Закон повторного логарифма

Сюжет $S_{n}/n$ (красный), его стандартное отклонение $1/{\sqrt {n}}$ (синий) и его граница ${\sqrt {2\log \log n/n}}$ данный ЛИЛ (зеленый). Обратите внимание, как оно случайным образом переключается с верхней границы на нижнюю. Обе оси преобразуются нелинейно (как поясняется в кратком описании рисунка), чтобы сделать этот эффект более заметным.

В теории вероятностей закон повторного логарифма описывает величину колебаний случайного блуждания . Оригинальная формулировка закона повторного логарифма принадлежит А.Я. Хинчин (1924). Другое заявление было сделано А. Н. Колмогоровым в 1929 году.

Заявление

Пусть { Y _n } — независимые, одинаково распределенные случайные величины со средними нулевыми и единичными дисперсиями. Пусть S _n = Y ₁ + ... + Y _n . Затем

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {2n\log \log n}}}=1\quad {\text{a.s.}},$

где «log» — натуральный логарифм , «lim sup» обозначает верхний предел , а «as» означает « почти наверняка ».

Обсуждение

Закон повторных логарифмов действует «между» законом больших чисел и центральной предельной теоремой . Существует две версии закона больших чисел — слабая и сильная что суммы Sn _n , масштабированные по — и обе они утверждают , ⁻¹ , сходятся к нулю соответственно по вероятности и почти наверняка :

${\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{n}}\ {\xrightarrow {a.s.}}0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .$

С другой стороны, центральная предельная теорема утверждает, что суммы Sn _, масштабированные в коэффициент n ^−1/2 сходятся по распределению к стандартному нормальному распределению. По закону нуля-единицы Колмогорова для любого фиксированного M вероятность того, что событие $\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M$происходит, равно 0 или 1.Затем

$\Pr \left(\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)\geqslant \limsup _{n}\Pr \left({\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\geq M\right)=\Pr \left({\mathcal {N}}(0,1)\geq M\right)>0$

так

$\limsup _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=\infty \qquad {\text{with probability 1.}}$

Аналогичный аргумент показывает, что

$\liminf _{n}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}=-\infty \qquad {\text{with probability 1.}}$

Это означает, что эти величины почти наверняка не могут сходиться. Фактически они не могут сходиться даже по вероятности, что следует из равенства

${\frac {S_{2n}}{\sqrt {2n}}}-{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}-\left(1-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right){\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}$

и тот факт, что случайные величины

${\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {S_{2n}-S_{n}}{\sqrt {n}}}$

независимы и оба сходятся по распределению к ${\mathcal {N}}(0,1).$

Закон повторного логарифма обеспечивает коэффициент масштабирования, при котором два предела становятся разными:

${\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\xrightarrow {p}}\ 0,\qquad {\frac {S_{n}}{\sqrt {2n\log \log n}}}\ {\stackrel {a.s.}{\nrightarrow }}\ 0,\qquad {\text{as}}\ \ n\to \infty .$

Таким образом, хотя абсолютное значение величины $S_{n}/{\sqrt {2n\log \log n}}$ меньше любого заранее определенного ε больше ε > 0 с вероятностью, приближающейся к единице, тем не менее, он почти наверняка будет бесконечно часто ; на самом деле, величина почти наверняка будет посещать окрестности любой точки интервала (-1,1).

Выставка предельных теорем и их взаимосвязи

Обобщения и варианты

Закон повторного логарифма (LIL) для суммы независимых и одинаково распределенных (iid) случайных величин с нулевым средним и ограниченным приращением восходит к Хинчину и Колмогорову в 1920-х годах.

С тех пор был проделан огромный объем работы над LIL для различных видовзависимых структур и для случайных процессов. Ниже приводится небольшой пример примечательных событий.

Хартман - Винтнер (1940) обобщил LIL на случайные блуждания с приращениями с нулевым средним и конечной дисперсией. Де Акоста (1983) дал простое доказательство версии LIL Хартмана-Винтнера.

Чунг (1948) доказал другую версию закона повторного логарифма для абсолютной величины броуновского движения.

Штрассен (1964) изучал ЛИЛ с точки зрения принципов инвариантности.

Стаут (1970) обобщил LIL на стационарные эргодические мартингалы.

Виттманн (1985) обобщил версию LIL Хартмана-Винтнера на случайные блуждания, удовлетворяющие более мягким условиям.

Вовк (1987) получил версию LIL, действительную для одной хаотической последовательности (случайная последовательность Колмогорова). Это примечательно, поскольку находится за пределами классической теории вероятностей.

Йонге Ван (1996) показал, что закон повторного логарифма справедлив и для псевдослучайных последовательностей с полиномиальным временем. программного обеспечения на основе Java Инструмент тестирования проверяет, выдает ли генератор псевдослучайных чисел последовательности, удовлетворяющие LIL.

Балсубрамани (2014) доказал неасимптотический LIL, который справедлив для путей выборки мартингала за конечное время . Это включает в себя мартингальный LIL, поскольку он обеспечивает соответствие концентрации конечной выборки и границ антиконцентрации, а также позволяет последовательное тестирование. и другие приложения.

См. также

• Повторный логарифм
• Броуновское движение