Теорема Дуба о разложении

В теории случайных процессов в дискретном времени , части математической теории вероятностей , теорема Дуба о разложении дает уникальное разложение каждого адаптированного и интегрируемого случайного процесса как сумму мартингала и предсказуемого процесса (или «дрейфа»). начиная с нуля. Теорема была доказана и названа в честь Джозефа Л. Дуба .

Аналогичная теорема в случае непрерывного времени — это теорема о разложении Дуба – Мейера .

Заявление

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ быть вероятностным пространством , I = {0, 1, 2, ..., N } с $N\in \mathbb {N}$ или $I=\mathbb {N} _{0}$ конечный или счетный бесконечный набор индексов, $({\mathcal {F}}_{n})_{n\in I}$ фильтрация ​ ​ ${\mathcal {F}}$, а X = ( X _n ) _{n ∈ I} — адаптированный случайный процесс с E[| X _n |] < ∞ для всех n ∈ I . Тогда существуют мартингал M = ( Mn _{начинающийся} ) _{n ∈ I} и интегрируемый предсказуемый процесс A ( An _для ) _{n ∈ I,} A0 = _, 0 , Xn ₌ I. Mn ₌ + An _что каждого n ∈ с такой Здесь предсказуемость означает An _, что ${\mathcal {F}}_{n-1}$- измерима для любого n ∈ I \ {0} .Это разложение почти наверняка уникально.

Примечание

Теорема дословно справедлива и для случайных процессов X, принимающих значения в d -мерном евклидовом пространстве. $\mathbb {R} ^{d}$ или комплексное векторное пространство $\mathbb {C} ^{d}$. Это следует из одномерного варианта при рассмотрении компонентов по отдельности.

Доказательство

Существование

Используя условные ожидания , определите процессы A и M для каждого n ∈ I явно по формуле

$A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]-X_{k-1}{\bigr )}$ ( 1 )

и

$M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]{\bigr )},$ ( 2 )

где суммы при n = 0 пусты . и определены как ноль Здесь A складывает ожидаемые приращения X , а M складывает сюрпризы, т. е. ту часть каждого X _k, которая неизвестна ни на один шаг раньше.Благодаря этим определениям An _{+ +1} (если n 1 ∈ I ) и M _n являются F _n -измеримыми, поскольку процесс X адаптирован, E[| А _n |] < ∞ и E[| M _n |] < ∞ поскольку процесс X интегрируем и разложение X _n = M _n + An _, справедливо для любого n ∈ I . Свойство мартингейла

$\mathbb {E} [M_{n}-M_{n-1}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=0$    как

также следует из приведенного выше определения ( 2 ) для каждого n ∈ I \ {0 }.

Уникальность

Для доказательства единственности пусть X = M ' + A ' — дополнительное разложение. Тогда процесс Y := M − M ' = A ' − A является мартингалом, а это означает, что

$\mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n-1}$ как,

а также предсказуемо, подразумевая, что

$\mathbb {E} [Y_{n}\,|\,{\mathcal {F}}_{n-1}]=Y_{n}$ как

для любого n ∈ I \ {0 }. Поскольку Y ₀ = A ' ₀ − A ₀ = 0 по соглашению о начальной точке предсказуемых процессов, это итеративно означает, что Y _n = 0 почти наверняка для всех n ∈ I , следовательно, разложение почти наверняка уникально.

Следствие

Случайный процесс X с действительным знаком является субмартингалом тогда и только тогда, когда он имеет разложение Дуба на мартингал M и интегрируемый предсказуемый процесс A , который почти наверняка возрастает . Это супермартингал тогда и только тогда, когда A почти наверняка убывает .

Доказательство

Если X — субмартингал, то

$\mathbb {E} [X_{k}\,|\,{\mathcal {F}}_{k-1}]\geq X_{k-1}$ как

для всех k ∈ I \ {0} , что эквивалентно утверждению, что каждый член в определении ( 1 ) A почти наверняка положителен, следовательно, A почти наверняка возрастает. Аналогично доказывается эквивалентность для супермартингалов.

Пример

Пусть X = ( X _n ) _{n ∈ $\mathbb {N} _{0}$} быть последовательностью независимых интегрируемых действительных случайных величин. порождаемой последовательностью, т.е. = _Fn σ ( X0 , _{к фильтрации ,} ..., Xn _{Они адаптированы} ) для всех n ∈ $\mathbb {N} _{0}$. Согласно ( 1 ) и ( 2 ), разложение Дуба имеет вид

$A_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}\mathbb {E} [X_{k}]-X_{k-1}{\bigr )},\quad n\in \mathbb {N} _{0},$

и

$M_{n}=X_{0}+\sum _{k=1}^{n}{\bigl (}X_{k}-\mathbb {E} [X_{k}]{\bigr )},\quad n\in \mathbb {N} _{0}.$

Если случайные величины исходной последовательности X имеют нулевое среднее значение, это упрощается до

$A_{n}=-\sum _{k=0}^{n-1}X_{k}$ и $M_{n}=\sum _{k=0}^{n}X_{k},\quad n\in \mathbb {N} _{0},$

следовательно, оба процесса представляют собой (возможно, неоднородные по времени) случайные блуждания . Если последовательность X = ( X _n ) _{n ∈ $\mathbb {N} _{0}$} состоит из симметричных случайных величин, принимающих значения +1 и -1 , то X ограничено, но мартингал M и предсказуемый процесс A представляют собой неограниченные простые случайные блуждания (и неинтегрируемые равномерно ), и необязательная теорема Дуба об остановке может быть неприменима к мартингал M, если только время остановки не имеет конечное математическое ожидание.

Приложение

В математических финансах теорема о разложении Дуба может быть использована для определения наибольшего оптимального времени исполнения американского опциона . Пусть X = ( X ₀ , X ₁ ,..., X _N ) обозначает неотрицательные дисконтированные выплаты американского опциона в N -периодной модели финансового рынка, адаптированной к фильтрации ( F ₀ , F ₁ , . . . , F _N ) , и пусть $\mathbb {Q}$ Обозначим эквивалентную мартингальную меру . Пусть U = ( U ₀ , U ₁ , . . . , N ₎ обозначает снелливскую оболочку X U относительно $\mathbb {Q}$. Конверт Snell – самый маленький $\mathbb {Q}$-супермартингейл с доминированием X а на полноценном финансовом рынке он представляет собой минимальную сумму капитала, необходимую для хеджирования американского опциона до срока погашения. Обозначим через U = M + A разложение Дуба по $\mathbb {Q}$ конверта Снеллиуса U в мартингал M = ( M ₀ , M ₁ , . . , M _N ) и убывающий предсказуемый процесс A = ( A ₀ , A ₁ , . . , ) _AN с A 0 ₌ 0 . Тогда наибольшее время остановки для оптимального исполнения американского опциона. является

$\tau _{\text{max}}:={\begin{cases}N&{\text{if }}A_{N}=0,\\\min\{n\in \{0,\dots ,N-1\}\mid A_{n+1}<0\}&{\text{if }}A_{N}<0.\end{cases}}$

Поскольку A предсказуемо, событие { τ _max = n } = { A _n = 0, A _{n +1} < 0 } находится в F _n для каждого n ∈ {0, 1, . . . , N − 1 }, следовательно, τ _max действительно является моментом остановки. Это последний момент перед тем, как ожидаемая дисконтированная стоимость американского опциона упадет; до момента времени τ _max процесс дисконтированной стоимости U является мартингалом по отношению к $\mathbb {Q}$.

Обобщение

Теорема Дуба о разложении может быть обобщена с вероятностных пространств на пространства с σ-конечной мерой .

Ссылки

• Дуб, Джозеф Л. (1953), Случайные процессы , Нью-Йорк: Wiley, ISBN  978-0-471-21813-5 , МР   0058896 , Збл   0053.26802
• Дуб, Джозеф Л. (1990), Случайные процессы (изд. Wiley Classics Library), Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., ISBN  0-471-52369-0 , МР   1038526 , Збл   0696.60003
• Дарретт, Рик (2010), Вероятность: теория и примеры , Кембриджская серия по статистической и вероятностной математике (4-е изд.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-76539-8 , МР   2722836 , Збл   1202.60001
• Фёлльмер, Ганс; Шид, Александр (2011), Стохастические финансы: введение в дискретное время , выпускник De Gruyter (3-е издание и расширенное издание), Берлин, Нью-Йорк: De Gruyter, ISBN  978-3-11-021804-6 , МР   2779313 , Збл   1213.91006
• Ламбертон, Дэмиен; Лапейр, Бернар (2008), Введение в стохастическое исчисление, применяемое в финансах , серия по финансовой математике Чепмена и Холла / CRC (2-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC, ISBN  978-1-58488-626-6 , МР   2362458 , Збл   1167.60001
• Шиллинг, Рене Л. (2005), Меры, интегралы и мартингалы , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-52185-015-5 , МР   2200059 , Збл   1084.28001
• Уильямс, Дэвид (1991), Вероятность с мартингалами , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-40605-6 , МР   1155402 , Збл   0722.60001