Процесс охоты

В теории вероятностей процесс Ханта — это тип марковского процесса , названный в честь математика Гилберта А. Ханта , который впервые определил их в 1957 году. Процессы Ханта были важны при изучении вероятностной теории потенциала они не были заменены правильными процессами , пока в 1970-х годах .

История

Фон

В 1930-50-х годах работы таких математиков, как Джозеф Дуб , Уильям Феллер , Марк Кац и Сидзуо Какутани , развивали связи между марковскими процессами и теорией потенциала .

В 1957–1958 годах Гилберт А. Хант опубликовал тройку статей. что углубило эту связь. Влияние этих статей на вероятностное сообщество того времени было значительным. Джозеф Дуб сказал, что «великие статьи Ханта по теории потенциала, порожденной марковскими переходными функциями, произвели революцию в теории потенциала». Рональд Гетур описал их как «монументальный труд объемом около 170 страниц, содержащий огромное количество поистине оригинальной математики». Гюстав Шоке писал, что статьи Ханта были «фундаментальными мемуарами, которые одновременно обновляли теорию потенциала и теорию марковских процессов, устанавливая точную связь, в очень общих рамках, между важным классом марковских процессов и классом ядер в потенциальная теория, которую только что изучали французские вероятностные специалисты».

Одним из вкладов Ханта было объединение нескольких свойств, которыми должен обладать марковский процесс, чтобы его можно было изучать с помощью теории потенциала, которую он назвал «гипотезой (А)». Случайный процесс $X$ удовлетворяет гипотезе (А), если выполняются следующие три предположения:

Первое предположение: $X$ представляет собой марковский процесс на польском пространстве с путями кадлага .

Второе предположение: $X$ удовлетворяет сильному марковскому свойству .

Третье предположение: $X$ квазинепрерывен слева на $[0,\infty )$.

Процессы, удовлетворяющие гипотезе (А), вскоре стали называть процессами Ханта. Если третье предположение немного ослабить так, что квазилевая непрерывность справедлива только на протяжении времени жизни $X$, затем $X$ называется «стандартным процессом» — термин, введенный Евгением Дынкиным .

Взлет и падение

Книга "Марковские процессы и теория потенциала" (1968) Блюменталь и Гетор классифицировали стандартные процессы и процессы Ханта как архетипические марковские процессы. В течение следующих нескольких лет вероятностная теория потенциала занималась почти исключительно этими процессами.

Из трех предположений, содержащихся в гипотезе Ханта (А), наиболее ограничительным является квазилевая непрерывность. Гетур и Гловер пишут: «При доказательстве многих своих результатов Хант предположил некоторые дополнительные гипотезы о регулярности своих процессов... Постепенно стало ясно, что необходимо удалить многие из этих гипотез о регулярности, чтобы продвинуть теорию». Уже в 1960-е годы предпринимались попытки предположить квазилевую преемственность только в случае необходимости.

В 1970 году Чунг-Туо Ши расширил два фундаментальных результата Ханта: полностью устраняя необходимость в левых пределах (и, следовательно, также в квазилевой непрерывности). Это привело к определению правильных процессов как нового класса марковских процессов, для которых может работать теория потенциала. Уже в 1975 году Гетур писал, что процессы Ханта «представляют в основном исторический интерес». К тому времени, когда Майкл Шарп опубликовал свою книгу «Общая теория марковских процессов» в 1988 году, Ханта и стандартные процессы считались устаревшими в вероятностной теории потенциала.

Процессы Ханта до сих пор изучаются математиками, чаще всего применительно к формам Дирихле .

Определение

Краткое определение

Процесс охоты $X$ является сильным марковским процессом на польском пространстве , которое является càdlàg и квазилевонепрерывным; то есть, если $(T_{n})$ представляет собой возрастающую последовательность времен остановки с пределом $T$, затем $$\mathbb {P} {\big (}\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}{\big |}T<\infty {\big )}=1.$$

Подробное определение

Позволять $E$ быть радоновым пространством и ${\mathcal {E}}$ тот $\sigma$-алгебра универсально измеримых подмножеств $E$, и пусть $(P_{t})$ быть марковской полугруппой на $(E,{\mathcal {E}})$ который сохраняет ${\mathcal {E}}$.Процесс поиска — это коллекция $X=(\Omega ,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t},X_{t},\theta _{t},\mathbb {P} ^{x})$ удовлетворяющий следующим условиям:

(я) $(\Omega ,{\mathcal {G}},{\mathcal {G}}_{t})$ представляет собой отфильтрованное измеримое пространство , и каждое $\mathbb {P} ^{x}$ является вероятностной мерой $(\Omega ,{\mathcal {G}})$.

(ii) Для каждого $x\in E$, $X_{t}$ это $E$-значный случайный процесс на $(\Omega ,{\mathcal {G}},\mathbb {P} ^{x})$и адаптирован к $({\mathcal {G}}_{t})$.

(iii) (нормальность) Для каждого $x\in E$, $\mathbb {P} ^{x}(X_{0}=x)=1$.

(iv) (Марковское свойство) Для каждого $x\in E$, и для всех $t,s\geq 0,f\in b{\mathcal {E}}$, $\mathbb {E} ^{x}(f(X_{t+s})|{\mathcal {G}}_{t})=P_{s}f(X_{t})$.

(v) $(\theta _{t})_{t\geq 0}$ это коллекция карт $:\Omega \to \Omega$ такой, что для каждого $t,s\geq 0$, $\theta _{t}\circ \theta _{s}=\theta _{t+s}$ и $X_{t}\circ \theta _{s}=X_{t+s}.$

(мы) $({\mathcal {G}}_{t})$ является дополненной и непрерывной справа .

(vii) (непрерывность справа) Для каждого $x\in E$, каждый $\alpha >0$и каждый $\alpha$-чрезмерное (по отношению к $(P_{t})$) функция $f$, карта $t\mapsto f(X_{t})$ почти наверняка правонепрерывен при $\mathbb {P} ^{x}$.

(viii) (квазилевая непрерывность) Для каждого $x\in E$, если $(T_{n})$ представляет собой возрастающую последовательность времен остановки с пределом $T$, затем $\mathbb {P} ^{x}(\lim _{n\to \infty }X_{T_{n}}=X_{T}|T<\infty )=1$.

Шарп показывает в лемме 2.6, что из условий (i)–(v) следует измеримость отображения $x\mapsto \mathbb {P} ^{x}(X_{t}\in B)$ для всех $B\in {\mathcal {E}}$, а в теореме 7.4 из (vi)-(vii) следует сильное марковское свойство относительно $({\mathcal {G}}_{t})$.

Связь с другими марковскими процессами

Следующие включения справедливы для различных классов марковских процессов:

{ Леви } $\subset${ Ито } $\subset${ Феллер } $\subset${ Охота } $\subset${специальный стандарт} $\subset${стандартный} $\subset${ верно } $\subset${ сильный Марков }

Измененные во времени процессы Ито

В 1980 году Чинлар и др. доказал, что любой действительный процесс Ханта является семимартингальным тогда и только тогда, когда он представляет собой случайное изменение во времени процесса Ито.Точнее, процесс охоты $X$ на $\mathbb {R} ^{m}$ (оснащен системой Borel $\sigma$-алгебра ) является семимартингалом тогда и только тогда, когда существует процесс Ито $Y$ и измеримая функция $f$ с $0\leq f\leq 1$ такой, что $X_{t}=Y_{A_{t}},t\geq 0$, где $$A_{t}=\int _{0}^{t}f(Y_{s})\mathrm {d} s.$$Процессы Ито были впервые названы в связи с их ролью в этой теореме: хотя Ито ранее их изучал.

См. также

• Марковский процесс
• Правый процесс Бореля
• Гилберт Хант

Источники

• Блюменталь, Роберт М. и Гетур, Рональд К. «Марковские процессы и теория потенциала». Академик Пресс, Нью-Йорк, 1968.
• Хант, Г.А. «Марковские процессы и потенциалы. I, II, III.», Иллинойс, Дж. Математика. 1 (1957) 44–93; 1 (1957), 313–369; 2 (1958), 151–213.