа ARCH иногда относят к семейству моделей стохастической волатильности , хотя это совершенно неверно, поскольку в момент времени t волатильность полностью предопределена (детерминирована) с учетом предыдущих значений. ^[3]

Спецификация модели [ править ]

Чтобы смоделировать временной ряд с использованием процесса ARCH, пусть $~\epsilon _{t}~$ обозначают члены ошибок (возвратные остатки по отношению к среднему процессу), т.е. члены ряда. Эти $~\epsilon _{t}~$ разделены на стохастический фрагмент $z_{t}$ и зависящее от времени стандартное отклонение $\sigma _{t}$ характеризуя типичный размер термов так, чтобы

~\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}~

Случайная величина $z_{t}$ представляет собой сильный процесс белого шума . Серия $\sigma _{t}^{2}$ моделируется

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}

,

где

~\alpha _{0}>0~

и

\alpha _{i}\geq 0,~i>0

.

Модель ARCH( q ) можно оценить с помощью обычного метода наименьших квадратов . Метод проверки того, являются ли остатки $\epsilon _{t}$ демонстрировать изменяющуюся во времени гетероскедастичность с использованием теста множителя Лагранжа, предложенного Энглом (1982). Эта процедура заключается в следующем:

Оцените наиболее подходящую авторегрессионную модель AR( q ) $y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ .
Получите квадраты ошибки ${\hat {\epsilon }}^{2}$ и регрессируем их на константу и значения с запаздыванием q :
${\hat {\epsilon }}_{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}{\hat {\epsilon }}_{t-i}^{2}$
где q — длина лагов ARCH.
Нулевая гипотеза состоит в том, что в отсутствие компонентов ARCH мы имеем $\alpha _{i}=0$ для всех $i=1,\cdots ,q$ . Альтернативная гипотеза состоит в том, что при наличии компонентов ARCH хотя бы один из оцененных $\alpha _{i}$ коэффициенты должны быть значимыми. В выборке остатков T тестовая статистика T'R². при нулевой гипотезе об отсутствии ошибок ARCH следует $\chi ^{2}$ распределение с q степенями свободы, где $T'$ — это количество уравнений в модели, которые соответствуют остаткам и лагам (т. е. $T'=T-q$ ). Если T'R² больше значения таблицы хи-квадрат, мы отвергаем существует эффект ARCH нулевую гипотезу и приходим к выводу, что в модели ARMA . Если T'R² меньше значения таблицы хи-квадрат, мы не отвергаем нулевую гипотезу.

ГАРЧ [ править ]

Если авторегрессионного скользящего среднего (ARMA), то эта модель представляет собой модель обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). для дисперсии ошибок предполагается модель ^[2]

В этом случае модель GARCH ( p , q ) (где p — порядок членов GARCH $~\sigma ^{2}$ и q - порядок членов ARCH $~\epsilon ^{2}$ ), следуя обозначениям исходной статьи, имеет вид

$y_{t}=x'_{t}b+\epsilon _{t}$

$\epsilon _{t}|\psi _{t-1}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma _{t}^{2})$

$\sigma _{t}^{2}=\omega +\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\epsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}=\omega +\sum _{i=1}^{q}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}$

Как правило, при проверке гетероскедастичности в эконометрических моделях лучшим тестом является тест Уайта . Однако при работе с данными временных рядов это означает проверку на наличие ошибок ARCH и GARCH.

Экспоненциально взвешенное скользящее среднее (EWMA) — альтернативная модель в отдельном классе моделей экспоненциального сглаживания. В качестве альтернативы моделированию GARCH оно имеет некоторые привлекательные свойства, такие как больший вес более поздних наблюдений, но также и недостатки, такие как произвольный коэффициент затухания, который вносит субъективность в оценку.

GARCH( p , q Спецификация модели ) [ править ]

Длина задержки p процесса GARCH( p , q ) устанавливается в три этапа:

Оцените наиболее подходящую модель AR( q )
$y_{t}=a_{0}+a_{1}y_{t-1}+\cdots +a_{q}y_{t-q}+\epsilon _{t}=a_{0}+\sum _{i=1}^{q}a_{i}y_{t-i}+\epsilon _{t}$ .
Вычислите и постройте автокорреляции $\epsilon ^{2}$ к
$\rho ={{\sum _{t=i+1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})({\hat {\epsilon }}_{t-1}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t-1}^{2})} \over {\sum _{t=1}^{T}({\hat {\epsilon }}_{t}^{2}-{\hat {\sigma }}_{t}^{2})^{2}}}$
Асимптотика, то есть для больших выборок, стандартное отклонение $\rho (i)$ является $1/{\sqrt {T}}$ . Отдельные значения, превышающие это значение, указывают на ошибки GARCH. Чтобы оценить общее количество лагов, используйте тест Люнга-Бокса до тех пор, пока их значение не станет менее, скажем, 10% значимым. Люнга – Бокса. Q-статистика Далее следует $\chi ^{2}$ распределение с n степенями свободы, если квадраты остатков $\epsilon _{t}^{2}$ некоррелированы. Рекомендуется учитывать значения n до T/4 . Нулевая гипотеза утверждает, что ошибок ARCH или GARCH нет. Таким образом, отказ от нуля означает, что такие ошибки существуют в условной дисперсии .

НГАРЧ [ править ]

НАГАРЧ [ править ]

Нелинейный асимметричный GARCH(1,1) ( NAGARCH ) — это модель со спецификацией: ^[6]^[7]

~\sigma _{t}^{2}=~\omega +~\alpha (~\epsilon _{t-1}-~\theta ~\sigma _{t-1})^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}

,

где

~\alpha \geq 0,~\beta \geq 0,~\omega >0

и

~\alpha (1+~\theta ^{2})+~\beta <1

, что обеспечивает неотрицательность и стационарность дисперсионного процесса.

Для доходности акций параметр $~\theta$ обычно оценивается положительно; в данном случае это отражает явление, обычно называемое «эффектом кредитного плеча», означающее, что отрицательная доходность увеличивает будущую волатильность в большей степени, чем положительная доходность той же величины. ^[6]^[7]

Эту модель не следует путать с моделью NARCH вместе с расширением NGARCH, представленным Хиггинсом и Берой в 1992 году. ^[8]

ИГАРЧ [ править ]

Интегрированная обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность (IGARCH) — это ограниченная версия модели GARCH, где сумма постоянных параметров равна единице и импортирует единичный корень в процесс GARCH. ^[9] Условием для этого является

$\sum _{i=1}^{p}~\beta _{i}+\sum _{i=1}^{q}~\alpha _{i}=1$ .

ЭГАРХ [ править ]

Экспоненциальная обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастическая модель (EGARCH) Нельсона и Као (1991) является еще одной формой модели GARCH. Формально EGARCH(p,q):

$\log \sigma _{t}^{2}=\omega +\sum _{k=1}^{q}\beta _{k}g(Z_{t-k})+\sum _{k=1}^{p}\alpha _{k}\log \sigma _{t-k}^{2}$

где $g(Z_{t})=\theta Z_{t}+\lambda (|Z_{t}|-E(|Z_{t}|))$ , $\sigma _{t}^{2}$ – условная дисперсия , $\omega$ , $\beta$ , $\alpha$ , $\theta$ и $\lambda$ являются коэффициентами. $Z_{t}$ может быть стандартной нормальной переменной или исходить из обобщенного распределения ошибок . Формулировка для $g(Z_{t})$ позволяет знак и величину $Z_{t}$ оказывать отдельное влияние на волатильность. Это особенно полезно в контексте ценообразования на активы. ^[10]^[11]

С $\log \sigma _{t}^{2}$ может быть отрицательным, ограничений по знаку для параметров нет.

ГАРЧ-М [ править ]

Модель GARCH-in-mean (GARCH-M) добавляет в уравнение среднего член гетероскедастичности. Имеет спецификацию:

$y_{t}=~\beta x_{t}+~\lambda ~\sigma _{t}+~\epsilon _{t}$

Остаток $~\epsilon _{t}$ определяется как:

$~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}~\times z_{t}$

КГАРЧ [ править ]

Модель Quadratic GARCH (QGARCH) Сентаны (1995) используется для моделирования асимметричных эффектов положительных и отрицательных шоков.

В примере модели GARCH(1,1) остаточный процесс $~\sigma _{t}$ является

$~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$

где $z_{t}$ это идентификатор и

$~\sigma _{t}^{2}=K+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}$

ГДЖР-ГАРЧ [ править ]

Подобно QGARCH, модель Glosten-Jagannathan-Runkle GARCH (GJR-GARCH) Глостена, Джаганнатана и Ранкла (1993) также моделирует асимметрию в процессе ARCH. Предлагается моделировать $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ где $z_{t}$ является iid, и

$~\sigma _{t}^{2}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}^{2}+~\alpha ~\epsilon _{t-1}^{2}+~\phi ~\epsilon _{t-1}^{2}I_{t-1}$

где $I_{t-1}=0$ если $~\epsilon _{t-1}\geq 0$ , и $I_{t-1}=1$ если $~\epsilon _{t-1}<0$ .

Модель TGARCH [ править ]

Модель Threshold GARCH (TGARCH) Закояна (1994) аналогична модели GJR GARCH. В спецификации указано условное стандартное отклонение, а не условное отклонение :

$~\sigma _{t}=K+~\delta ~\sigma _{t-1}+~\alpha _{1}^{+}~\epsilon _{t-1}^{+}+~\alpha _{1}^{-}~\epsilon _{t-1}^{-}$

где $~\epsilon _{t-1}^{+}=~\epsilon _{t-1}$ если $~\epsilon _{t-1}>0$ , и $~\epsilon _{t-1}^{+}=0$ если $~\epsilon _{t-1}\leq 0$ . Так же, $~\epsilon _{t-1}^{-}=~\epsilon _{t-1}$ если $~\epsilon _{t-1}\leq 0$ , и $~\epsilon _{t-1}^{-}=0$ если $~\epsilon _{t-1}>0$ .

фГАРЧ [ править ]

Хентшеля Модель fGARCH , ^[12] также известная как семейство GARCH , представляет собой комплексную модель, в которую входит множество других популярных симметричных и асимметричных моделей GARCH, включая APARCH, GJR, AVGARCH, NGARCH и т. д.

КОГАРЧ [ править ]

В 2004 году Клаудия Клуппельберг , Александр Линднер и Росс Маллер предложили обобщение процесса GARCH(1,1) с непрерывным временем. Идея состоит в том, чтобы начать с уравнений модели GARCH(1,1).

\epsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t},

\sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\sigma _{t-1}^{2}z_{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2},

а затем заменить процесс сильного белого шума $z_{t}$ с бесконечно малыми приращениями $\mathrm {d} L_{t}$ процесса Леви $(L_{t})_{t\geq 0}$ и процесс квадрата шума $z_{t}^{2}$ с шагом $\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} }$ , где

[L,L]_{t}^{\mathrm {d} }=\sum _{s\in [0,t]}(\Delta L_{t})^{2},\quad t\geq 0,

является чисто разрывной частью квадратичного изменения процесса $L$ . В результате получается следующая система стохастических дифференциальных уравнений :

\mathrm {d} G_{t}=\sigma _{t-}\,\mathrm {d} L_{t},

\mathrm {d} \sigma _{t}^{2}=(\beta -\eta \sigma _{t}^{2})\,\mathrm {d} t+\varphi \sigma _{t-}^{2}\,\mathrm {d} [L,L]_{t}^{\mathrm {d} },

где положительные параметры $\beta$ , $\eta$ и $\varphi$ определяются $\alpha _{0}$ , $\alpha _{1}$ и $\beta _{1}$ . Теперь, учитывая некоторые начальные условия $(G_{0},\sigma _{0}^{2})$ , приведенная выше система имеет единственное по путям решение $(G_{t},\sigma _{t}^{2})_{t\geq 0}$ которая затем называется моделью GARCH непрерывного времени ( COGARCH ). ^[13]

ЗД-ГАРЧ [ править ]

В отличие от модели GARCH, модель GARCH с нулевым дрейфом (ZD-GARCH) Ли, Чжана, Чжу и Лина (2018) ^[14] пусть термин дрейфует $~\omega =0$ в модели GARCH первого порядка. Модель ZD-GARCH призвана моделировать $~\epsilon _{t}=~\sigma _{t}z_{t}$ , где $z_{t}$ является iid, и

$~\sigma _{t}^{2}=~\alpha _{1}~\epsilon _{t-1}^{2}+~\beta _{1}~\sigma _{t-1}^{2}.$

Модель ZD-GARCH не требует $~\alpha _{1}+~\beta _{1}=1$ , и, следовательно, он вкладывает модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) в RiskMetrics . Поскольку член дрейфа $~\omega =0$ Модель ZD-GARCH всегда нестационарна, и ее методы статистического вывода сильно отличаются от методов классической модели GARCH. На основе исторических данных параметры $~\alpha _{1}$ и $~\beta _{1}$ можно оценить обобщенным методом QMLE .

Пространственный ГАРЧ [ править ]

Пространственные процессы GARCH Отто, Шмида и Гартхоффа (2018) ^[15] рассматриваются как пространственный эквивалент временной обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH). В отличие от временной модели ARCH, в которой распределение известно с учетом полного набора информации за предыдущие периоды, распределение не является однозначным в пространственном и пространственно-временном контексте из-за взаимозависимости между соседними пространственными местоположениями. Пространственная модель имеет вид $~\epsilon (s_{i})=~\sigma (s_{i})z(s_{i})$ и

~\sigma (s_{i})^{2}=~\alpha _{i}+\sum _{v=1}^{n}\rho w_{iv}\epsilon (s_{v})^{2},

где $~s_{i}$ обозначает $i$ -е пространственное расположение и $~w_{iv}$ относится к $iv$ -я запись пространственной весовой матрицы и $w_{ii}=0$ для $~i=1,...,n$ . Матрица пространственных весов определяет, какие местоположения считаются соседними.

GARCH, управляемый гауссовским процессом [ править ]

В другом ключе сообщество машинного обучения предложило использовать модели регрессии гауссовского процесса для получения схемы GARCH. ^[16] В результате получается схема непараметрического моделирования, которая обеспечивает: (i) повышенную устойчивость к переоснащению, поскольку модель ограничивает свои параметры для выполнения вывода в соответствии с обоснованием байесовского вывода; и (ii) фиксация сильно нелинейных зависимостей без увеличения сложности модели. ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки [ править ]

^ Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Эконометрика . 50 (4): 987–1007. дои : 10.2307/1912773 . JSTOR 1912773 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Боллерслев, Тим (1986). «Обобщенная авторегрессия условная гетероскедастичность». Журнал эконометрики . 31 (3): 307–327. CiteSeerX 10.1.1.468.2892 . дои : 10.1016/0304-4076(86)90063-1 . S2CID 8797625 .
^ Брукс, Крис (2014). Вводная эконометрика в финансах (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 461. ИСБН 9781107661455 .
^ Ланне, Маркку; Сайкконен, Пентти (июль 2005 г.). «Нелинейные модели GARCH для устойчивой волатильности» (PDF) . Эконометрический журнал . 8 (2): 251–276. дои : 10.1111/j.1368-423X.2005.00163.x . JSTOR 23113641 . S2CID 15252964 .
^ Боллерслев, Тим; Рассел, Джеффри; Уотсон, Марк (май 2010 г.). «Глава 8: Глоссарий ARCH (GARCH)» (PDF) . Эконометрика волатильности и временных рядов: очерки в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 137–163. ISBN 9780199549498 . Проверено 27 октября 2017 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Энгл, Роберт Ф.; Нг, Виктор К. (1993). «Измерение и тестирование влияния новостей на волатильность» (PDF) . Журнал финансов . 48 (5): 1749–1778. дои : 10.1111/j.1540-6261.1993.tb05127.x . ССНР 262096 . В финансовой литературе еще не ясно, что асимметричные свойства отклонений обусловлены изменением кредитного плеча. Название «эффект рычага» используется просто потому, что оно популярно среди исследователей при упоминании такого явления.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Поседел, Петра (2006). «Анализ обменного курса и ценообразования опционов в иностранной валюте на хорватском рынке: модель Нгарча как альтернатива модели Блэка-Шоулза» (PDF) . Финансовая теория и практика . 30 (4): 347–368. Особое внимание в модели уделяется параметру асимметрии [тета (θ)], который описывает корреляцию между доходностью и дисперсией. ⁶ ...
⁶ В случае анализа доходности акций положительное значение [тета] отражает эмпирически хорошо известный эффект рычага, указывающий на то, что движение вниз цены акции вызывает большее увеличение дисперсии, чем движение цены вниз на то же значение. акций, что означает, что доходность и дисперсия отрицательно коррелируют
^ Хиггинс, ML; Бера, АК (1992). «Класс нелинейных моделей арок». Международное экономическое обозрение . 33 (1): 137–158. дои : 10.2307/2526988 . JSTOR 2526988 .
^ Капорале, Гульельмо Мария; Питтис, Никитас; Спаньоло, Никола (октябрь 2003 г.). «Модели IGARCH и структурные сдвиги» . Письма по прикладной экономике . 10 (12): 765–768. дои : 10.1080/1350485032000138403 . ISSN 1350-4851 .
^ Сен-Пьер, Эйлин Ф. (1998). «Оценка моделей EGARCH-M: наука или искусство». Ежеквартальный обзор экономики и финансов . 38 (2): 167–180. дои : 10.1016/S1062-9769(99)80110-0 .
^ Чаттерджи, Сварн; Хаббл, Эми (2016). «Эффект дня недели в американских биотехнологических акциях: имеют ли значение изменения в политике и экономические циклы?». Анналы финансовой экономики . 11 (2): 1–17. дои : 10.1142/S2010495216500081 .
^ Хентшель, Людгер (1995). «Все в семействе Nesting симметричных и асимметричных моделей GARCH». Журнал финансовой экономики . 39 (1): 71–104. CiteSeerX 10.1.1.557.8941 . дои : 10.1016/0304-405X(94)00821-H .
^ Клуппельберг, К. ; Линднер, А.; Маллер, Р. (2004). «Процесс GARCH с непрерывным временем, управляемый процессом Леви: стационарность и поведение второго порядка» . Журнал прикладной вероятности . 41 (3): 601–622. дои : 10.1239/яп/1091543413 . hdl : 10419/31047 . S2CID 17943198 .
^ Ли, Д.; Чжан, X.; Чжу, К.; Линг, С. (2018). «Модель ZD-GARCH: новый способ изучения гетероскедастичности» (PDF) . Журнал эконометрики . 202 (1): 1–17. doi : 10.1016/j.jeconom.2017.09.003 .
^ Отто, П.; Шмид, В.; Гартхофф, Р. (2018). «Обобщенная пространственная и пространственно-временная авторегрессия условная гетероскедастичность». Пространственная статистика . 26 (1): 125–145. arXiv : 1609.00711 . дои : 10.1016/j.spasta.2018.07.005 . S2CID 88521485 .
^ Платаниос, Э.; Чацис, С. (2014). «Условная гетероскедастичность гауссовой смеси процессов». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 36 (5): 889–900. arXiv : 1211.4410 . дои : 10.1109/TPAMI.2013.183 . ПМИД 26353224 . S2CID 10424638 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Боллерслев, Тим; Рассел, Джеффри; Уотсон, Марк (май 2010 г.). «Глава 8: Глоссарий ARCH (GARCH)» (PDF) . Эконометрика волатильности и временных рядов: очерки в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 137–163. ISBN 9780199549498 .
Эндерс, В. (2004). «Моделирование волатильности». Временные ряды прикладной эконометрики (второе изд.). Джон-Уайли и сыновья. стр. 108–155. ISBN 978-0-471-45173-0 .
Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Эконометрика . 50 (4): 987–1008. дои : 10.2307/1912773 . JSTOR 1912773 . S2CID 18673159 . (статья, вызвавшая всеобщий интерес к моделям ARCH)
Энгл, Роберт Ф. (1995). АРКА: избранные показания . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-877432-7 .
Энгл, Роберт Ф. (2001). «GARCH 101: Использование моделей ARCH/GARCH в прикладной эконометрике» . Журнал экономических перспектив . 15 (4): 157–168. дои : 10.1257/jep.15.4.157 . JSTOR 2696523 . (короткое, понятное введение)
Гуджарати, Д.Н. (2003). Базовая эконометрика . стр. 856–862.
Хакер, РС; Хатеми-Дж, А. (2005). «Тест на многомерные эффекты ARCH» . Письма по прикладной экономике . 12 (7): 411–417. дои : 10.1080/13504850500092129 . S2CID 218639533 .
Нельсон, Д.Б. (1991). «Условная гетероскедастичность в доходности активов: новый подход». Эконометрика . 59 (2): 347–370. дои : 10.2307/2938260 . JSTOR 2938260 .

[1] Энгл, Роберт Ф. (1982). «Авторегрессионная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Эконометрика . 50 (4): 987–1007. дои : 10.2307/1912773 . JSTOR 1912773 .

[GARCH_1986-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Боллерслев, Тим (1986). «Обобщенная авторегрессия условная гетероскедастичность». Журнал эконометрики . 31 (3): 307–327. CiteSeerX 10.1.1.468.2892 . дои : 10.1016/0304-4076(86)90063-1 . S2CID 8797625 .

[3] Брукс, Крис (2014). Вводная эконометрика в финансах (3-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 461. ИСБН 9781107661455 .

[Nonlinear_GARCH_2005-4] Ланне, Маркку; Сайкконен, Пентти (июль 2005 г.). «Нелинейные модели GARCH для устойчивой волатильности» (PDF) . Эконометрический журнал . 8 (2): 251–276. дои : 10.1111/j.1368-423X.2005.00163.x . JSTOR 23113641 . S2CID 15252964 .

[ARCH/GARCH_model_glossary-5] Боллерслев, Тим; Рассел, Джеффри; Уотсон, Марк (май 2010 г.). «Глава 8: Глоссарий ARCH (GARCH)» (PDF) . Эконометрика волатильности и временных рядов: очерки в честь Роберта Энгла (1-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 137–163. ISBN 9780199549498 . Проверено 27 октября 2017 г.

[NGARCH_EGARCH_1983-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Энгл, Роберт Ф.; Нг, Виктор К. (1993). «Измерение и тестирование влияния новостей на волатильность» (PDF) . Журнал финансов . 48 (5): 1749–1778. дои : 10.1111/j.1540-6261.1993.tb05127.x . ССНР 262096 . В финансовой литературе еще не ясно, что асимметричные свойства отклонений обусловлены изменением кредитного плеча. Название «эффект рычага» используется просто потому, что оно популярно среди исследователей при упоминании такого явления.

[NAGARCH(1,1)-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Поседел, Петра (2006). «Анализ обменного курса и ценообразования опционов в иностранной валюте на хорватском рынке: модель Нгарча как альтернатива модели Блэка-Шоулза» (PDF) . Финансовая теория и практика . 30 (4): 347–368. Особое внимание в модели уделяется параметру асимметрии [тета (θ)], который описывает корреляцию между доходностью и дисперсией. ⁶ ...
⁶ В случае анализа доходности акций положительное значение [тета] отражает эмпирически хорошо известный эффект рычага, указывающий на то, что движение вниз цены акции вызывает большее увеличение дисперсии, чем движение цены вниз на то же значение. акций, что означает, что доходность и дисперсия отрицательно коррелируют

[8] Хиггинс, ML; Бера, АК (1992). «Класс нелинейных моделей арок». Международное экономическое обозрение . 33 (1): 137–158. дои : 10.2307/2526988 . JSTOR 2526988 .

[9] Капорале, Гульельмо Мария; Питтис, Никитас; Спаньоло, Никола (октябрь 2003 г.). «Модели IGARCH и структурные сдвиги» . Письма по прикладной экономике . 10 (12): 765–768. дои : 10.1080/1350485032000138403 . ISSN 1350-4851 .

[10] Сен-Пьер, Эйлин Ф. (1998). «Оценка моделей EGARCH-M: наука или искусство». Ежеквартальный обзор экономики и финансов . 38 (2): 167–180. дои : 10.1016/S1062-9769(99)80110-0 .

[11] Чаттерджи, Сварн; Хаббл, Эми (2016). «Эффект дня недели в американских биотехнологических акциях: имеют ли значение изменения в политике и экономические циклы?». Анналы финансовой экономики . 11 (2): 1–17. дои : 10.1142/S2010495216500081 .

[12] Хентшель, Людгер (1995). «Все в семействе Nesting симметричных и асимметричных моделей GARCH». Журнал финансовой экономики . 39 (1): 71–104. CiteSeerX 10.1.1.557.8941 . дои : 10.1016/0304-405X(94)00821-H .

[13] Клуппельберг, К. ; Линднер, А.; Маллер, Р. (2004). «Процесс GARCH с непрерывным временем, управляемый процессом Леви: стационарность и поведение второго порядка» . Журнал прикладной вероятности . 41 (3): 601–622. дои : 10.1239/яп/1091543413 . hdl : 10419/31047 . S2CID 17943198 .

[ZD-GARCH_2018-14] Ли, Д.; Чжан, X.; Чжу, К.; Линг, С. (2018). «Модель ZD-GARCH: новый способ изучения гетероскедастичности» (PDF) . Журнал эконометрики . 202 (1): 1–17. doi : 10.1016/j.jeconom.2017.09.003 .

[spGARCH_2018-15] Отто, П.; Шмид, В.; Гартхофф, Р. (2018). «Обобщенная пространственная и пространственно-временная авторегрессия условная гетероскедастичность». Пространственная статистика . 26 (1): 125–145. arXiv : 1609.00711 . дои : 10.1016/j.spasta.2018.07.005 . S2CID 88521485 .

[platanios-16] Платаниос, Э.; Чацис, С. (2014). «Условная гетероскедастичность гауссовой смеси процессов». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 36 (5): 889–900. arXiv : 1211.4410 . дои : 10.1109/TPAMI.2013.183 . ПМИД 26353224 . S2CID 10424638 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

v т и Случайные процессы
Discrete time	Bernoulli process Branching process Chinese restaurant process Galton–Watson process Independent and identically distributed random variables Markov chain Moran process Random walk Loop-erased Self-avoiding Biased Maximal entropy
Continuous time	Additive process Bessel process Birth–death process pure birth Brownian motion Bridge Excursion Fractional Geometric Meander Cauchy process Contact process Continuous-time random walk Cox process Diffusion process Dyson Brownian motion Empirical process Feller process Fleming–Viot process Gamma process Geometric process Hawkes process Hunt process Interacting particle systems Itô diffusion Itô process Jump diffusion Jump process Lévy process Local time Markov additive process McKean–Vlasov process Ornstein–Uhlenbeck process Poisson process Compound Non-homogeneous Schramm–Loewner evolution Semimartingale Sigma-martingale Stable process Superprocess Telegraph process Variance gamma process Wiener process Wiener sausage
Both	Branching process Galves–Löcherbach model Gaussian process Hidden Markov model (HMM) Markov process Martingale Differences Local Sub- Super- Random dynamical system Regenerative process Renewal process Stochastic chains with memory of variable length White noise
Fields and other	Dirichlet process Gaussian random field Gibbs measure Hopfield model Ising model Potts model Boolean network Markov random field Percolation Pitman–Yor process Point process Cox Poisson Random field Random graph
Time series models	Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model Autoregressive (AR) model Autoregressive–moving-average (ARMA) model Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model Moving-average (MA) model
Financial models	Binomial options pricing model Black–Derman–Toy Black–Karasinski Black–Scholes Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS) Chen Constant elasticity of variance (CEV) Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White Korn-Kreer-Lenssen LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Actuarial models	Bühlmann Cramér–Lundberg Risk process Sparre–Anderson
Queueing models	Bulk Fluid Generalized queueing network M/G/1 M/M/1 M/M/c
Properties	Càdlàg paths Continuous Continuous paths Ergodic Exchangeable Feller-continuous Gauss–Markov Markov Mixing Piecewise-deterministic Predictable Progressively measurable Self-similar Stationary Time-reversible
Limit theorems	Central limit theorem Donsker's theorem Doob's martingale convergence theorems Ergodic theorem Fisher–Tippett–Gnedenko theorem Large deviation principle Law of large numbers (weak/strong) Law of the iterated logarithm Maximal ergodic theorem Sanov's theorem Zero–one laws (Blumenthal, Borel–Cantelli, Engelbert–Schmidt, Hewitt–Savage, Kolmogorov, Lévy)
Inequalities	Burkholder–Davis–Gundy Doob's martingale Doob's upcrossing Kunita–Watanabe Marcinkiewicz–Zygmund
Tools	Cameron–Martin formula Convergence of random variables Doléans-Dade exponential Doob decomposition theorem Doob–Meyer decomposition theorem Doob's optional stopping theorem Dynkin's formula Feynman–Kac formula Filtration Girsanov theorem Infinitesimal generator Itô integral Itô's lemma Karhunen–Loève theorem Kolmogorov continuity theorem Kolmogorov extension theorem Lévy–Prokhorov metric Malliavin calculus Martingale representation theorem Optional stopping theorem Prokhorov's theorem Quadratic variation Reflection principle Skorokhod integral Skorokhod's representation theorem Skorokhod space Snell envelope Stochastic differential equation Tanaka Stopping time Stratonovich integral Uniform integrability Usual hypotheses Wiener space Classical Abstract
Disciplines	Actuarial mathematics Control theory Econometrics Ergodic theory Extreme value theory (EVT) Large deviations theory Mathematical finance Mathematical statistics Probability theory Queueing theory Renewal theory Ruin theory Signal processing Statistics Stochastic analysis Time series analysis Machine learning
List of topics Category

v т и Волатильность
Modelling volatility	Implied volatility Volatility smile Volatility clustering Local volatility Stochastic volatility Jump-diffusion models ARCH and GARCH
Trading volatility	Volatility arbitrage Straddle Volatility swap IVX VIX