Валочный процесс

Не путать с непрерывным процессом Феллера .

В теории вероятностей, относящейся к случайным процессам , процесс Феллера представляет собой особый вид марковского процесса .

Определения

Пусть X — локально компактное хаусдорфово пространство со счетной базой . Обозначим через C0 _|| ( X ) пространство всех действительных непрерывных функций на X , нуль на бесконечности , снабженное суп-нормой обращающихся в е ||. Из анализа мы знаем, что ( _C0 X ) с нормой sup является банаховым пространством .

Полугруппа Феллера на C ₀ ( X это набор { T _t } _{t ≥ 0} положительных линейных отображений C ) — ₀ ( X ) в себя такой, что

• || Т _т ж || ≤ || ж || для всех t ≥ 0 и f из C ₀ ( X ), т. е. является сжатием (в слабом смысле);
• свойство полугруппы s : T _{t + s} = T _t ∘ T _s для всех t , ; ≥ 0
• lim _{т → 0} || Т _т ж - ж || = 0 для любого f в C ₀ ( X ). Используя свойство полугруппы, это эквивалентно тому, что отображение T _t f из t в [0,∞) в C ₀ ( X ) непрерывно справа для каждого f .

Предупреждение : эта терминология не является единообразной в литературе. В частности, предположение, что T _t отображает C ₀ ( X ) в себязаменяется некоторыми авторами условием, что оно отображает ( _Cb X ) — пространство ограниченных непрерывных функций — в себя. Причина этого двоякая: во-первых, она позволяет включать в конечное время процессы, входящие «из бесконечности». Во-вторых, он больше подходит для леченияпространства, которые не являются локально компактными и для которых понятие «исчезновение на бесконечности» не имеет смысла.

Функция перехода Феллера — это функция перехода вероятности, связанная с полугруппой Феллера.

Процесс Феллера — это марковский процесс с функцией перехода Феллера.

Генератор

Процессы Феллера (или переходные полугруппы) можно описать их бесконечно малым генератором . что функция f из C0 _{Говорят ,} находится в области определения генератора, если равномерный предел

$Af=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {T_{t}f-f}{t}},$

существует. Оператор A является генератором T _t , а пространство функций, на котором он определен, записывается DA _как .

Характеристика операторов, которые могут выступать в роли бесконечно малых генераторов процессов Феллера, дается теоремой Хилле–Йосиды . При этом используется резольвента полугруппы Феллера, определенная ниже.

Резольвент

Резольвента формулой процесса Феллера (или полугруппы) представляет собой совокупность отображений ( R _λ ) _{λ > 0} из C ₀ ( X ) в себя, определенную

$R_{\lambda }f=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda t}T_{t}f\,dt.$

Можно показать, что оно удовлетворяет тождеству

$R_{\lambda }R_{\mu }=R_{\mu }R_{\lambda }=(R_{\mu }-R_{\lambda })/(\lambda -\mu ).$

При этом для любого фиксированного λ > 0 образ R _λ равен области определения D _A генератора A , и

${\begin{aligned}&R_{\lambda }=(\lambda -A)^{-1},\\&A=\lambda -R_{\lambda }^{-1}.\end{aligned}}$

Примеры

• Броуновское движение и процесс Пуассона являются примерами процессов Феллера. В более общем смысле каждый процесс Леви является процессом Феллера.
• Процессы Бесселя – это процессы Феллера.
• Решениями стохастических дифференциальных уравнений с липшицевыми непрерывными коэффициентами являются процессы Феллера.
• Каждый адаптированный правонепрерывный процесс Феллера в фильтрованном вероятностном пространстве. $(\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})$ удовлетворяет сильному марковскому свойству относительно фильтрации $({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}$, то есть для каждого $({\mathcal {F}}_{t^{+}})_{t\geq 0}$- время остановки $\tau$, обусловленный событием $\{\tau <\infty \}$, у нас есть это для каждого $t\geq 0$, $X_{\tau +t}$ не зависит от ${\mathcal {F}}_{\tau ^{+}}$ данный $X_{\tau }$.

См. также

• Марковский процесс
• Цепь Маркова
• Процесс охоты
• Генератор бесконечно малых величин (случайные процессы)