Непрерывный случайный процесс

Не путать со стохастическим процессом, непрерывным во времени .

В теории вероятностей непрерывный случайный процесс — это тип случайного процесса , который можно назвать « непрерывным » в зависимости от его «времени» или индексного параметра. Непрерывность — хорошее свойство для (примерных путей) процесса, поскольку оно подразумевает, что они в некотором смысле хорошо себя ведут и, следовательно, их гораздо легче анализировать. Здесь подразумевается, что индекс случайного процесса является непрерывной переменной. Некоторые авторы определить «непрерывный (стохастический) процесс» как требование, чтобы индексная переменная была непрерывной, без непрерывности путей выборки: в другой терминологии это будет стохастический процесс с непрерывным временем , параллельный «процессу с дискретным временем». Учитывая возможную путаницу, необходима осторожность.

Определения

Пусть (Ω, Σ, P ) — вероятностное пространство , пусть T — некоторый интервал времени и пусть X : T × Ω → S — случайный процесс. Для простоты в оставшейся части этой статьи пространство состояний S будет считаться реальной линией R , но определения будут проходить с соответствующими изменениями, если S есть R. ^н , нормированное векторное пространство или даже общее метрическое пространство .

почти

В момент времени t ∈ T , X называется непрерывным с вероятностью единица в момент t если

$\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1.$

Среднеквадратическая

В момент времени t ∈ T если X называется непрерывным в среднеквадратическом значении в момент t, E [ | Икс _т | ² ] < +∞ и

$\lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.$

Непрерывность вероятности

Основная статья: Непрерывность вероятности

В момент времени t ∈ T , X называется непрерывным по вероятности в момент t если для всех ε > 0

$\lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0.$

Эквивалентно, X является непрерывным по вероятности в момент времени t , если

$\lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.$

Преемственность в распространении

В момент времени t ∈ T , X называется непрерывным по распределению в момент t если

$\lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)$

для всех точек x, в которых F _t непрерывна, где F _t обозначает кумулятивную функцию распределения величины случайной X _t .

Образец непрерывности

Основная статья: Пример непрерывного процесса

X называется выборочно непрерывным , если X _t ( ω ) непрерывен по t для P - почти все ω ∈ Ω. Непрерывность образца — это подходящее понятие непрерывности для таких процессов, как диффузия Ито .

Феллера

Основная статья: Непрерывный процесс Феллера

X называется непрерывным по Феллеру процессом , если для любого фиксированного t ∈ T и любой ограниченной , непрерывной и Σ- измеримой функции g : S → R , E ^х [ g ( X _t )] непрерывно зависит от x . Здесь x обозначает начальное состояние процесса X , а E ^х обозначает ожидание, обусловленное событием, которое X начинается с x .

Отношения

Отношения между различными типами непрерывности случайных процессов сродни отношениям между различными типами сходимости случайных величин . В частности:

• непрерывность с вероятностью предполагает непрерывность вероятности;
• непрерывность в среднем квадратическом подразумевает непрерывность в вероятности;
• непрерывность с вероятностью единица не подразумевает и не подразумевает непрерывность в среднем квадрате;
• непрерывность вероятности подразумевает, но не подразумевается, непрерывность распределения.

Соблазнительно спутать непрерывность с вероятностью единица и непрерывностью выборки. Непрерывность с вероятностью единица в момент времени t означает, что P ( A _t ) = 0, где событие A _t определяется формулой

$A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},$

и вполне возможно проверить, справедливо ли это для каждого t ∈ T . С другой стороны, непрерывность выборки требует, чтобы P ( A ) = 0, где

$A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.$

A — это несчетный союз событий, поэтому на самом деле оно может и не быть событием, поэтому P ( A ) может быть неопределенным! Хуже того, даже если A является событием, P ( A даже если P ( A _t ) = 0 для каждого t ∈ T. ) может быть строго положительным , Так обстоит дело, например, с телеграфным процессом .

Ссылки

• Клоден, Питер Э.; Платен, Экхард (1992). Численное решение стохастических дифференциальных уравнений . Приложения математики (Нью-Йорк) 23. Берлин: Springer-Verlag. стр. 38–39. ISBN  3-540-54062-8 .
• Оксендал, Бернт К. (2003). Стохастические дифференциальные уравнения: введение с приложениями (шестое изд.). Берлин: Шпрингер. ISBN  3-540-04758-1 . (См. лемму 8.1.4)