Броуновский мост

Броуновское движение, закрепленное с обоих концов. Это представляет собой броуновский мост.

Броуновский мост с непрерывным временем — это стохастический процесс B ( t которого ), распределение вероятностей является условным распределением вероятностей стандартного винеровского процесса W ( t ) (математической модели броуновского движения ) при условии (при стандартизации), что W ( T ) = 0, так что процесс привязан к одному и тому же значению как при t = 0, так и при t = T . Точнее:

$B_{t}:=(W_{t}\mid W_{T}=0),\;t\in [0,T]$

Ожидаемое значение моста при любом t в интервале [0, T ] равно нулю с дисперсией $\textstyle {\frac {t(T-t)}{T}}$, подразумевая, что наибольшая неопределенность находится в середине моста, с нулевой неопределенностью в узлах. Ковариация равна B t ( s и B ( ) ) $\min(s,t)-{\frac {s\,t}{T}}$, или s (T − t )/T, если s < t .Приращения в броуновском мосте не являются независимыми.

Связь с другими случайными процессами

Если W ( t ) является стандартным винеровским процессом (т.е. для t ≥ 0 W ( t ) нормально распределяется с ожидаемым значением 0 и дисперсией t , а приращения стационарны и независимы ), то

$B(t)=W(t)-{\frac {t}{T}}W(T)\,$

является броуновским мостом при t ∈ [0, T ]. Он не зависит от W ( T )

И наоборот, если B ( t ) — броуновский мост, а Z — стандартная нормальная случайная величина, независимая от B , то процесс

$W(t)=B(t)+tZ\,$

является винеровским процессом при t ∈ [0, 1]. В более общем смысле, винеровский процесс W ( t ) для t ∈ [0, T ] можно разложить на

$W(t)={\sqrt {T}}B\left({\frac {t}{T}}\right)+{\frac {t}{\sqrt {T}}}Z.$

Другое представление броуновского моста, основанное на броуновском движении, таково: для t ∈ [0, T ]

$B(t)={\frac {T-t}{\sqrt {T}}}W\left({\frac {t}{T-t}}\right).$

Обратно, для t ∈ [0, ∞]

$W(t)={\frac {T+t}{T}}B\left({\frac {Tt}{T+t}}\right).$

Броуновский мост также можно представить в виде ряда Фурье со стохастическими коэффициентами:

$B_{t}=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2T}}\sin(k\pi t/T)}{k\pi }}$

где $Z_{1},Z_{2},\ldots$ являются независимыми одинаково распределенными стандартными нормальными случайными величинами (см. теорему Карунена–Лоэва ).

Броуновский мост — результат теоремы Донскера в области эмпирических процессов . Он также используется в тесте Колмогорова-Смирнова в области статистического вывода .

Интуитивные замечания

Стандартный винеровский процесс удовлетворяет условию W (0) = 0 и, следовательно, «привязан» к началу координат, но другие точки не ограничены. С другой стороны, в броуновском мостовом процессе не только B (0) = 0, но мы также требуем, чтобы B ( T ) = 0, то есть процесс «привязывается» в точке t = T. также и Точно так же, как буквальный мост поддерживается пилонами на обоих концах, броуновский мост должен удовлетворять условиям на обоих концах интервала [0, T ]. (В небольшом обобщении иногда требуется B ( t ₁ ) = a и B ( t ₂ ) = b , где t ₁ , t ₂ , a и b — известные константы.)

Предположим, что мы создали несколько точек W (0), W (1), W (2), W (3) и т. д. пути винеровского процесса с помощью компьютерного моделирования. Теперь желательно заполнить дополнительные точки в интервале [0, T ], то есть провести интерполяцию между уже сгенерированными точками W (0) и W ( T ). Решение состоит в том, чтобы использовать броуновский мост, который должен проходить через значения W (0) и W ( T ).

Общий случай

В общем случае, когда W ( t ₁ ) = a и W ( t ₂ ) = b , распределение B в момент времени t ∈ ( t ₁ , t ₂ ) является нормальным со средним значением

$a+{\frac {t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}}(b-a)$

и дисперсия

${\frac {(t_{2}-t)(t-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}},$

и ковариация между B ( s ) и B ( t ) при s < t равна

${\frac {(t_{2}-t)(s-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}}.$

Ссылки

• Глассерман, Пол (2004). Методы Монте-Карло в финансовой инженерии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-00451-3 .
• Ревуз, Дэниел; Йор, Марк (1999). Непрерывные мартингалы и броуновское движение (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-57622-3 .