Фильтрация (теория вероятностей)

В теории случайных процессов , подразделе теории вероятностей , фильтрация представляет собой полностью упорядоченный набор подмножеств, которые используются для моделирования информации, доступной в данной точке, и поэтому играют важную роль в формализации случайных (стохастических) процессов.

Определение

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ — вероятностное пространство и пусть $I$ быть набором индексов с общим порядком $\leq$ (часто $\mathbb {N}$, $\mathbb {R} ^{+}$или подмножество $\mathbb {R} ^{+}$).

Для каждого $i\in I$ позволять ${\mathcal {F}}_{i}$ быть под- σ -алгеброй ​ ${\mathcal {A}}$. Затем

$\mathbb {F} :=({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$

называется фильтрацией, если ${\mathcal {F}}_{k}\subseteq {\mathcal {F}}_{\ell }$ для всех $k\leq \ell$. Итак, фильтрация — это семейство σ -алгебр, упорядоченных по неубыванию. Если $\mathbb {F}$ является фильтрацией, то $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {F} ,P)$ называется фильтрованным вероятностным пространством .

Пример

Позволять $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ быть случайным процессом в вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$. Позволять $\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$ обозначим σ -алгебру, порожденную случайными величинами $X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}$.Затем

${\mathcal {F}}_{n}:=\sigma (X_{k}\mid k\leq n)$

является σ -алгеброй и $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ это фильтрация.

$\mathbb {F}$ действительно является фильтрацией, поскольку по определению все ${\mathcal {F}}_{n}$ являются σ -алгебрами и

$\sigma (X_{k}\mid k\leq n)\subseteq \sigma (X_{k}\mid k\leq n+1).$

Это известно как естественная фильтрация ${\mathcal {A}}$ относительно $(X_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

Виды фильтрации

Право-непрерывная фильтрация

Если $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ является фильтрацией, то соответствующая непрерывная справа фильтрация определяется как

$\mathbb {F} ^{+}:=({\mathcal {F}}_{i}^{+})_{i\in I},$

с

${\mathcal {F}}_{i}^{+}:=\bigcap _{i<z}{\mathcal {F}}_{z}.$

Фильтрация $\mathbb {F}$ сам называется непрерывным справа, если $\mathbb {F} ^{+}=\mathbb {F}$.

Полная фильтрация

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством и пусть,

${\mathcal {N}}_{P}:=\{A\subseteq \Omega \mid A\subseteq B{\text{ for some }}B\in {\mathcal {F}}{\text{ with }}P(B)=0\}$

быть множеством всех множеств, содержащихся в $P$- нулевой набор .

Фильтрация $\mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}$ называется полной фильтрацией , если каждая ${\mathcal {F}}_{i}$ содержит ${\mathcal {N}}_{P}$. Это подразумевает $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{i},P)$ является полным пространством меры для каждого $i\in I.$ (Обратное не обязательно верно.)

Расширенная фильтрация

Фильтрация называется дополненной фильтрацией , если она полна и непрерывна справа. Для каждой фильтрации $\mathbb {F}$ существует наименьшая дополненная фильтрация ${\tilde {\mathbb {F} }}$ переработка $\mathbb {F}$.

Если фильтрация является расширенной фильтрацией, говорят, что она удовлетворяет обычным гипотезам или обычным условиям .

См. также

• Естественная фильтрация
• Фильтрация (математика)
• Фильтр (математика)